Простая проверка наличия зависимости в ценах акций

             Почему-то существует часто встречаемое мнение, что каждая акция торгуется сама по себе, а существенной связи между ними нет. Понятно, что это не так и я решил проверить наличие связи простым количественным методом.     

             Для анализа был взят интервал времени с 01.08.2007 по 29.10.2021 и цены дневного закрытия 16 ликвидных акций от 16 разных эмитентов. Которые более-менее регулярно торговались весь этот период. Приращение в момент времени t на акции j   Рtj =ln(c(t,j)/c(t-1,j)), где С – цена закрытия.

            Не вычитая никаких средних, сформируем ковариационную матрицу COV размером 16 на 16 по всему полученному массиву данных. Матрица симметричная по построению, её след равен, с одной стороны, сумме собственных значений, а с другой – сумме квадратов приращений Ptj и по времени, и по акциям. По физической аналогии назовем след совокупной мощностью наших приращений.

                Если бы между отдельными акциями не было зависимости, матрица была бы близка к диагональной, собственные вектора имели по одному близкому к 1 значению, с каждой акцией был бы ассоциирован один вектор. А собственные значения были бы близки к диагональным значениям, каждый к своему.

                Известно, что среди всех векторов единичной длины существует вектор, который, будучи умноженным на матрицу слева и справа (транспонированным) дает максимум. Само значение называют  максимальным собственным  числом, а вектор – максимальным собственным вектором. Каков же максимальный собственный вектор и собственное число у нашей ковариационной матрицы?  Оказывается, максимальное собственное число равно 51,5% следа. То есть, больше половины всей мощности.

                Чтобы понять, откуда что берется, возьмем вектор-строку единичной длины {0,25;0,25;…;0,25} из 16 компонент.  Он примерно соответствует построению равновзвешенного портфеля.  Умножим его на указанную матрицу слева и справа. Только справа возьмем его транспонированную версию. Это единичный вектор, у которого все компоненты одинаковы. В результате умножения получим число, которое означает долю мощности, соответствующую одинаковым по величине, синхронным и синфазным изменениям цен.

                Если бы цены акций изменялись всегда одновременно и одинаково, полученная величина была бы в точности равна совокупной мощностью приращений. Если бы между приращениями не было связи, величина была бы случайной, но в среднем близкой к 1/16 от совокупной мощности.

                В действительности оценивая величина составила 49,3% совокупной мощности. То есть доля одновременных равных движений акций составляет практически половину всей мощности приращений. Ясно, что такую аномалию отнести к случайному выбросу нельзя. При этом скалярное произведение двух единичных векторов, максимального собственного и нашего, равномерного равно 0,976. Это означает, что наш равномерный вектор почти точно описывает главную зависимость нашего набора данных.

P.S. Один воздухоплаватель попал в шторм, который принес его неизвестно  куда, и зацепил воздушный шар за дереву. Под деревом проходил мужчина. Воздухоплаватель спросил, где я нахожусь.

— Вы висите на дереве.

-А Вы, наверное, математик.

-Как догадались?

-Только математики дают совершенно правильные и совершенно бесполезные ответы.