Немного о фракталах и множестве Мандельброта

Немного о фракталах и множестве Мандельброта
Антон Ступин

 

Что породило само понятие фрактал? Изучив некоторое количество материалов об истории фрактала, я пришел к выводу, что это понятие создано все тем же неизменным двигателем человеческого прогресса и эволюции — любопытством.

В этот раз любопытство сфокусировало внимание человека на математическом описании окружающего мира. Именно стремление к познанию создало понятие фрактал. Человек стремится описать ту реальность, которая есть вокруг него. Новые открытия — это новые элементы пазла, которые добавляют целостность картине реальности. 

Термин фрактал появился относительно недавно — в 1975 году математиком Бенуа Мандельбротом, в честь которого назван самый популярный фрактал. Но, прежде чем перейти к рассмотрению множества Мандельброта, окунемся в историческую сводку и постараемся выделить основную проблему, которая сподвигла Бенуа к исследованию и созданию фрактальный геометрии.

 

Бенуа Мандельброт (1924-2010)

До создания фрактальный геометрии, истинной являлась Евклидова геометрия (да, та самая, которую мы изучали в школе) и именно она на протяжении более 2000 лет служила базой для описания физического мира (прямые линии, углы, треугольники, квадрат и т.д — это все из геометрии Евклида).

 

Евклид (около 300 лет до н.э) — древнегреческий математик

Если мы посмотрим на то, что нас окружает, то условно сможем разделить все на две части: то, что создано человеком и то, что создала природа. То, что построено человеком — построено по постулатам евклидовой геометрии (круги, треугольники, квадраты и т.д.). Но чем как описать деревья, горы, реки? Как описать все то, что создала природа? Да, конечно, можно описать все, используя простые фигуры, меняя их масштаб и положение относительно друг друга (что-то мне подсказывает, что мир бы выглядел как в игре Майнкрафт). Но, если серьезно, то попытка описать мир таким принципом — это лишь попытка смоделировать (построить модель), но не описать все так, как оно есть.

Именно желание описать мир, с его, казалось бы, несовершенством линий и попытка придать всему этому хаосу некие закономерности и привело к созданию понятия фрактал и фрактальный геометрии.

 

Определение фрактала. Примеры.

 

Определение из интернета «Фрактал — множество, обладающее свойством самоподобия». Звучит сложно. Попробую объяснить, используя некоторые высказывания, относительно фракталов:

• Фрактал — самоподобная сложная фигура;
• Фрактал — элемент, повторяя который бесконечное количество раз, мы получим тот же/подобный элемент другого масштаба;
• Фрактал строится за счет многократного повторения (математики называют этот процесс "итерацией");
• Целый объект практически полностью совпадает с частью себя самого. Целые имеют ту же форму, что одна или более частей; 
• Есть фигура и правило, по которому эта фигура дублируется относительно друг друга.
  
  

Как правило, итерация это многократное повторение простого действия. Фракталы были и до множества Мандельброта, но он описал эту теорию наиболее комплексно.

Чтобы упростить понимание фрактала: да, как сказано выше, природа очень самобытна и нелинейна, но она состоит из подобных элементов. Возьмем самый распространенный пример фрактала в природе — дерево. Оно состоит из подобных элементов: меленькая веточка подобна ветки крупнее и т.д.

Лист папоротникаДельта реки

 

 

Ниже приведем примеры фракталов с множественным повторением какого-то простого действия (итерацией):

 

1. Кривая Гильберта

1891 г.

2. Н-фрактал (конечные точки буквы «Н» заменяем на «Н» и так до бесконечности)

3. Треугольник Серпинского (внутри треугольника строим перевернутый треугольник и так до бесконечности)

1915 г.

 

4. Кривая Коха (делим сторону равностороннего треугольника на 3, среднюю часть заменяем на равносторонний треугольник и так до бесконечности с каждой стороной каждого треугольника)

1904 г.

Как мы видим, что все сложные фигуры складываются из самоподобных элементов, с помощью простого правила.

Множество Мандельброта.

Повторюсь, что итерация простых элементов для построение целостной сложной фигуры были и до работы Бенуа Мандельброта. Увеличение вычислительной мощности компьютеров позволило достичь огромного числа повторений, что позволило ученому достичь такой глубины в понимании фрактальности мира:

Множество Мандельброта (1975 г.)Увеличенный масштаб множества МандельбротаМасштабируя множество…

Попутешествовать по завораживающему множеству Мандельброта можно по следующим ссылкам:

sunandstuff.com/mandelbrot/

www.michurin.net/online-tools/mandelbrot.html

Как бы вы не меняли масштаб, вы всегда будете видеть похожие на себя фигуры. Это и есть ключевой признак фракталов — самоподобие при изменении масштаба.

Принцип построения модели:

В основе модели, как и писал раньше, лежит итерация (многократное повторение). В случае множества Мандельброта — это решение уравнения.

Оно выглядит так:

уравнение Множества Мандельброта, где С — комплексное число

Для математика выглядит достаточно просто, но есть нюансы. Не будем вдаваться в подробности, попробуем пошагово раскрыть суть построения множества:

Чтобы определить, входит ли число в множество Мандельброта, нужно принять Z за ноль (О) возвести в квадрат и сложить с нашим числом. Полученное число Z — заново подставляем в уравнение и складываем с числом, которое тестируем. Уравнение решается и полученное решение снова подставляется в уравнение. Уравнение заново решается. Итерация! Множественное повторение решений одного и того же уравнения. Если при решении мы видим, что значение Z сильно увеличивается (стремится к бесконечности), значит изначальное число не подходит. Если же Z колеблется в пределах одного значения, значит выбранное число входит в множество. Далее полученные значения отмечают на плоскости. Уравнение решается огромное количество раз и в итоге получается графическое изображение множества Мандельброта (его мы видели выше).

P.s можно еще посмотреть что такое комплексные числа — они имеют большое значение для построение модели.

До 1975 года, фракталы встречались в истории время от времени, но после работы Бенуа Мандельброта, изучение фракталов начало приобретать массовый характер, все больше интегрируясь в мир. Изучение фракталов вызвало новый виток в изучении разных сфер жизни: в компьютерной графике, в передаче данных, в радиотехнике, в производстве, в работе мозга, в движениях человека, в росте живых существ и многом другом.

Представьте, насколько упрощается построение графических моделей, зная, что они самоподобны и вычисляются по одной простой формуле. Насколько становиться проще кодирование и передача информации, когда есть понимание, что их можно «сжать» по определённой фрактальный закономерности. И насколько понятней становится эволюция живых существ, когда мы можем найти фракталную модель их развития.

 

Фракталы в тейдинге.

Тема фракталов сложна и интересна, но как же она соотносится с торговлей на бирже? Думаю, что идея также проста: попытка описать и упорядочить казалось бы хаотичное и нелинейное движение цены, и найти в нем определенные закономерности.

Тема фракталов достаточно молода, но одно знаем точно, что ее глубина и охват — это «черная дыра» с огромным количеством идей и возможный векторов применения.

Первое, что мы можем выделить — это подобие графиков движения цены, вне зависимости от инструмента, таймфрема (временного масштаба). Разумеется, что найти абсолютно похожие участки крайне сложно, но ключевое свойство фрактала — это самоподобие, а не идентичность. А найти регулярные и подобные структуры в колебаниях цены — это уже более реальная задача.

Получается, что рынок, как минимум, имеет фрактальные свойства. Само наличие закономерностей в движении говорит об этом.

Фрактальное самоподобие на примере #MAGN (Магнитогорский металлургический комбинат)

Поиск закономерностей в движении цены, похожих ценовых моделей/паттернов (фракталов) — как одно из направлений, в которое можно углубиться.

Волны Элиота — также определенная фрактальная закономерность в движении цены

Каждая часть графика делится по определенной закономерность на самоподобные части.

 

Что еще интересного можно найти на основе модели Мандельброта?
К примеру, можно взглянуть на соотношение частей этого фрактала:

Фрактальную теорию тесно связывают с принципом золотого сечения и числами Фибоначчи. Опять же, не будем вдаваться в сложные математические вычисления и доказательства.

Нас тут интересует, что определенное соотношение частей и сторон множества
Мандельброта соответствуют принципам золотого сечения и чисел Фибоначчи.

А это уже совсем другая история...

Множество Мандельброта — это удивительный мир фракталов, возможности которого, по большей части, не изучены. Но, безусловно, изучение этого направления — это «окно» в мир новых теорий и концепций.




t.me/ComradeGann