Парадокс бесконечно выгодной Санкт-петербургской лотереи

Зададим следующий вопрос:

• Какой должна быть сумма M, чтобы игра в среднем была выгодной для игрока?

Выгодной — это значит, что при большом количестве партий он выиграет больше, чем заплатит. То есть выиграет сумму больше чем M.

На графиках показано, как растёт выигрыш на каждом ходу и какова вероятность выиграть за всю игру ту или иную сумму (не считая M).

Слева графики приведены в линейном масштабе. Видно, как быстро растёт выигрыш по мере продолжения игры. Но и вероятность дойти до хода с номером N падает столь же быстро. На первом ходу суммарный выигрыш равен $1, а вероятность в этот момент ещё оставаться в игре равна ½. На втором ходу суммарный выигрыш равен $3, а вероятность оставаться в игре — ¼. На третьем ходу — соответственно, $7 и ⅛, на четвёртом — $15 и 1/16. При больших N вероятность остаться в игре обратно пропорциональна суммарному выигрышу. Например, с вероятностью 1/1000 игрок успевает выиграть за игру не менее $999. Графики зависимости вероятности выигрыша от его размера приведены справа в дважды логарифмическом масштабе. Как и в предыдущих задачах они выглядят как прямые (функции степенные). А это значит, что опять нам стоит ожидать подвоха с бесконечностями.

Предположим, что плата за игру (M) составляет всего $1. Игрок решает сыграть 100 партий. Судя по графикам, хотя бы в одной из них он, скорее всего, выиграет $100, покрыв убытки. В каждой десятой партии (то есть примерно в 10 партиях) выигрыш вполне может составить $10, что в сумме даст ещё $100. Ещё почти в половине оставшихся партий выигрыши должны составить не менее $1. Игра явно представляется выгодной: игрок почти гарантированно покрывает начальную плату и остаётся в прибыли на добрые 100-300 долларов. А если играет 1000 партий — то и навар будет в тысячи долларов.

Но когда администрация казино понимает, что игрок чересчур увлёкся, она поднимает плату M с $1 до $10. Стоит ли игроку после этого продолжать играть?

Теперь игра представляется вовсе не такой выгодной. Например, если сыграть 100 партий, то убыток составит $1000, а более-менее гарантированный выигрыш — $100-300. Но это грубая оценка. Можно ли оценить выигрыш точнее? Каково его среднее значение при неограниченном числе партий? Как показывают формулы (а конкретно — степенной характер зависимости вероятности выигрыша от его размера), особенность этой лотереи в том, что средний выигрыш в ней… бесконечен. И потому, при любом числе M игра в среднем выгодна для игрока.

После предыдущих разделов этому факту даже не хочется удивляться: мало ли, где возникают расходящиеся решения? Ведь в задаче о разорении игрока игра тоже была выгодной при любой плате за вход. Но основной парадокс СПБЛ состоит не в самом наличии бесконечностей, а психологической реакции людей на это.

Суть Санкт-петербургского парадокса

На первый взгляд, из анализа задачи о разорении игрока и СПБЛ должно следовать две вещи.

• Ни одно казино мира не должно допускать такие игры, ибо они невыгодны для казино.
• Ни один игрок, знающий математику, не должен отказыватся от игры, какой бы ни была входная плата M.

Но на практике ситуация с этими играми обстоит совершенно по-разному. Игра, в которой игрок кормится за счёт казино, пока оно старается разорить его — игра вымышленная. Реальные казино не склонны проводить такие невыгодные для себя игры (разве что, как рекламные акции). Но СПБЛ — это реально существующая игра. И отдельные игроки, и целые игорные дома устраивают такие лотереи и не считают их игрой “в одни ворота”. И плата за игру тоже имеет значение: редко, кто соглашается играть даже при цене в $20. Но почему?

В предыдущих частях мы показали, как внимательно и осторожно надо относиться к решениям, содержащим бесконечности. Мы отметили, что в реальности ситуация может оказаться даже хуже. Рынок регулярно наказывает тех, кто игнорирует “парадоксальные” математические предсказания, и трейдеры понимают это. Но в случае СПБЛ ситуация обстоит иначе. Бесконечные математические предсказания в ней почти никого не волнуют, и никаких финансовых катастроф не случается. И именно в этом суть санкт-петербургского парадокса (СПБП).

У СПБП есть несколько объяснений, которые можно разбить на две группы: технические и фундаментальные. Технические объяснения аппелируют к несовершенствам реального мира в сравнении с математическими моделями, а фундаментальные поднимают серьёзные философские дебаты о самом феномене разума и о смысле жизни разумного существа.

Технические объяснения СПБП

Эта группа объяснений лежит на поверхности. Придумать их можно много, но все они связаны с техническими сложностями осуществления СПБЛ в полноценном виде.

Во-первых, чтобы с высокой вероятностью получить большой выигрыш, желательно не рисковать, а провести много партий. И чем выше плата за вход, тем больше партий потребуется. Если плата за партию составляет $1 (и выигрыши тоже начинаются с доллара), то и 20 партий достаточно, чтобы почти гарантированно выйти в плюс. Но при цене $10 (при всё том же долларовом начальном выигрыше) требуемое число партий может оказаться таким, что казино не позволит их провести, или игрок потеряет столько времени, что оно не будет стоит заработанных денег.

Во-вторых, обычно правила действуют в своих негласных рамках. Если некто случайно выиграл у партнёра миллион, то последний может отказаться от выполнения условий игры, сославшись на отсутствие денег. Да и казино, скорее всего, как-то подстрахуется от неприятных случайностей.

В-третьих, люди психологически склонны игнорировать малые вероятности, и потому вероятность выиграть даже миллиард долларов с вероятностью одной миллионной человека прельщает мало — даже если максимально возможный (но почти гарантированный) проигрыш составит хотя бы $500.

Но все эти объяснения нельзя признать удовлетворительными. Потому что можно хотя бы мысленно представить ситуацию, где все эти проблемы решены, но даже самый умный и рассудительный человек упорно не хочет вести себя “рационально”.

Сыграем на повышение

Чтобы проиллюстрировать несовершенство технических объяснений СПБП, отложим в сторону изначальные правила лотереи и заменим их более простыми и жёсткими.

Вы приходите в казино, и вам предлагают предельно простую игру. В закрытой коробке 100 жетонов: 99 красных и один зелёный. Вам предлагают вытянуть один на ощупь. Вытянете красный — теряете всё своё имущество. Вытянете зелёный — получаете миллиард долларов. Допустим, что вы обычный россиянин среднего класса, у вас есть в собственности квартира, автомобиль, бытовая техника. Вы работаете на обычной работе, которая позволила накопить вам всё это за много лет труда. Общая стоимость вашего имущества — 100-200 тысяч долларов. И, скорее всего, именно такую цифру составит проигрыш. Зато средний выигрыш (его сумма в миллиард долларов, умноженная на его вероятность 0.01) — 10 миллионов долларов. Предположим, что казино готово к убыткам (например, проводит игру ради экстремального телевизионного шоу), честно готово выплатить сумму, и никаких пунктов “мелким текстом” в договорах там нет.

С чисто математической точки зрения, игра сверхвыгодна. И с психологической точки зрения, оба исхода имеют вполне весомые вероятности. Вероятность 1/100 — это не такая уж маленькая вероятность, чтобы её игнорировать. Люди охотно покупают обычные лотереи с гораздо меньшей вероятностью выигрыша. Но в данном случае очевидно, что большинство людей откажется играть. Кроме маргиналов, чья жизнь не сложилась (и которым нечего терять) или патологических авантюристов.

Этот пример показывает, что не только “мутная” СПБЛ, но и гораздо более прозрачная игра с двумя исходами и огромным средним выигрышем не гарантируют “рационального” поведения людей. Здесь не надо знать математики, но условия игры всё равно кажутся людям неприемлемыми. Почему?

Фундаментальное объяснение СПБП

Чисто логически из сказанного следует два возможных варианта. Либо большинство людей надо признать дураками (которые ошибочно решают даже очень простую задачу), либо надо допустить, что рациональное поведение не тождественно максимизации заработка, и что реальное благополучие человека не пропорционально его богатству. И именно второе объяснение является правильным.

Многочисленные исследования показывают, что о человеке с доходом в миллиард долларов никак нельзя сказать, что он в миллион раз счастливее человека с доходом в тысячу долларов. Психологически игра со слишком высокой ставкой имеет отрицательный средний выигрыш. Для большинства людей выигрыш миллиарда долларов и проигрыш всего имущества — сравнимые по значимости события. А поскольку вероятность выигрыша во много раз меньше вероятности проигрыша — о такой игре не может идти и речи. Впрочем, подробнее об этом мы расскажем в следующей части.