SMART-LAB
Новый дизайн
Мы делаем деньги на бирже
Информация
Блог им. Kapral
Тестик. Наивный Теорвер.
- 03 января 2017, 16:11
- |
Тестик. Наивный Теорвер.
Коллеги, на столе лежит раскрытая толстая книга. Раскрытые страницы -вверх, так что легко читать. Размер страницы 10 на 10 см.
Ровно в центре, ну пусть 108-й страницы, расположен миниробот, который ходит по модели случайного блуждания, только в 4-х направлениях: вверх, вниз, вправо, влево. Ровно на 1 см. Т.е. в начальный момент он в 5 см от каждого края страницы. Движется дискретно: 1 сек- 1 ход на 1 см в одном из 4-х направлений. На каждом шагу вероятности его движения в любом из 4-х направлений =25%.
Переступание через край страницы-конец игры. Т.е., если робот сделает сразу 5 шагов вверх-он еще в игре, хоть и на краю. Если 6-игра окончилась.
Вот он начал двигаться. С какой вероятностью он хоть раз окажется на 107-й странице? (пересечением страницы считается переход через край) до того, как окончательно свалится.
Большая просьба, особенно к А.Г.))), не писать сразу решение)))
теги блога Kapral
- Berber
- Geist
- Gella
- NYSE
- Vanuta
- ааа
- Акции
- алготрейдинг
- АЛРОСА
- Анна Ф
- Блог
- бэктестинг
- ВВП
- Вопрос
- вопрос знатокам
- ВПГ
- ВШЭ
- Газпром
- Гении
- Гений
- Геополитика
- Гуру
- Гусев
- Демура
- дивиденды
- Доллар
- ДУ
- Дурка на марше
- Зе Клуб
- Инвестирование
- Инвестиции
- Индикаторы
- История
- Книга
- Книги
- криптовалюта
- Кукл
- Ле Клуб
- Лидер
- ЛУКОйл
- Магнит
- МБ
- Мегафон
- медитация
- Мемуарчики
- Механизм Трейдинга
- Мирон
- ММВБ
- ММК
- Мовчан
- Молодцы
- Москва
- Мудрость
- Музыка
- Облигации
- Обучение
- Общая Конспирология
- опрос
- Отличная Книга
- ОФЗ
- оффтоп
- паразиты
- Политика
- Политота
- Правильная Музыка
- Путин
- пыльный заяц бессрочный бан
- размышлизмы
- Рейтинг
- рецензия на книгу
- Решпект
- Россия
- Рубль
- РУСАЛ
- смартлаб
- Спасибо
- Спирин
- СССР
- стерто
- Стихи как форма постижения
- Талеб
- Твиттер Президента Трампа
- теорвер
- Тестик
- торговые сигналы
- Трамп
- Трампусик лапочка
- Тупой юмор
- Туфтология
- Уоррен Баффет
- Уроды
- Фото
- ФСК Россети
- хорошая книга
- цитата
- шарлатаны
- шахматы
- Экономика
- Элдер
- Эллиотт
На каждом шагу вероятности его движения в любом из 4-х направлений =25%.
Вот он начал двигаться. С какой вероятностью он хоть раз окажется на 107-й странице?
Если считать, что вверх и вниз ход в никуда, а влево и вправо, это перелистывание страницы, то 25%, при условии, что генератор случайных чисел действительно выдаёт варианты 1 к 4.
Так вот, что надо определить и рассчитать я забыл, но условие этой задачи не чище предложенной, если Вы попробуете это вообразить.
Есть несколько замечаний.
1. Изложение условий несколько коряво. Я например не уверен, открыты 107 и 108 страница или как то иначе? Нахождение на краю 107 страницы считается ее посещением?
2. Могут быть бесконечные блуждания внутри 108 страницы, с вероятностью стремящейся к нулю на бесконечном времени.
Ну а если я понял все правильно (а я не уверен), то из соображений симметрии ответ 1/4-0.
Так как сумма вероятностей равна 1, то изменив задачу, например, меняя желаемую сторону пересечения, мы не должны получать разные результаты вычислений. Верх=низ=право= лево. верх+низ+право+лево=1. При условии, что время игры не ограничено.
Как-то так. Но сейчас лень считать. Если не забуду и не заломает считать, то дома посчитаю, выложу ответ. Необходимый фундамент можно почитать тут: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B8_%D0%B8%D0%B3%D1%80%D0%BE%D0%BA%D0%B0
Если не может перейти на другой разворот (падает с любого края разворота), то получается абсолютная симметрия — 1/4, если может перейти на 109 страницу (падает только сверху и снизу), то это уже другая задача — наверное надо посчитать условную вероятность сваливания при условии что он пересекал границу разворота )))
в общем это либо 1/4 (если переходить на другой разворот нельзя), либо (если можно переходить на другой разворот) правильного варианта в ответах нет, так как тогда будет больше 1/4, а такого варианта нет )))
1/4+1/16+1/64+1/256+...=(1/4)/(1-1/4)=1/3 — если может переходить на 109 страницу и далее по страницам книги
Но раз мы никак не ограничены в числе ходов, то наверно все-таки 1/4 (т.е. рано или поздно он куда-то дойдет и это будет один из 4-х краев)
А если переформулировать задачу в классическом антураже? Возьмем колбу с квадратным сечением, нальем туда жидкость до половины. По центру расположим ту самую броуновскую частицу. На одной из четырех граней колбы напишем 107. Со временем частица неизбежно столкнется с одной из граней. Какова вероятность, что это будет грань с надписью 107?
Так как рассстояния равны, и направление хода робота произвольно, то формально вероятность того что мы достигнем 107 страницы — 1/4.
Какова же вероятность что наш робот упадет на 5й ход?
это 5 раз движение с вероятностью 1/4 в одну сторону.
1/4096
но так как 4096 это больше чем час (1 ход в секунду) то у нас есть шанс по закрытию часовой свечи определить новую вероятность, если он еще не упадет к тому моменту
Двигаясь только по кратчайшим путям он окажется во всех возможных 11 точках на странице 107 с вероятностью (1/4)11+(1/4)10+(1/4)9+(1/4)8+(1/4)7+(1/4)6+(1/4)7+(1/4)8+(1/4)9+(1/4)10+(1/4)11=0,000 00024+0,000 00095+0,00 00038+0,00 0015+0,00 0061+0,00024+...+...+...+...+...
Плюс к этому надо приплюсовать еще туеву хучу событий, если робот придет в какую-нибудь из 11 точек на странице 107 другими окольными путями.
А у нас ограничение по времени что-ли введено? Какая разница сколько он будет блуждать.
Грубо говоря, если у нас 4ре таких книги с роботами, то с вероятностью близкой к 100% на 107 страницу перейдет только робот на одной из них, остальные свалятся.
Значит вероятность перехода на 107 страницу около 1/4
А так пусть хоть ублуждаются.
Потому и написал выше, что есть вероятность того что через час он еще не свалится, и тогда по закрытию часа можно будет пересчитать вероятности
Можно понять на более простой модели, когда только два направления: вверх или вниз. По ЗБЧ при допустимом бесконечном числе ходов с ростом числа ходов в конкретном испытании вероятность после них оказаться вне малой окрестности исходной точки стремится к нулю.
И одновременно растут вероятности сколь угодно больших промежуточных выбросов в любую сторону.
Поэтому какие конечные планки, одинаково отстоящие от исходного пункта, ни ставь, с вероятностью 1 при бесконечном допустимом числе ходов одна из них будет достигнута. Вероятность достижения любой — 1/2.
В нашей задаче направлений 4 и можно рассматривать её как двумерный случай предыдущей с двумя независимыми перпендикулярными направлениями случайного блуждания.
Для каждой из 4-х равноотстоящих от начала планок вероятность её достижения вне зависимости от удалённости равна 1/2 * 1/2 = 1/4.
Это вероятность того, что начавший двигаться робот упадет в любую из 4х сторон сразу за 6 ходов.
Я так понимаю, что если нужно упасть конкретно на 107 стр. то соответственно эту вероятность надо поделить на 4. Получится 0,00061% — это вероятность того, что он уйдет влево на 107 стр. сразу за 6 ходов.
Т.е. из 10 тыс. таких попыток, в среднем он уйдет на 107 стр. сразу (6 ходов подряд на 107ю стр.) примерно чуть больше 6-ти раз. (0,00061*10000 = 6,1)
Если же количество ходов не имеет значения, то просто тупо 25%.
«упадет в любую из 4х сторон сразу за 6 ходов.» должно звучать, как «упадет в одну из 4х сторон (выбранную) сразу за 6 ходов. »
Например, для 107-й страницы существует единственная комбинация из 6-ти ходов: влево-влево-влево-влево-влево-влево. Всего вариантов последовательностей ходов 4^6.
упадет на конкретную сторону за 6 ходов - 0,00061%
упадет на любую из 4х сторон за 6 ходов - 0,0244%
упадет на любую сторону — 25%
упадет — 100%
не понимаю откуда взялись вероятности в 0%.
1) вероятность «упадет на конкретную сторону за 6 ходов» = 1/(4^6) = 1/4096 = 0,0244%
2) вероятность «упадет на любую из 4х сторон за 6 ходов» =
4/(4^6) = 4/4096 = 0,0977%
3) Утверждение «упадет — 100%». Это верно при бесконечном допустимом числе ходов и не верно при конечном.
Люди выше вели речь о том, что при любом конечном числе ходов N вероятность остаться внутри любой С-окрестности исходной точки не выше С/N. Это 'закон больших чисел'.
Т.е. когда N идёт к бесконечности вероятность эта идёт к нулю.
Коротко говорят, что вероятность остаться в любой конечной области при бесконечном числе ходов есть 0.