bstone, БШ оперирует инфинитизимальными приращениями dT, dF поэтому ему не нужно накладывать дополнительных требований какой-то там «постоянности гаммы». Оно следует из свойств гладкости функции цены опциона. =) Которые, правда, тоже надо обсуждать отдельно по идее.
ch5oh, т.е. вы утверждаете, что если мы оперируем dT, то можем спокойно выносить вторую производную за знак суммирования без оговорок как у автора? :) Это, конечно же, не так. Там дело в принципиальной разнице между БШ и этим подходом. Пока что я вижу довольно жирные допущения, не очень совместимые с жизнью. Но посмотрим, что будет дальше.
bstone, скорее, имею в виду, что если мы оперируем дифференциально малыми dT, то нет и не может быть никакого суммирования. Разумеется, тогда мы валимся в область обычного БШ.
bstone, хорошо. Буду считать, что возможность иметь несколько разных цен x[j] на инфинитизимальном интервале dT за гранью моего понимания. =) Что-то типа мембранного представления элементарных частиц.
ПС А! Да. Мы же там ещё дельта-хедж успеваем поделать на каждом x[j]. Что опять же с практической точки зрения вызывает вопрос: а наша сделка нашего ДХ — это сделка за рамками потока цен x[j] или это и будет x[j+1]?
То есть не получается ли, что мы сами создаём сделки, сами считаем на них гамму, сами делаем ДХ и сами же реагируем но собственные операции ДХ?..
Kurbakovsky, или если дать более точную формулировку, то аппроксимация второй производной одним значением в бесконечно малой окрестности одной точки это не то же самое, что ее аппроксимация одним значением в неопределенном числе окрестностей, близких к этой точке.
Урматфиз сплошной.
Только там исходной материей является некая объективная реальность (попросту говоря, природа), а опционами торгуют субъективно мыслящие человеки.
Как вписать в баланс субъективность?
Kurbakovsky, и лучше бы — в конечных приращениях. Согласитесь, что «бесконечно малыми» оперировать несколько… неудобно, что ли.
А вообще, в свое время (не помню, какое количество лет назад) здесь, на СЛ, на эту тему был небольшой пост, смысл которого (без привлечения инструментария дифуров) сводился к торговле опционами и синтетикой именно с позиции соблюдения баланса между временным распадом и волатильностью. Тогда этому автору накидали «черных шаров» полную корзину. Ваше балансовое уравнение подтверждает справедливость логических рассуждений того самого автора.
(не помню его ника, но его авторский сайт http://www.zamla.ru/)
Атласов Михаил, ну так блесните настоящим шедевром. Или вы только на караван потявкать? А вообще поразительно, насколько сильно теплый квантовый контент притягивает определенный контингент СЛ… «они ползут на свет!» :)
Когнитивный диссонанс возникает, когда Вы используете частные производные и при этом на интервале дифференцирования dT имеется "несколько изменений цены фьючерса" (замаскированные невинным эвфемизмом m^2).
А так, вроде, звучит логично и местами даже правдоподобно. =)
С практической точки зрения здесь еще будут очень актуальны результаты анализа влияния микроструктуры, которыми делился Eugene Logunov. «Подвижность» фактически определяется именно на уровне этой самой микроструктуры. Причем, если это влияние очевидно в силу самого определения, то финрез вообще не очевиден, т.к. колебания цены, вызванные микроструктурными факторами, могут иметь очень далекое отношения к колебаниям цены, которые можно «пощупать» исполнением своих ордеров.
bstone, можно внести epsilon — ошибку погрешность/точность в модель и принять ее за малый параметр. а дальше уже у кого как execution имплементирован. может у кого там в реализации и едж зарыт, тогда и Большая модель нам и не нужна особо. мобилити — это что-то типа ускорения волатильности раз квадрат там.
wot, даже с малыми параметрами осторожно надо, чтобы умноженный на число «хитрых» движений цены этот малый параметр в слона не превратился :) Насчет ускорения не соглашусь, не вижу связи.
В формулах (3.1)-(3.4) время стоит на месте, а потом при переходе к (3.4) происходит скачок от t_0 до t_n.
С точки зрения изложения «на пальцах» так действительно удобнее, поскольку сначала мы концентрируемся на покупателе, а потом — на продавце. С точки зрения строгости изложения, лучше в формуле (3.1) добавить время и написать
C(x_1, t_1) — C(x_0, t_0) = как было + член с производной по времени.
Тем более, что в определении мгновенной подвижности есть время. Далее, дойти до (3.4), что сразу даст (3.5).
Уравнение (3.6) в любом случае останется верным со сделанными в тексте оговорками про вынос частных производных за знак суммы.
_sk_, В формулах (3.4) и (3.5) неплохо бы указать аргументы у m, т.е. написать m(t_0, t_n).
Кстати, не смотря на гладкость C(x, t), значения m(t_0, t_n) могут быть очень изменчивыми в зависимости от времени. Кажется, что это важно для восприятия в этом месте.
Eugene Logunov, 1. Если процесс неслучайный, то лемма Ито неприменима.
2. Отпадает после первого
3. Пока никакие дополнительные оговорки не нужны. Понадобятся, если возникнет необходимость выражения в явном веде зависимости m от x,t. Пока такой необходимости не было.
Kurbakovsky, понимаете в чем философская загвоздка. Если цена является случаным процессом, то Вы обязаны использовать лемму Ито.
Рассуждение из серии "мы не знаем или не оговариваем тип процесса, поэтому её (лемму) не используем и обращаемся с ценами и дифференциалами как с обычными гладкими функциями" в данном случае неприемлемы, имхо.
ch5oh, не понял, честно говоря. Если цены фьючерса x меняются дискретно, то я не имею право рассматривать непрерывные гладкие функции C(x) и считать их производные?
Kurbakovsky, Вы не прописали в явном виде модель цены x. Поэтому дальнейшие построения повисли в воздухе.
Может быть, следующий раздел посвятить описанию модели случайного процесса x?
А если Вы внезапно объявили функцию х дискретной, то прощай непрерывность, дифференцируемость и разложение в ряд Тейлора. Шаг цены «10» ни в коем случае не подходит под фразу «для любого эпсилон больше нуля».
Kurbakovsky, при всём уважении, он «неопределенный». Но если процесс на самом деле случайный, то Вы обязаны использовать исчисление Ито. Из этой философской ловушки не выйти.
Иначе получается, что Вы с самого начала для построения теории используете широкий набор свойств, которые не были прописаны как «вводные». И потом что-то получаете. Мне приходит в голову аналогия с функцией импликации: из ложного утверждения можно вывести любое утверждение. Вот Вы и выводите то, что Вам нравится.
Может быть, проще плясать от печки?
Лог-нормальный случайный процесс с моделью волатильности
Sigma(F;t) = a+b*F(t)
Eugene Logunov, в данном варианте рассуждений мы всё это замели под коврик, когда с потолка приняли цену опциона дважды непрерывно-дифференцируемой функцией по аргументу Х (по цене) и (минимум) один раз непрерывно-дифференцируемой по времени.
Вроде бы, в начале этого фрагмента автор обещал доказать эти свойства, продемонстрировав возможность арбитража при их нарушении, но в итоге просто пользуется теми свойствами, которые ему нужны.
Короче, нам и лемма Ито не нужна. Всё сводится к умению раскладывать функции в ряд Тейлора до второго порядка (опять же, а почему не до 4-го???). Потому что у автора опять же цена подразумеваетсяобычной регулярной функцией.
Kurbakovsky, наверное, мне будет трудно это сделать без модели процесса х. Фактически, мне сначала нужна формула С(x; t) и потом я буду проверять её аналитические свойства.
ch5oh, это очень хороший вопрос. В БШ мы ограничиваемся вторым порядком, потому что мы можем, используя свойства случайного процесса, рассчитать матожидание и дисперсию высших степеней разностей случайных значений, и получить, что они очень быстро стремятся к нулю при увеличении числа этих значений (а их бесконечно много в непрерывной модели).
Здесь же ничего сказать о высших степенях разностей нельзя в силу «неопределенного», а не случайного, характера процесса. Следовательно отбросить их нет никакой возможности до тех пор, пока не будет доказано, что они имеют больший порядок малости по сравнению с квадратом разностей. А это мне представляется невозможным.
Более того, тут еще есть момент, который по праву напрягает Eugene Logunov. Рассуждения автора справедливы в некотором наборе окрестностей близких к одной точке (при условии постоянства гаммы во всех этих окрестностях), но рано или поздно нужно будет переходить от аппроксимации функции в этих окрестностях, к ее определению на всем интервале входных значений. В БШ это получается, потому что стохастический интеграл в лемме Ито определен на всем интервале значений. В рассматриваемом подходе его нельзя будет взять даже в небольшой окрестности. В моем понимании это практически полностью исключает предстоящий переход от изложенных формулировок к функции стоимости.
bstone, У БШ так получается, потому что у них волатильность считается постоянной. Откажитесь от этого предположения (без дополнительных предположений о ее гладкости) и все развалится
Kurbakovsky, это никак не связано с постоянством волатильности. Эта возможность там есть в силу закона больших чисел и, как следствие, нормального распределения суммы приращений случайной переменной. Волатильность — это уже параметр модели цены, поэтому модель БШ легко обобщается на динамическую волатильность, а также (менее легко) на стохастическую волатильность.
Kurbakovsky, ну вот технически, пока никак не сводится. Вам же придется переходить к интегрированию. Значит придется разбивать интервал на множество шагов, и тут окажется, что т.к. нет свойств случайного процесса, то вы никак не можете оценить вероятность того, что почти все приращения на этих шагах окажутся с одним знаком, а значит отбросить возведение их в большую степень в пределе уже нельзя.
Kurbakovsky, ну я думаю, что вы хотите далее обобщить результат на произвольный момент времени t. Для этого вам придется интегрировать по времени. Нет?
За три дня до экспирации выходит на рынок ЦБ, выставляет на базовом активе «бесконечный» бид и такой же офер с разницей в шаг цены и объявляет об этом всем участникам рынка. Или не объявляет, пусть сами догадываются.
Можно посмотреть, какие предположения модели тут устоят, а какие нарушатся.
_sk_, ну, это так редко бывает. а в промежутках между все вроде как «нормально» (на месячном графике даже такие аномалии — в рамках). да и что теперь, в лес не ходить опционы не продавать? ))
сейчас вот только разберемся с mobility и сразу начнем богатеть.
Ещё один момент, который хотелось бы обсудить, но он, я думаю, уже не сможет повлиять на дальнейшее изложение материала.
Мы предполагаем «справедливый» рынок и это приводит к тому, что в правой части формулы (3.6) стоит 0.
А должен ли там обязательно стоять 0? К примеру, случайное блуждание с нулевым сносом можно считать в каком-то смысле «справедливым», но его результат за любой промежуток времени — это случайная величина с нулевым математическим ожиданием, но не число 0.
Может и в формуле (3.6) надо поставить вместо 0 некоторую случайную величину у которой математическое ожидание 0 и дисперсия как-то зависит от \Delta T?
Можно ли оценить последствия этого для всей дальнейшей теории?
Eugene Logunov, на сколько я знаю, лемма Ито утверждает, что в двух зависимых процессах Винера с дрейфом, этот самый дрейф любого из процессов определяется параметрами другого процесса. Проще говоря дрейф например базисного актива распадается на составляющие процесса волатильности актива, и наоборот. Что же ещё Вы там хотите найти?
Eugene Logunov, наверное (2) наступает, когда параметры процесса не определены. Какая уж тут лемма в таком случае?! А по поводу (1) Вы всё усложняете. Своими производными Вы хотите построить что? Наверное «улыбку»? Попробуйте в d1=(ln(s/k)+r*t+0,5*sigma^2*t)/(sigma*sqrt(t)) запихнуть r*t в sigma*sgrt(t). Почему-то я уверен, что у Вас получится лемма Ито:))
Получившееся уравнение баланса подходит для всех страйков или только для центральных? Если смотреть по БШ, то соотношение теты и гаммы разное в центре и на краях.
И, кажется, при выводе этого уравнения не учитывались возможные гэпы. Это когда идет мощное, однонаправленное движение БА, которое продавец опциона заранее никак не может захеджировать, а может только постфактум зафиксировать большой убыток. Правильно ли игнорировать такие события (пусть и очень редкие)?
Кирилл Браулов, продавец опционов игнорирует гепы и потом хуситам позволяют разбомбить завод — и продавец платит по счетам. Бороться с этим можно или методом FZF или мани-менеджментом.
ch5oh, спасибо, перечитал его. Да, ограничить можно. Если ориентироваться на вомму и продавать, где она минимальна (на центре), а откупать там где она максимальна, то можно вообще строить позы, где и падение и рост IV будет приносить плюс. Правда появляются другие минусы. Т.е. безрисково постоянно продавать времянку — не получится, имхо.
Возвращаясь к топику, все-таки сомнительно, что в уравнение баланса входят только две составляющие: временной распад и ерзанье туда-сюда БА. А сильные _однонаправленные_ движения цены, или даже просто страх (ожидание) этих движений — не учитываются. Где толстые хвосты, ассиметрия? Ну может в следующих топиках станет понятнее…
ch5oh, для себя образно так представляю: есть некая замкнутая система и там частицы случайным образом снуют туда-сюда с какой-то более-менее постоянной волой. И вдруг происходит сильный тычок извне. Вола взрывается, частицы как ошпаренные начинают носится. Потом постепенно все успокаиваются, вола потихоньку спадает и возвращается к своему родному уровню. До следующего тычка.
Так вот, обычная мгновенная вола (или подвижность) характеризует текущее внутреннее состояние системы, но не учитывает возможный в будущем тычок. И уравнение баланса, имхо, начнет учитывать тычок, но только после того, как он произойдет, а не до…
Eugene Logunov, К сожалению, пропал один из Ваших комментариев. Тем не менее, попробую ответить.
Модель должна охватывать все виды процессов — неопределенные (включая случайные). И даже детерминированные, если речь идет о «злонамеренном» процессе, целью которого является разорение всех игроков. Если процесс не направлен конкретно против меня, то модель не должна выделять его среди прочих неопределенных. Хотя для «злодея» он детерминированный.
Я не хочу использовать лемму Ито, потому что условия ее применимости накладывают на процессы очень жесткие ограничения. Я использовал ее раньше, но только для того, чтобы избавиться от лишних вопросов при выводе своей формулы справедливой стоимости.
Мне неизвестно, пытался ли кто-то создать аналог леммы Ито для неопределенных процессов. Я пробовал загнать неопределенность в рамки случайности. Для этого я накладывал на процессы ограничения вида m(DT)<K*(DT)^0.5. (m-это подвижность, найденная на интервале DT). Процесс оказывался как-бы «внутри» винеровского. Дальше логика рассуждений была такая — если какое-то утверждение справедливо для винеровского процесса, то оно должно остаться справедливым и для неопределенного, лежащего «внутри». Далеко не продвинулся, потому что так и не смог решить, что делать со скачками цен в начале периода.
Требовать независимости приращений нельзя, это требование убьет все остальное.
Господа, спасибо за комментарии. Я постараюсь ответить на основные вопросы.
1. Об аналитических свойствах функции C(x). Они справедливы вне зависимости от модели стоимости опциона. На примере монотонности — рассмотрим C(x,S) — где S — страйк опциона. Сначала докажем, что это монотонно убывающая функция S при любом фиксированном x. Доказывается от противного. Если в какой-то момент C(S2)>C(X1) при S2>S1, то опцион с S2 продается, с S1 покупается. В момент экспирации такой портфель оказывается гарантированно неотрицательным. Аналогично для выпуклости, только там портфель будет состоять из 3 опционов. Дальше доказывается, что если эти свойства справедливы для S при фиксированном x, то они будут справедливы и для x при фиксированном S.
2. О возможности игнорирования производных высших порядков. Если в какой-то точке x суммарный вес высших производных перевесит вес второй производной, то это будет означать, что в точке x функция не выпуклая, но она выпуклая всюду.
3. Самый неприятный вопрос — о возможности выноса второй производной за знак суммирования. Можно накладывать кучу дополнительных ограничений на интервал времени и величину отклонений — все это полумеры. Есть радикальный путь для «идеального» рынка, на котором торгуются опционы со страйками по всей оси x. То есть страйки сколь угодно близки друг другу. После любого изменения стоимости x портфель закрывается полностью, прибыль фиксируется. Потом открывается новый портфель, но с другим страйком, таким чтобы вторая производная осталась прежней. Ввиду гладкости C(x) такая возможность всегда есть. Дальше приращения стоимости портфеля снова суммируются, при этом вторая производная равна константе по построению. После некоторых манипуляций с заменой переменных снова приходим к уравнению баланса.
Я не привожу этого доказательства, потому что все его обсуждения заканчивается на фразе «таких рынков не бывает»
И последнее. Я не хочу принимать никакие ограничения, связанные с поведением рынка (случайность, модели случайности и проч.) просто потому, что стоимость дельта-нейтрального портфеля возрастает при любом изменении БА, вне зависимости от того, по каким причинам это изменение произошло — по случайности, или в результате действий злого кукловода. Модель должна остаться рабочей
bstone, скорее, имею в виду, что если мы оперируем дифференциально малыми dT, то нет и не может быть никакого суммирования. Разумеется, тогда мы валимся в область обычного БШ.
bstone, хорошо. Буду считать, что возможность иметь несколько разных цен x[j] на инфинитизимальном интервале dT за гранью моего понимания. =) Что-то типа мембранного представления элементарных частиц.
ПС А! Да. Мы же там ещё дельта-хедж успеваем поделать на каждом x[j]. Что опять же с практической точки зрения вызывает вопрос: а наша сделка нашего ДХ — это сделка за рамками потока цен x[j] или это и будет x[j+1]?
То есть не получается ли, что мы сами создаём сделки, сами считаем на них гамму, сами делаем ДХ и сами же реагируем но собственные операции ДХ?..
просто я об этом упомянул, а остальные предполагают по умолчанию
Только там исходной материей является некая объективная реальность (попросту говоря, природа), а опционами торгуют субъективно мыслящие человеки.
Как вписать в баланс субъективность?
А вообще, в свое время (не помню, какое количество лет назад) здесь, на СЛ, на эту тему был небольшой пост, смысл которого (без привлечения инструментария дифуров) сводился к торговле опционами и синтетикой именно с позиции соблюдения баланса между временным распадом и волатильностью. Тогда этому автору накидали «черных шаров» полную корзину. Ваше балансовое уравнение подтверждает справедливость логических рассуждений того самого автора.
(не помню его ника, но его авторский сайт http://www.zamla.ru/)
Именно эта.)))
Когнитивный диссонанс возникает, когда Вы используете частные производные и при этом на интервале дифференцирования dT имеется "несколько изменений цены фьючерса" (замаскированные невинным эвфемизмом m^2).
А так, вроде, звучит логично и местами даже правдоподобно. =)
Kurbakovsky, =) тогда я присодиняюсь к уважемумому bstone и считаю, что в этих выкладках нет особой математической строгости.
Потому что совершенно очевидно, что в каждой новой точке x[j] на интервале времени delta_T своё значение гаммы и своё персональное значение теты.
Впрочем, меня как практика больше интересует итоговый финансовый результат. Пока что Вы просто сделали некие переобозначения. Думаю, имеете право.
Жду продолжения где пойдет речь про ЭТО. =)
С точки зрения изложения «на пальцах» так действительно удобнее, поскольку сначала мы концентрируемся на покупателе, а потом — на продавце. С точки зрения строгости изложения, лучше в формуле (3.1) добавить время и написать
C(x_1, t_1) — C(x_0, t_0) = как было + член с производной по времени.
Тем более, что в определении мгновенной подвижности есть время. Далее, дойти до (3.4), что сразу даст (3.5).
Уравнение (3.6) в любом случае останется верным со сделанными в тексте оговорками про вынос частных производных за знак суммы.
Кстати, не смотря на гладкость C(x, t), значения m(t_0, t_n) могут быть очень изменчивыми в зависимости от времени. Кажется, что это важно для восприятия в этом месте.
2. Отпадает после первого
3. Пока никакие дополнительные оговорки не нужны. Понадобятся, если возникнет необходимость выражения в явном веде зависимости m от x,t. Пока такой необходимости не было.
Рассуждение из серии "мы не знаем или не оговариваем тип процесса, поэтому её (лемму) не используем и обращаемся с ценами и дифференциалами как с обычными гладкими функциями" в данном случае неприемлемы, имхо.
Может быть, следующий раздел посвятить описанию модели случайного процесса x?
А если Вы внезапно объявили функцию х дискретной, то прощай непрерывность, дифференцируемость и разложение в ряд Тейлора. Шаг цены «10» ни в коем случае не подходит под фразу «для любого эпсилон больше нуля».
Иначе получается, что Вы с самого начала для построения теории используете широкий набор свойств, которые не были прописаны как «вводные». И потом что-то получаете. Мне приходит в голову аналогия с функцией импликации: из ложного утверждения можно вывести любое утверждение. Вот Вы и выводите то, что Вам нравится.
Может быть, проще плясать от печки?
Лог-нормальный случайный процесс с моделью волатильности
Sigma(F;t) = a+b*F(t)
И никаких вопросов больше нет.
Eugene Logunov, в данном варианте рассуждений мы всё это замели под коврик, когда с потолка приняли цену опциона дважды непрерывно-дифференцируемой функцией по аргументу Х (по цене) и (минимум) один раз непрерывно-дифференцируемой по времени.
Вроде бы, в начале этого фрагмента автор обещал доказать эти свойства, продемонстрировав возможность арбитража при их нарушении, но в итоге просто пользуется теми свойствами, которые ему нужны.
Короче, нам и лемма Ито не нужна. Всё сводится к умению раскладывать функции в ряд Тейлора до второго порядка (опять же, а почему не до 4-го???). Потому что у автора опять же цена подразумевается обычной регулярной функцией.
Здесь же ничего сказать о высших степенях разностей нельзя в силу «неопределенного», а не случайного, характера процесса. Следовательно отбросить их нет никакой возможности до тех пор, пока не будет доказано, что они имеют больший порядок малости по сравнению с квадратом разностей. А это мне представляется невозможным.
Более того, тут еще есть момент, который по праву напрягает Eugene Logunov. Рассуждения автора справедливы в некотором наборе окрестностей близких к одной точке (при условии постоянства гаммы во всех этих окрестностях), но рано или поздно нужно будет переходить от аппроксимации функции в этих окрестностях, к ее определению на всем интервале входных значений. В БШ это получается, потому что стохастический интеграл в лемме Ито определен на всем интервале значений. В рассматриваемом подходе его нельзя будет взять даже в небольшой окрестности. В моем понимании это практически полностью исключает предстоящий переход от изложенных формулировок к функции стоимости.
За три дня до экспирации выходит на рынок ЦБ, выставляет на базовом активе «бесконечный» бид и такой же офер с разницей в шаг цены и объявляет об этом всем участникам рынка. Или не объявляет, пусть сами догадываются.
Можно посмотреть, какие предположения модели тут устоят, а какие нарушатся.
сейчас вот только разберемся с mobility и сразу начнем богатеть.
Мы предполагаем «справедливый» рынок и это приводит к тому, что в правой части формулы (3.6) стоит 0.
А должен ли там обязательно стоять 0? К примеру, случайное блуждание с нулевым сносом можно считать в каком-то смысле «справедливым», но его результат за любой промежуток времени — это случайная величина с нулевым математическим ожиданием, но не число 0.
Может и в формуле (3.6) надо поставить вместо 0 некоторую случайную величину у которой математическое ожидание 0 и дисперсия как-то зависит от \Delta T?
Можно ли оценить последствия этого для всей дальнейшей теории?
Получившееся уравнение баланса подходит для всех страйков или только для центральных? Если смотреть по БШ, то соотношение теты и гаммы разное в центре и на краях.
И, кажется, при выводе этого уравнения не учитывались возможные гэпы. Это когда идет мощное, однонаправленное движение БА, которое продавец опциона заранее никак не может захеджировать, а может только постфактум зафиксировать большой убыток. Правильно ли игнорировать такие события (пусть и очень редкие)?
Кирилл Браулов, это наш коллега: FZF
Суть идеи — работать с позициями у которых риск всегда ограничен. Никаких свисающих усов катастроф по краям.
Возвращаясь к топику, все-таки сомнительно, что в уравнение баланса входят только две составляющие: временной распад и ерзанье туда-сюда БА. А сильные _однонаправленные_ движения цены, или даже просто страх (ожидание) этих движений — не учитываются. Где толстые хвосты, ассиметрия? Ну может в следующих топиках станет понятнее…
Так вот, обычная мгновенная вола (или подвижность) характеризует текущее внутреннее состояние системы, но не учитывает возможный в будущем тычок. И уравнение баланса, имхо, начнет учитывать тычок, но только после того, как он произойдет, а не до…
Модель должна охватывать все виды процессов — неопределенные (включая случайные). И даже детерминированные, если речь идет о «злонамеренном» процессе, целью которого является разорение всех игроков. Если процесс не направлен конкретно против меня, то модель не должна выделять его среди прочих неопределенных. Хотя для «злодея» он детерминированный.
Я не хочу использовать лемму Ито, потому что условия ее применимости накладывают на процессы очень жесткие ограничения. Я использовал ее раньше, но только для того, чтобы избавиться от лишних вопросов при выводе своей формулы справедливой стоимости.
Мне неизвестно, пытался ли кто-то создать аналог леммы Ито для неопределенных процессов. Я пробовал загнать неопределенность в рамки случайности. Для этого я накладывал на процессы ограничения вида m(DT)<K*(DT)^0.5. (m-это подвижность, найденная на интервале DT). Процесс оказывался как-бы «внутри» винеровского. Дальше логика рассуждений была такая — если какое-то утверждение справедливо для винеровского процесса, то оно должно остаться справедливым и для неопределенного, лежащего «внутри». Далеко не продвинулся, потому что так и не смог решить, что делать со скачками цен в начале периода.
Требовать независимости приращений нельзя, это требование убьет все остальное.
1. Об аналитических свойствах функции C(x). Они справедливы вне зависимости от модели стоимости опциона. На примере монотонности — рассмотрим C(x,S) — где S — страйк опциона. Сначала докажем, что это монотонно убывающая функция S при любом фиксированном x. Доказывается от противного. Если в какой-то момент C(S2)>C(X1) при S2>S1, то опцион с S2 продается, с S1 покупается. В момент экспирации такой портфель оказывается гарантированно неотрицательным. Аналогично для выпуклости, только там портфель будет состоять из 3 опционов. Дальше доказывается, что если эти свойства справедливы для S при фиксированном x, то они будут справедливы и для x при фиксированном S.
2. О возможности игнорирования производных высших порядков. Если в какой-то точке x суммарный вес высших производных перевесит вес второй производной, то это будет означать, что в точке x функция не выпуклая, но она выпуклая всюду.
3. Самый неприятный вопрос — о возможности выноса второй производной за знак суммирования. Можно накладывать кучу дополнительных ограничений на интервал времени и величину отклонений — все это полумеры. Есть радикальный путь для «идеального» рынка, на котором торгуются опционы со страйками по всей оси x. То есть страйки сколь угодно близки друг другу. После любого изменения стоимости x портфель закрывается полностью, прибыль фиксируется. Потом открывается новый портфель, но с другим страйком, таким чтобы вторая производная осталась прежней. Ввиду гладкости C(x) такая возможность всегда есть. Дальше приращения стоимости портфеля снова суммируются, при этом вторая производная равна константе по построению. После некоторых манипуляций с заменой переменных снова приходим к уравнению баланса.
Я не привожу этого доказательства, потому что все его обсуждения заканчивается на фразе «таких рынков не бывает»
И последнее. Я не хочу принимать никакие ограничения, связанные с поведением рынка (случайность, модели случайности и проч.) просто потому, что стоимость дельта-нейтрального портфеля возрастает при любом изменении БА, вне зависимости от того, по каким причинам это изменение произошло — по случайности, или в результате действий злого кукловода. Модель должна остаться рабочей