Блог им. Kot_Begemot

Язык дракона и танец волатильности

Язык дракона и танец волатильности

«Настоящее образование включает умение хорошо петь и танцевать».  
Платон.



Коллега ch5oh задал парадоксальный, на первый взгляд, вопрос: «как продавая дорого то, что стоит дешево, можно ещё и умудриться проиграть?»
Однако парадоксально он выглядит лишь до тех пор, пока мы остаёмся в рамках косной метафизики, не желающей, и не склонной к диалектическому танцу. 

Для сравнения этих двух подходов — метафизики и диалектики — мы будем рассчитывать Нэш-равновесные цены двух недельных опционов (STO) и моделировать игру покупателя и продавца. В первом случае мы будем исходить из постоянства (авторегрессии) волатильности, пользуясь исключительно текущей HV,  а во втором — из её танца (mean-reverse AR), о котором, как нам кажется, мы знаем чуть более, чем ничего.


* То, что волатильность представляет из себя mean-reverse процесс, подобный движению Орнштейн-Уленбека, неоднократно было показано Дмитрием Новиковым , Евгением Логуновым , и Котом-Бегемотом (например в статьях Авторегрессия волатильности и Путешествие по морю штормов )





Для примера возьмём какой-нибудь простой базовый актив, например индекс американских акций SP500 и построим сначала простую HV модель :


Язык дракона и танец волатильности
Изображение — Прибыль от удержания базового актива (синяя линия) и прибыль от удержания опционов различных страйков.



Для неискушенного взгляда всё просто прекрасно — стратегии по покупке опционов уверенно усредняются в ноль, индифферентно относятся к пертурбациям базового актива и не выходят, при этом, за рамки приличия, ограниченного геометрическим броуновским движением (GBM) для справедливых (STO) цен. Но, в действительности, это не более чем overfitting или, другими словами, недообучение модели.

Посмотрим теперь на этот результат через призму внутренней оценки модели, т.е. предполагаемого распределения цен базового актива на экспирацию:


Язык дракона и танец волатильности
Изображение — Прибыль по стратегиям покупки опционов в единицах собственных оценок модели. 




Хорошо видна ступенька, возникающая в прибыли по 12%-му страйку Put опционов (которая будет убытком продавца в рамках модели игры покупателя и продавца), свидетельствующая о том, что в некоторый период низкой волатильности мы оценили вероятность взятия 12% страйка близкой к нулю, продали дешевые опционы за дорого (в текущем моменте) и ...  удивительным образом, повторили незавидную судьбу Ильи Коровина, ставшую уже притчей во языцех, и повествующую о том, как инвестиционный портфель опционов может быть единовременно слизан длинным языком Дракона.  


Язык дракона и танец волатильности
Изображение — Язык дракона на графике прибылей/убытков по покупке пут-опционов 12% страйка. 

 

По другим страйкам, надо отметить, ситуация не сильно лучше — результаты покупок лего отклоняются от нулевого равновесия на 10-20 среднеквадратичных отклонений (сигм).   


Теперь рассчитаем STO (smile theory optimal) цены опционов с учётом mean-reverse танца волатильности*: 


Язык дракона и танец волатильности
Изображение — Прибыль от удержания базового актива (синяя линия) и прибыль от удержания опционов различных страйков.



На первый взгляд  ничего не изменилось, кроме того, что мы покупали и продавали опционы совершенно по другим ценам и совершенно другим сценариям. Рассмотрим результаты стратегий через призму собственных оценок модели:

Язык дракона и танец волатильности

Изображение — Прибыль по стратегиям покупки опционов в единицах собственных оценок модели. 



Видно, что несмотря на то, что результаты несколько выходят за рамки приличия GBM и отклоняются от нуля вплоть до 5 сигма (из-за отсутствия put/call паритета), тем не менее,  в первом приближении, мы можем считать полученное ценообразование Nash-оптимальным, то есть не дающим преимущества ни покупателю, ни продавцу. Это стало результатом того, что при малой волатильности мы "покупали" опционы дорого, а при высокой — "продавали" опционы дешево. То есть в результате того, что мы совершали не совсем «рациональные» действия,  нам удалось избежать злой участи быть съеденным Драконом.

Вывод - без mean-reverse оценок волатильности сколько-нибудь адекватные модели опционного ценообразования не возможны. 


UPD:

Для полной чистоты эксперимента, приведем поверхность качества оценки опционов с учётом skew, но без mean-reverse :

Язык дракона и танец волатильности

Изображение — Прибыль (накопленная) по стратегиям покупки опционов в единицах собственных оценок модели. 

Как видно — модель упорно совершает всю ту же ошибку — недооценивает опционы при низких значениях исторической волатильности.

★5
41 комментарий
Достаточно убедительно… но всё равно продавал, продаю, буду продавать «дорогие»…
 Чужие ошибки никого не учат, учат только свои…
avatar
Бек, с учётом того, что рынок оценивает опционы достаточно эффективно, то в критических точках всё равно что делать — покупать или продавать. Вот если бы рынок пользовался какими-то простыми критериями, вроде IV=HV, тогда бы да, стоило покупать низкую волатильность и продавать — высокую. 

А так, получается, что все эти эффекты уже учтены, в том, что:

IV=7% когда HV=4%
avatar
Kot_Begemot, Не совсем понял с какой волой вы оценивали краевые опционы. Как, в прочем, не совсем проникся начальными условиями модели. Но у вас должно получится симметричное смещение как прибыли по путам так и по коламм. У вас, как то, все траектории (в среднем) опционов тянет вниз. Что то вы по страйкам с волой не то делаете. У вас все опционы по НV оценены?
Дмитрий Новиков, первые по HV, вторые по  a*HV+C .

На SPX есть leverage-effect, поэтому put опционы в среднем выигрывают у call опционов с учётом того, что оба типа опционов имеют одну и ту же цену (модель цены). 

Если учесть leverage, то там получается симметрично… почти. В любом случае там какой-то простой моделью уже не обойдешься, чтобы выровнять доходность по всем стайкам.

На ММВБ чуть проще — там с хорошей точностью всё стягивается в ноль (по всем страйкам). 
avatar
Kot_Begemot, По моему у вас не учтено следующее. Допустим у нас ЦС 100 и с равной вероятностью мы можем уйти либо на 50 либо на 150. То есть 50% вверх или 50% вниз. Все симметрично. Но мы измеряем волатильность в приращениях логарифмов. Для того что бы уйти вверх надо 0,40 волу, а уйти вниз нужна 0,69 вола. Поэтому существует скос (наклон) волатильности. 
У вас это ни где не предусмотрено. Просто берете некую волатильность и присваиваете всем страйкам. Линейно. 
Дмитрий Новиков, я бы не сказал, что дело только в этом :


Распределение приращений SPX за две недели в линейном масштабе. Как видно, скос присутствует и здесь.

avatar
Kot_Begemot, Ну если переходить на реальный актив, то к скосу естественному добавляется еще и скос корреляции БА и волатильности. А так как у вас виден явный эксчесс, то этот наклон еще и заворачивается.
Но для чистоты ваших расчетов учтите хотя бы скос.
Почему у вас на графике приращений (линейных) по центру 1
Дмитрий Новиков, ошибся 


Всё равно скос заметный. (это в относительных У.Е)
avatar
Kot_Begemot, Скос это не на глаз определяется, а по формуле.
Дмитрий Новиков, в пост с учётом скоса добавил. 
avatar
Kot_Begemot, Надеюсь не из линейных приращений волатильность подставляли?
Дмитрий Новиков, Вы, вероятно, считаете, что все должно сойтись в ноль с учетом одного лишь скоса?
avatar
Kot_Begemot, Не совсем. При равной волатильности IV RV сойдется в 0. Но если IV вашего опциона меньше чем изменение БА (RV), то при покупки должен быть плюс. 
Дмитрий Новиков, 

Ну если переходить на реальный актив, то к скосу естественному добавляется еще и скос корреляции БА и волатильности

У меня в скосе уже утена корреляция. Я же не на один день распределение построил, а сразу на две недели, внутри которых волатильность росла или падала.
avatar
Kot_Begemot, Корреляция с чем, внутри? У вас 200 недель с отклонением -0,01 и 180 недель с отклонением 0,01. Понятно, что эти вещи по разному стоят. 
Эксцесс это показатель как меняется волатильность волатильности. По хорошему у вас должно быть 150 случаев. А их больше. Значит вола была меньше, чем распределение в которое вы хотите все это вписать. Но и есть хвосты, которые выходят за распределение. Значит, в какой то момент вола была больше.
Дмитрий Новиков, 

Эксцесс это показатель как меняется волатильность волатильности. 

Не совсем.


 Значит вола была меньше, чем распределение в которое вы хотите все это вписать. Но и есть хвосты, которые выходят за распределение. Значит, в какой то момент вола была больше.

Да, собственно, на хвосты и акцентирую внимание, когда вола оказывается больше расчетной. В моменты когда вола меньше расчетной я условно покупаю опционы очень дорого (по расчетной)  и терплю колоссальные убытки. Но у меня все ошибки в одну сторону — вверх, а это говорит о том, что я (то есть модель) склонен занижать волу и не склонен завышать волу.  Занижаю, естественно, только в периоды низкой волатильности, так как сама модель пляшет от HV.
avatar
Kot_Begemot, Ну это из за способа вашего дельта хеджирования. В вашем случае вы берете кол (например) ровняете дельту один раз и ждете. В этом случае у вас получается IV-RV=результат. В тот же момент сидит ch5oh и делает ДХ постоянно, но у него (IV-RV)/2IV. Понятно, что у него IV может быть дороже. Потому что рисков меньше. Вы можете потерять всю стоимость опциона, а он только половину. 
Не торговать опционы, пока из не изучишь как таблицу умножения=тоже вариант.
avatar
Юнчикс, Знает ли брокер опционы как таблицу умножения? Если да, то почему он брокер, а тредить васянов мотивирует… безграничная доброта?)
avatar
Допельгангер, брокер — он просто глупый, неумелый, не умеет считать. а смарт-лабовец (смарт — это умный по англ. ведь) — он умеет будущее предсказать по черточкам, и опционы поторговать (а брокер, бедняга, на копеешных комиссиях побирается и не ничего не слышал про БШ с CRR).
avatar
wot, аж слезу пустил жалко брокеров, на их счетах васяны стабильно зарабатывают на мегастратегиях, а они (брокерня) даже скопипастить не могут, имбецилы блин, а еще юр. лица открывают, бизнесы миллиардные ведут пфф…
avatar
Я вот о чем всегда думал: как можно строить авторегрессионные модели для HV, если множества расчёта её соседних значений отличаются все двумя из расчётного «окна»? Ведь в этом ряде по построению заложена автокорреляция, даже если исходный ряд представляет из себя последовательность независимых случайных величин.

Кстати, если будущее распределение цены имеет смещение по модулю больше «безрисковой ставки», то колл-пут паритет говорит о неэффективности цены опциона «вне денег» из этой пары. 
avatar
А. Г., в мясорубку можно пихать все, что пихается…
avatar
А. Г., ну можно же построение делать так, чтобы оценки HV соседних значений строились на непересекающихся участках данных.
avatar
Sergey Pavlov, можно, но тогда пропуски будут.
avatar

А можно как-то попроще? На пальцах дать вывод на качественном уровне?

 

Что-то типа «продавать опционы когда ашви уже низкая — это плохо» и «покупать опционы когда ашви уже высокая — тоже плохо»?

И ещё важное уточнение: Вы в этой модели не делаете ДХ совсем? То есть конструкции чисто статические?

avatar
ch5oh, на пальцах вывод дан последней строчкой — если взялись считать опционы, то считайте mean-reverse характеристики ( в зависимости от модели). А так чтобы дать готовый рецепт, как вы просите, это нужно уже на реальные цены смотреть.


Вы в этой модели не делаете ДХ совсем?

Я никогда не делаю дельта-хедж потому что это убыточная стратегия. Это не означает того, что его невозможно прибыльно использовать в некоторых частных случаях, но в общем случае, то есть по умолчанию, я не использую  его никогда и даже не планирую использовать.

С ростом сложности AI, когда все рядовые вопросы будут закрыты, может быть я и подумаю над этим, но пока дельта-хедж у меня последний в списке важности при торговле опционами.
avatar
Kot_Begemot, ок. ДХ на последнем (хотя delta — основной маркет-риск), а что же на первом месте? )) 
avatar
wot, на первом — доход. Риски я оставлю врагу своему, как завещает Ветхий Завет 
avatar
ch5oh, Можно делать ДХ, можно не делать ДХ. У нас получатся просто разные расчеты. Если не делать, то HV-IV. Если делать, то НV^2-IV^2. Вол своп и вар своп.
Дмитрий Новиков, теперь даже не знаю публиковать ли продолжение предыдущей статьи?.. =) Засомневался.
avatar
ch5oh, Почему. Там Eugene Logunov  хорошую ссылку в коментах сделал. Как раз на эту тему.

Дмитрий Новиков, =) ну и хорошо. Кто прочитал, тот всё понял.

Просто судя по Вашим ответам ни Вы, ни уважаемый Kot_Begemot до конца не поняли статью. =) Или специально шифруетесь.

avatar
ch5oh, Почему. Прекрасно понял. Но вы закончили вывод вопросом. Ясно ли нам по какой воле надо ДХ. На что получили замечательный ответ: http://web.math.ku.dk/~rolf/Wilmott_WhichFreeLunch.pdf от Wilmott. Или вы имели ввиду что то другое? 
Eugene Logunov, В каком месте? Про наклон или про свопы?
Eugene Logunov, Согласен. Хотя вар своп оставим. Вол своп вычеркиваем. 
Дмитрий Новиков, а var-swap ведь можно как-то синтезировать из plain vanilla опционов? хотя, там надо простыню из страйков создавать и управлять весами — разоришься на комиссах)) тогда мы торгуем чистой вегой. 
avatar
wot, не чистой, а вар. Что бы реплицировать надо поддерживать гамму. 

теги блога Kot_Begemot

....все тэги



UPDONW
Новый дизайн