Новичкам. Логнормальное распределение и допущения модели Блэка-Шоулза.

Всем привет.

В тот раз мы разобрались с темой нормального распределения, а сегодня попытаемся для себя разобраться с новой темой, еще более интересной. Она очень важная, поэтому будет много текста из книги Натенберга.

Насколько обосновано наше предположение, что цены базового актива распределены нормально? Даже если не касаться самой возможности существования какого-либо строгого распределения цен в реальной жизни, то можно утверждать, что у допущения о нормальном распределении есть один серьезный недостаток. Кривая нормального распределения симметрична. Если принимается допущение о нормальном распределении, то мы, предположив возможность повышательного изменения цены БА, обязаны предположить возможность такого же понижательного изменения. Если мы допускаем возможность повышения цены РИ при прайсе 70 000 пунктов на 80 000 пунктов вверх до 150 000, то должны допустить также и возможность падения до -10 000 пунктов. Поскольку РИ это не WTI и цены не могут уйти в отрицательную зону, становится очевидным, что допущение о нормальном распределении не вполне корректно. Как устранить этот недостаток?

До сих пор мы определяли волатильность как процентное изменение цены базового актива. В этом смысле процентная ставка и волатильность схожи, поскольку и то и другое дает представление о доходности. Основное различие между ними заключается в том, что процентный доход положителен, в то время как волатильность отражает как положительное, так и отрицательные доходности. Если вложить деньги под фиксированную ставку, то сумма всегда увеличивается. Но если вложить их в БА с волатильностью больше нуля, то цена этого инструмента может как повыситься, так и понизиться. Волатильность, определяемая как стандартное отклонение процентных изменений цены БА ничего не говорит о направлении изменения цены.

Поскольку волатильность отражает доходность, большое значение имеет порядок расчета доходности. Предположим, что мы инвестировали 1000 $ на год под 12% годовых. Сколько мы получим в конце года? Ответ зависит от того, как будут выплачиваться проценты:


Когда проценты выплачиваются чаще, даже если годовая ставка не меняется, доходность увеличивается. В случае непрерывной выплаты процентов доходность будет максимальной (здесь используются сложные проценты, непрерывное начисление означает, что интервал между выплатами становится все меньше и меньше, в предельном случае — бесконечно малым, при этом рост суммы описывается функцией exp(r*t)).

Теперь самое интересное, проделаем те же расчеты для отрицательной процентной ставки, хотя она встречается реже. Предположим, что мы ежегодно теряем 12% инвестиций от первоначальной суммы 1000 $. Сколько у нас останется в конце года? Ответ зависит от того, как часто начисляются убытки:


В случае отрицательной процентной ставки убытки, как и отрицательная доходность, меньше, если убытки начисляются чаще, хотя годовая ставка остается неизменной.

Точно так же, как процентные выплаты могут начисляться с разными интервалами и давать различные эффективные доходности, так и волатильность может рассчитываться с разными интервалами. Для целей оценки опциона делается допущение, что цена БА меняется непрерывно (как вверх, так и вниз), а волатильность «накапливается» непрерывно со скоростью, соответствующей годовой волатильности данного БА (если точнее, то непрерывно накапливается не волатильность, а дисперсия, поэтому волатильность увеличивается пропорционально корню квадратному из времени).

Что произойдет, если в каждый момент времени цена БА будет повышаться или понижаться на заданный процент, а распределение этих движений будет нормальным? Если исходить из нормального распределения изменений цены БА, то в результате непрерывного накопления этих изменений мы получим к дате экспирации логнормальное распределение цен. Такое распределение смещено из-за того, что движения цены вверх в абсолютном выражении больше движений цены вниз (см.внизу рисунок). В нашем примере с 12%-ой ставкой непрерывного начисления положительного процента даст через год +127,50 $, в то время, как непрерывное начисление убытка по той же ставке отнимет -113,08 $. Хотя в среднем относительные колебания цены (доходности), взятые по абсолютной величине, и сохраняются на уровне 12%, непрерывное 12%-ое нарастание и снижение приводит к различным повышательным и понижательным изменениям цены.

Модель Блэка-Шоулза — это модель непрерывного времени. Она исходит из того, что волатильность БА в течение всего срока действия опциона постоянна, но эта волатильность рассчитывается по методу непрерывного начисления. Эти два допущения означают, что возможные цены БА распределяются логнормально. Это также объясняет, почему у опционов с более высоким страйком стоимость больше, чем у опциона со страйком пониже, когда обе цены как будто одинаково далеки от текущей цены БА.

Здесь ВНИМАНИЕ! Я собственными глазами видел, когда цены по равноудаленным страйкам от текущей цены БА были одинаковыми. И такое бывает очень часто. Вопрос аудитории на засыпку: почему так бывает?

Предположим, что цена фьюча РИ составляет ровно 100 000. Если мы принимаем во внимание нормальное распределение возможных цен, то 110 колл и 90 пут, которые оба вне денег на 10%, должны иметь одинаковую теоретическую стоимость. Но если мы допускаем в модели Блэка-Шоулза логнормальное распределение, то стоимость 110 колла всегда будет выше стоимости 90 пута. Логнормальное распределение предполагает более значительное в абсолютном выражении повышательное изменение цены.

Таким образом, для 110 колла характерна более высокая вероятность роста цены, чем для 90 пута. Сноска на полях: конечно же это только в теории, а на практике нет никакого закона, который гласил бы, что рыночная цена 90 пута не может превысить цену 110 колла.



Встроенное в модель Блэка-Шоулза допущение о логнормальном распределении устраняет сформулированную ранее логическую проблему. Если мы допустим возможность неограниченного повышения цены БА, то в случае нормального распределения придется допустить и ее неограниченное понижательное изменение. Это приводит к появления отрицательных цен БА, что исключено для большинства рассматриваемых нами инструментами (Натенберг не видел как WTI на Мосбирже торговался в недавнем времени, он бы посмеялся). Логнормальное распределение допускает возможность неограниченного роста цены (логарифм +бесконечноть = +бесконечность), но исключает возможность ее падения ниже нуля (логарифм -бесконечность = 0). Вообще такая формулировка некорректна с математической точки зрения, но Натенберг почему-то пишет именно так.

Логарифмическая функция берется всегда от положительных значений, так было бы писать правильно, но саму идею Натенберг очень красиво изложил, логнормальное распределение чаще встречается в реальной жизни, потому что цена на товар не может быть отрицательной, если не считать WTI.

Не лишним будет также вспомнить про саму функцию логарифма и ее свойства:



В заключение подведем итог и перечислим важнейшие допущения в отношении изменения цены, встроенные в модель Блэка-Шоулза:

1. Изменение цены БА носит случайный характер и на него невозможно воздействовать, как невозможно предсказать заранее направление этого изменения.
2. Процентные изменения цены БА имеют нормальное распределение.
3. Поскольку мы принимаем, что процентные изменения цены БА накапливаются непрерывно, цены БА при экспирации распределяются логнормально.
4. Математическое ожидание данного логнормального распределения — это форвардная цена БА.

При этом, первое допущение может вызвать у многих трейдеров акт агрессии и возражения, ведь как так? Технические аналитики полагают, что, анализируя прошлую динамику цен, можно предсказать направление их будущего изменения. Можно на графике построить уровни поддержки и сопротивления, найти ГИП и другие фигуры графического анализа и они ведь действительно работают и помогают предсказать тенденцию изменения цены. Но в случае классических опционщиков всё это не важно, потому что модель Блэка-Шоулза исходит из случайного изменения цен и невозможности предсказания направления их изменения. Это не означает, что использование модели Блэка-Шоулза не требует прогнозирования, однако, главная задача такого прогнозирования — предсказать величину изменения цены, а не направление изменения. Это и есть торговля волатильностью — покупай дешево и продавай дорого.

Как мы увидим дальше, есть основания сомневаться и в правомерности третьего допущения о логнормальном распределении цен при экспирации. Для одних рынков оно правомерно, для других — нет. Здесь опять-таки важно, чтобы использующий модель трейдер знал, какие допущения принимаются при расчете теоретической стоимости опциона, тогда он сможет решить насколько точны эти допущения, а, следовательно, и полученные значения теоретической стоимости.

Если такие вот топики вам заходят, ставьте лайки и жмите колокольчик.

С уважением, Карлсон.

---
p.s. кому интересно, свои мысли по рынку кидаю в канал «Фондовый рынок глазами Карлсона» (t.me/KarLsoH), там же есть и опционный чат.