Математика жизни и смерти. Часть 4. 7 математических принципов, формирующих нашу жизнь. Алготрейдинг, Алгоритмы, Вакцинация.

Математика жизни и смерти. Часть 4.

Сделки на фондовом рынке все чаще реализуются в виде так называемой алгоритмической торговли. 

Компьютеры могут ощутить и отреагировать на изменения на рынке в гораздо быстрее, чем люди.

Считается, что 70 % торговли на Уолл-стрит сейчас ведется так называемыми автоматами с черным ящиком. 

Поэтому крупные трейдерские компании и банки все чаще обращаются к выпускникам математических и физических факультетов, а не к брокерам, чтобы те помогли с написанием и пониманием (что, пожалуй, даже важнее) этих алгоритмов-трейдеров.

Утро 6 мая 2010 года выдалось неважным для рынков.

независимый трейдер Навиндер Сарао, из своей лондонской спальни, запустил специализированный алгоритм, 

Алгоритм был разработан, чтобы заработать на спуфинге – имитации заявок.

Размещая множество заявок, а затем сразу же их отменяя, мошенник заставляет остальных трейдеров поверить в то, что на рынке действует новый тренд.

Всего за 14 секунд алгоритмы продали более 27 000 E-mini-контрактов, что составило 50 % от общего объема торгов за день. 

Затем они начали продавать другие типы фьючерсных контрактов, чтобы снизить дальнейшие потери. 

Затем лихорадочные продажи захватили акции и более широкий рынок. 

За пять минут индекс Dow Jones упал почти на 700 пунктов, доведя общий дефицит за день почти до 1000 пунктов – самое большое однодневное падение за всю историю индекса. 

За день с фондового рынка был вымыт 1 триллион долларов. 

Однако, как только рынок достиг дна и к алгоритмам вернулась уверенность, они так же быстро откорректировали стоимость большинства акций обратно к значениям, близким к начальным.

Считается, что эта «спуф»-сделка принесла Сарао 40 миллионов долларов.

Но, Сарао в 2015 году был арестован за ту роль, которую его схема сыграла в обрушении 2010 года,

ему грозит до 30 лет тюрьмы; кроме того, он обязан вернуть деньги, заработанные в результате своей незаконной торговли. 

Преступление – даже подкрепленное алгоритмами – все же, похоже, не окупается.

(Тренд всемогущий).

Twitter использует относительно простой алгоритм для определения трендовых тем. 

Алгоритм ищет резкие скачки в использовании хештегов, а не продвигает темы исключительно на основе частого обращения к ним. 

Это кажется разумным: взгляд на изменение интенсивности, а не на саму интенсивность использования хештегов позволяет быстро вывести в топ новостей короткие, но важные события, вроде запроса на донорскую кровь (#dondusang – донорство) или предложения укрыться на ночь (#porteouverte – открытая дверь) после серии террористических атак в Париже в 2015 году. 

Если бы большой объем хештегов был единственным критерием тенденции, то мы никогда не услышали бы ни о чем, кроме «Игры престолов» (#GoT).

К сожалению, этот же набор правил означает, что социальные темы, которые разворачиваются медленно, редко набирают ту популярность, которую они заслуживают. 

В 2011 года, когда волна протестного движения «Захвати Уолл-стрит» набирала силу, хештег #occupywallstreet ни разу не был трендовым в родном Нью-Йорке, при том что в этот период он был самым популярным хештегом в «Твиттере» в целом. 

Тогда же менее протяженные во времени истории, такие как смерть Стива Джобса (#ThankYouSteve) или свадьба Ким Кардашьян (#KimKWedding), привлекли больше внимания (несмотря на то, что отмечали их в целом реже), чтобы подняться вверх по трендовым рейтингам «Твиттера».

проблемы с обеспечением достоверности и верификацией информации заставили Facebook полностью отключить трендовую платформу в июне 2018 года.

По мере усложнения алгоритмов результаты их могут стать соразмерно непредсказуемыми, поэтому программы требуют более пристального внимания. 

Однако контроль за работой алгоритмов должны осуществлять не только технологические гиганты. 

Оптимизирующие алгоритмы все глубже внедряются в нашу повседневность, и мы – пионеры технооптимизма – должны взять на себя часть ответственности за достоверность тех результатов, которые нам скармливают.

Хотя алгоритмы могут предоставить нам информацию, которая облегчает принятие жизненно важных решений, они все же не заменяют наши собственные тонкие, предвзятые, иррациональные, непостижимые, но в конечном счете человеческие суждения.

Так, хотя достижения современной медицины серьезно ограничивают распространение инфекций, математика показывает, что среди наиболее эффективных способов укрощения эпидемий – простые разумные действия и личный выбор каждого человека.

(Глава 7. «Восприимчивые», «инфицированные», «выбывшие». Сдержать эпидемию – в наших силах).

Незримым подтекстом большей части истории человечества идет история заразных болезней. 

Так, было обнаружено, что более 5000 лет назад значительную часть населения Древнего Египта поразили малярия и туберкулез. 

Считается, что глобальная пандемия Юстиниановой чумы выкосила от 15 до 25 % населения мира, насчитывавшего тогда 200 миллионов человек. 

После вторжения Кортеса в Мексику местное население за полвека сократилось с примерно 30 миллионов до каких-то 3 миллионов; 

К середине 18 века оспа была распространена повсеместно. 

Считается, что только в Европе от этой болезни умирало 400 тысяч человек в год, что составляло до 20 % всех смертей на континенте. 

Половина выживших оставались слепыми и обезображенными. 

Выяснилось, что легкая коровья оспа, которой заражалось большинство доярок, обеспечивает некоторый иммунитет от оспы натуральной – человеческой.

в 1796 году врач Эдвард Дженнер провел новаторский эксперимент по профилактике заболеваний. 

Он втер гной из язвочки на руке доярки, зараженной коровьей оспой, в порез на руке восьмилетнего мальчика Джеймса. 

У мальчика быстро появились высыпания и развилась лихорадка, но через десять дней он встал на ноги, здоровый, как и до прививки. 

два месяца спустя Фиппс снова попал в руки Дженнера – на сей раз врач привил мальчику более опасный штамм человеческой оспы. 

Прошло несколько дней, но Фиппс не демонстрировал никаких симптомов заболевания, и Дженнер пришел к выводу, что у того выработался иммунитет.

Дженнер назвал свой защитный процесс вакцинацией, от латинского слова vaccas – корова. 

Корни математической эпидемиологии также лежат в попытке побороть оспу.

В отличие от вакцинации, вариоляция подразумевает контакт с небольшим объемом материала, связанного непосредственно с самой болезнью.

 Для предотвращения оспы люди вдыхали через нос перетертые в пыль струпья переболевших или вводили их гной в порез на руке. 

Целью было спровоцировать у себя более мягкую форму оспы, которая, хотя и неприятна, но гораздо менее опасна и обеспечит пациенту пожизненный иммунитет от тяжелых симптомов резко выраженной болезни. 

Эта практика быстро распространилась на Ближний Восток, а затем, в начале 1700-х годов, и в Европу.

неприятие вариоляции вызывала смертность в результате вариоляции – 2 % из тех, кто подвергся процедуре, умирали.

Несмотря на то, что смертность 2 % была значительно ниже, чем 20–30 %, связанная с естественным распространением заболевания, критики утверждали, что многие пациенты, подвергшиеся вариоляции, возможно, никогда не заразились бы оспой обычным путем, поэтому широкая профилактика является ненужным риском. 

швейцарский математик Даниил Бернулли применил математический подход и для определения общей эффективности вариоляции.

Бернулли предложил уравнение, описывавшее долю людей, которые никогда не болели оспой и, следовательно, еще могли ею заразиться, для каждой возрастной группы. 

Свое уравнение он выверял по таблице смертности, которая описывала, какая часть из всех родившихся доживала до определенного возраста. 

На этой основе он смог вычислить соотношение выздоровевших и умерших к общему числу тех, кто болел оспой. 

С помощью второго уравнения Бернулли подсчитал количество жизней, которые могли спасти, если бы вариоляции регулярно подвергали все население. 

Он пришел к выводу, что при всеобщей вариоляции почти 50 % новорожденных доживали бы до 25 лет. 

по сравнению с показателем в 43 %, наблюдаемым при свободном распространении оспы среди населения, это существенный прогресс. 

Возможно, еще более примечательной была его демонстрация того, что такое простое медицинское вмешательство способно увеличить среднюю ожидаемую продолжительность жизни на три года с лишним. 

Для Бернулли необходимость государственной медицинской программы по борьбе с оспой была очевидна.

Сегодня, с помощью базовых математических моделей мы можем прогнозировать развитие заболеваний и оценить последствия возможных корректирующих мероприятий на распространение болезней. 

В поисках работоспособной модели математики разделили население на три основные категории в соответствии со статусом заболевания. 

Тех, кто еще не заболел, она назвали «восприимчивыми». Susceptibles.

Те, кто заразился болезнью и был способен передать ее восприимчивым, были обозначены как «инфицированные».  infectives.

Третья группа – «выбывшие». removed 

Под ним подразумевались как те, кто переболел, выздоровел и приобрел иммунитет, так и те, кто умер. 

Во всяком случае, «выбывшие» больше не способствовали распространению болезни. 

Это классическое математическое представление распространения болезни называется моделью SIR.

Аббревиатура — Susceptibles, infectives, removed (англ.) – восприимчивые, инфицированные, выбывшие.

За 90 лет с момента своего создания SIR-модель успешно применялась для описания всевозможных заболеваний. 

От лихорадки денге в Латинской Америке до европейской чумы свиней в Нидерландах и норовируса («желудочного гриппа») в Бельгии, модель SIR может дать жизненно важные уроки для профилактики заболеваний.

(Презентеизм, предсказания и проблема чумы).

В последние годы распространение так называемых нулевых трудовых договоров и рост временной занятости – отличительная черта развивающейся «сдельной» экономики – способствовали тому, что люди все чаще приходят на работу больными. 

то, во что обходится презентеизм, стало понятно относительно недавно. 

Презентеизм – многозначный термин, включающий в себя разнообразные понятия от постоянной переработки до присутствия на рабочем месте в болезненном и малопродуктивном состоянии.

Меры, принятые для борьбы с прогулами, включая сокращение оплачиваемых отпусков по болезни, вызывают заметный рост числа людей, приходящих на работу независимо от состояния здоровья, что приводит к непреднамеренному росту числа заболеваний и снижению эффективности работы в целом.

в наиболее острой форме презентеизм проявляется в ресторанно-гостиничном хозяйстве. 

только в США с 2009 по 2012 год более 1000 вспышек норовируса были связаны с употреблением загрязненных продуктов питания. 

В результате заразилось более 21 тысячи человек, и 70 % вспышек были связаны с болезненным состоянием работников пищевой промышленности.

Модель SIR иллюстрирует, как важно воздержаться от прихода на работу в нездоровом состоянии. 

Оставаясь дома до полного выздоровления, вы эффективно переводите себя из категории инфицированных в категорию выбывших. 

Модель демонстрирует, что такое простое действие может уменьшить масштаб эпидемии, снижая возможность передачи инфекции тем, кто к ней восприимчив. 

Более того, не пытаясь перенести болезнь «на ногах», вы оставляете себе больше шансов на скорейшее выздоровление. 

Однако главное достоинство модели SIR состоит, пожалуй, в ее не описательных, а прогностических возможностях. 

Оценив состояние опытной популяции в конце смоделированной вспышки, ученые обнаружили, что в ней всегда оставалось несколько восприимчивых особей. 

На деле же, по мере того как инфицированные выздоравливают или умирают, контакты между оставшимися инфицированными и восприимчивыми людьми становится настолько редкими, что у инфицированных не остается шанса заразить кого-либо до того, как они сами перейдут в категорию «выбывших» (переболеют, выработав иммунитет, или умрут). 

Модель SIR предсказывает, что в конечном счете вспышки угасают из-за уменьшения количества инфицированных, а не от недостатка восприимчивых людей.

Одной из первых адаптаций оригинальной модели SIR было ее приспособление для описания болезней, жертвы которых не приобретают к ним иммунитета. 

У одного из подобных заболеваний не бывает «выбывших» вовсе, что свойственно некоторым заболеваниям, передающимся половым путем, – таким, как гонорея. 

Переболев гонореей, человек может заразиться ею снова. 

А поскольку от симптомов гонореи никто не умирает, и смерть не обеспечивает «выбывание» инфицированных. 

Такие модели обычно называют SIS, воспроизводя переход состояния человека в процессе развития заболевания от восприимчивого к инфицированному и обратно. 

Поскольку популяция восприимчивых людей никогда не исчерпывается, восстанавливаясь по мере выздоровления заразившихся, модель SIS предсказывает, что болезни могут стать самоподдерживающимися, или эндемическими, даже внутри изолированного сообщества, в котором не происходит рождений и смертей. 

В Англии эндемический статус гонореи способствовал тому, что она стала второй по распространенности инфекцией, передаваемой половым путем: 

в 2017 году было зарегистрировано более 44 тысяч случаев.

Модели, исходящие из двухчастного характера гетеросексуальных взаимодействий, воссоздают более медленное распространение болезни, чем модели, предполагающие, что каждый может передать болезнь всем остальным, независимо от пола и сексуальной ориентации. 

Однако такие модели ЗППП далеко не совершенны – в них множество потенциальных ловушек.

рак шейки матки – один из немногих видов рака, вызванных в первую очередь вирусом; 

иными словами, вы можете заразиться вирусом рака во время полового акта. 

Оказывается, подавляющее большинство инфекций папилломавируса человека (ВПЧ), вызывающего рак шейки матки, передается половым путем. 

Более 60 % всех случаев рака шейки матки вызываются двумя штаммами ВПЧ. 

Вообще, ВПЧ – самое распространенное в мире заболевание, передающееся половым путем. 

Мужчины могут бессимптомно переносить вирус и передавать его своим половым партнерам. 

В результате рак шейки матки занимает четвертое место по распространенности среди раковых заболеваний у женщин, 

при этом ежегодно во всем мире регистрируется около полумиллиона новых случаев и четверть миллиона смертей.

В 2006 году первые революционные вакцины против ВПЧ были одобрены Управлением по санитарному надзору за качеством пищевых продуктов и медикаментов США. 

Исследования, показали, что наиболее экономически эффективной стратегией будет иммунизация девочек-подростков – вероятных будущих жертв рака шейки матки – в возрасте от 12 до 13 лет.

Если у вас когда-нибудь были бородавки, это означает, что вы носитель по крайней мере одного из пяти типов ВПЧ. 

Восемьдесят процентов людей в Великобритании в какой-то момент своей жизни инфицируются одним из штаммов ВПЧ.

 ВПЧ вида 16 и 18 не только вызывают рак шейки матки, но и являются причиной 50 % случаев рака пениса, 

80 % случаев рака анального отверстия, 

20 % случаев рака полости рта и 

30 % случаев рака горла.

Примечательно,  актер Майкл Дуглас признался, что его рак горла был вызван ВПЧ, которым он заразился, занимаясь оральным сексом.

Бессимптомность заболевания ВПЧ также сбивает с толку. Люди могут быть носителями вируса и заражать других, не имея симптомов сами. 

Для корректного отображения этого фактора основной модели SIR снова требуется адаптация, позволяющая учитывать класс людей, которые, инфицировавшись, способны передать болезнь другим, оставаясь при этом без симптомов. 

Так называемый класс «носителя». Carrier (англ.). 

превращает модель SIR в модель SCIR.

Одной из главных причин того, что ВИЧ/СПИД стал пандемией, является этот длительный инкубационный период. 

Носители, которые даже не знают, что у них есть вирус, распространяют болезнь намного быстрее, чем люди, которым известно, что они ВИЧ-положительны. 

Каждый год на протяжении последних 30 с лишним лет ВИЧ становится одной из главных причин смерти от инфекционных заболеваний во всем мире.

Вполне вероятно, что следующая глобальная пандемия будет вызвана вовсе не новой болезнью, а той, с которой мы уже не раз встречались.

Метод, известный как контактное отслеживание, позволяет эпидемиологам проследить историю развития заболевания ретроспективно через многие поколения инфицированных, вплоть до исходного случая – нулевого пациента.

 Путем многократного опроса тех, кто вошел в эту сеть, маршрут распространение, болезни часто можно свести к одному источнику.

Определить, разовьется эта вспышка в масштабную эпидемию или выдохнется и забудется, можно с помощью всего одного показателя, уникального для каждой вспышки, – базового показателя репродукции.

Если R0 больше 1, то инфекция будет распространяться в геометрической прогрессии.

к примеру, атипичная пневмония (SARS) имеют базовый показатель репродукции 2.

Если бы она распространялась таким образом и далее, то через десять поколений вниз по цепочке прогрессии заразилось бы более 1000 человек. Еще десять шагов – и число зараженных превысит миллион.

На практике, как и в случае с распространением вирусной идеи, 

расширением пирамидальной схемы, 

ростом колонии бактерий или распространением популяции, 

экспоненциальный рост, прогнозируемый на основе базового показателя репродукции, редко поддерживается более чем на несколько поколений. 

Вспышки в конечном итоге достигают пика, а затем идут на спад из-за того, что контакты между инфицированными и восприимчивыми к вирусу людьми становятся реже.

(Рис. 23)

Базовый показатель репродукции – универсальный индикатор для описания вспышки инфекции, поскольку он «упаковывает» все тонкости передачи болезни в единственное число. 

R0, как правило, можно разделить на три компонента: 

численность населения; 

скорость, с которой заражаются восприимчивые к инфекции люди (часто называемая силой инфекции); 

и срок выздоровления – или смерти от болезни.

С показателем R0 тесно связана величина, называемая реальным коэффициентом репродукции (часто обозначается как Re) – среднее число вторичных инфекций, вызванных инфицированным лицом в определенный момент развития вспышки. 

Если медицинское вмешательство позволяет сбить значение Re ниже 1, то эпидемия утихнет.

Показатель R0 имеет решающее значение для борьбы с эпидемиями, но он не говорит, насколько болезнь опасна для инфицированного человека. 

Если корь распространяется быстро, смертность от кори относительно низкая, особенно в сравнении с 50–70-процентной вероятностью смерти в случае заражения лихорадкой Эбола.

Парадоксально, но болезни с высоким уровнем смертности, как правило, менее контагиозны. 

Если болезнь убивает слишком много своих жертв слишком быстро, то это снижает ее шансы на дальнейшее распространение. 

Заболевания, которые убивают большинство зараженных ими людей и при этом эффективно распространяются, очень редки. 

 три фактора, составляющие R0, подсказывают, какие меры стоит предпринять, чтобы остановить вспышки смертельных заболеваний прежде, чем они выйдут из-под контроля.

(Укрощение эпидемий).

Одним из наиболее эффективных способов снижения распространения инфекции является вакцинация. 

Перемещая людей из категории восприимчивых сразу в категорию «выбывших», минуя инфекционное состояние, она эффективно уменьшает размер популяции, восприимчивой к инфекции. 

Вакцинация, однако, как правило, является предупредительной мерой.

Изоляция инфекционных больных снижает скорость распространения, в то время как карантин здоровых снижает число восприичивых. 

Оба действия способствуют уменьшению реального коэффициента репродукции.

 наиболее эффективную продолжительность изоляции инфицированных пациентов можно рассчитать при помощи простого математического моделирования. 

Математическая модель также может определить, следует ли перевести часть неинфицированного населения на карантин, с учетом связанных с этим расходов и рисков разрастания эпидемии. 

Математика показала, например, что при таких заболеваниях, как ветряная оспа, изоляция и карантин могут оказаться неправильным решением. 

Попытки изолировать заболевших детей от здоровых вне всякого сомнения вынудят детей и взрослых массово пропускать занятия в школе и работу, чтобы избежать заболевания, которое считается относительно неопасным. 

Более того, математические модели доказывают, что здоровые дети, переживающие вспышки ветрянки на карантине, могут подхватить болезнь уже в старшем возрасте, когда осложнения, связанные с ветряной оспой, могут быть гораздо более серьезными. 

Подобные неочевидные эффекты такой, на первый взгляд, разумной стратегии, как изоляция, возможно, никогда не удалось бы понять полностью, если бы в дело не вступила математика.

Математические модели распространения инфекционных болезней выявили, что эффективность стратегии карантина зависит от момента наибольшей заразности. 

Если болезнь особенно заразна на ранних стадиях, когда у пациента нет симтомов, инфицированные могут распространить болезнь на большинство математически ожидаемых жертв, прежде чем их можно будет изолировать. 

(Популяционный иммунитет).

математические модели эпидемий также могут объяснить необычные закономерности, свойственные различным заболеваниям.

Концепция, что большое количество людей с иммунитетом может замедлить или даже остановить распространение инфекции, на математическом языке называется популяционным иммунитетом. 

для работы этому эффекту общества не нужно, чтобы от заболевания были защищены все. 

Опустив значение реального коэффициента репродукции ниже единицы, можно разорвать цепь передачи инфекции и остановить распространение болезни.

 Популяционный иммунитет предполагает, что обеспеченная вакцинацией защита в некоторой мере распространяется и на тех, у кого иммунная система слишком слаба, чтобы переносить прививки.

(Рис. 24.)

При оспе, базовый показатель репродукции которой составляет около 4, мы можем позволить себе оставить четверть (то есть 25 %) популяции незащищенной. 

Вакцинации 80 % восприимчивого к оспе населения в 1977 году хватило для того, чтобы совершить одно из величайших достижений нашего вида – стереть одну из человеческих болезней с лица Земли. 

Повторить этот подвиг не удалось.

От многих других болезней защититься сложнее, так как они распространяются легче. 

Ветряная оспа, с оценочным R0 около 10, для эффективной защиты всего человечества – и последующего искоренения болезни потребовала бы иммунизировать 9/10 населения Земли. 

Корь – безусловно, самая заразная болезнь человека на Земле, с оценочным R0 от 12 до 18 – потребует вакцинации от 92 до 95 % населения.

Прививки – лучший из имеющихся у нас способов предотвращения вспышек смертельных заболеваний и единственная возможность навсегда покончить с их разрушительными последствиями. 

Математическая эпидемиология – проблеск надежды на будущее, ключ, который может раскрыть секреты того, как достичь этих грандиозных целей.

Эпилог.

Математика сформировала нашу историю: 

через предков, которые выиграли в эволюционной лотерее и победили болезни, мучавшие и прореживавшие наш вид.

В современном обществе математика лежит в основе почти всего, что мы делаем. 

Она жизненно важна для коммуникации и для навигации. 

Она полностью изменила то, как мы покупаем и продаем, и произвела революцию в том, как мы работаем и отдыхаем. 

В своих лучших проявлениях математика – это самая современная медицинская технология, которая может спасти жизни, но в худших – неверно рассчитанные дозы. 

Наш долг – учиться на математических ошибках, чтобы не повторять их в будущем или же, что еще лучше, исключить саму возможность таких ошибок.

Математические модели не столько описывают мир таким, какой он есть – исходя из данных, по которым они откалиброваны, – но, скорее, обеспечивают некоторую степень ясновидения. 

Математическая эпидемиология позволяет нам заглянуть в будущее развитие болезни и принять активные превентивные меры, вместо того чтобы постоянно играть «вторым номером», пытаясь наверстать упущенное. 

Оптимальная остановка может повысить наш шанс на наилучший выбор, когда у нас нет возможности увидеть все варианты заранее. 

Индивидуальная геномика может совершить революцию в понимании природы рисков развития заболеваний.

Простые правила позволяют нам делать наилучший выбор и избегать наихудших ошибок. 

Небольшая коррекция нашего восприятия стремительно развивающейся действительности помогают сохранять спокойствие перед лицом лавинообразных изменений или адаптироваться ко все более автоматизированным реалиям. 

Базовые модели наших действий, реакций и взаимовлияния могут подготовить нас к будущему еще до того, как оно наступит.

Пришло время вернуть власть в свои руки, потому что иногда математика действительно является вопросом жизни и смерти.