How much is the опцион?

Я не буду рассказывать, что такое опцион (ну, типа, «это контракт, дающий покупателю право, но не обязанность бла-бла-бла»), надеюсь все интересующиеся знают, или слышали, или могут в Вики посмотреть. Сразу покажу, как определяется его цена. Да, еще 2 замечания. Я говорил, что нам не понадобится математика уровня выше 9-го класса школы — извините, соврал. :) Но 11-классник уже справится. И второе: вы не научитесь торговать опционами по этим заметкам, придется читать книжки.

Представим очень простую (скажем прямо — примитивную) модель изменения цены акции. Каждый день цена акции может измениться только на 1 рубль, вверх или вниз. Вот так:

И мы хотим купить опцион колл с ценой исполнения (страйком) 100. Как понять, сколько нам платить продавцу, чтобы цена была «справедливой»?

1. Максимальная прибыль в этой модели (которая на картинке) — 6 рублей. Дороже 5.99 рублей покупать смысла точно нет.
2. За 0 рублей нам его тоже не продадут.
3. Цена где-то между. :)

Поэтому нужно решить вероятностную задачу и посчитать, на какую прибыль мы (покупатели) можем рассчитывать? Дешевле математического ожидания прибыли — покупаем (это выгодно), дороже — не покупаем. Продавец опциона, со своей стороны, будет стремиться продать опцион дороже, чем его мат. ожидание убытка, и не продаст дешевле, чем его мат. ожидание убытка. Так как система покупатель-продавец замкнутая (комиссий и налогов в модели нет), то убыток одного точно равен прибыли другого. Другими словами, продавец и покупатель сойдутся в цене, когда они оба будут иметь нулевое мат. ожидание прибыли.

Вот сейчас это мат. ожидание и посчитаем. В этой модели цена может прийти из начальной точки (100) в конечную (допустим, 102) любым путем. Например, вверх-вниз-вверх-вниз-вверх-вверх. Или вверх-вверх-вверх-вверх-вниз-вниз. Нам нужно посчитать, сколько разных путей ведут из начальной точки в каждую конечную, и сколько всего путей в графе. Тогда вероятность оказаться в конечной точке равна «количество путей в точку» разделить на «общее количество путей в графе». Не надо мучиться и считать, водя пальцем по стрелкам, я уже за вас помучался :). Количество путей из 100 в конечную точку определяется по треугольнику Паскаля, а общее количество путей — это степень 2 соответствующая строке (на нас 2^6 = 64). Вот картинка с количеством путей в каждую точку и посчитанными вероятностями в %:



Теперь посчитать матожидание становится просто. Это вероятность попасть в конечную точку, умноженная на прибыль в этой точке. Заметьте, что для покупателя опциона колл нет убыточных вариантов (пока он еще не заплатил за опцион) — он или получает прибыль, если цена акции выше страйка, или 0. Затем считаем общее мат. ожидание прибыли. Ну, все помнят, что мат. ожидание суммы случайных величин равно сумме мат. ожиданий этих величин. Получается так:



Итого, покупатель опциона колл со страйком 100 в нашей модели имеет математическое ожидание прибыли 0.94 рубля. Если он купит опцион дешевле, то статистически у него будет прибыль, если купит дороже — убыток. У продавца этого опциона все наоборот — если он может продать дороже, чем по 0.94, то он получит прибыль (статистически), а если дешевле — убыток. Значит, продавец и покупатель сойдутся на цене 0.94. То есть у каждого из них будет нулевое математическое ожидание прибыли. Настоящие опционы именно так и торгуются — только формула расчета мат. ожидания прибыли, конечно, другая. Сейчас большинство используют для расчета теоретических цен опционов модель Блэка-Шоулза. (За что они получили нобелевку по экономике, устроились в хедж-фонд LTCM и он с треском обанкротился, чуть не вызвав последствия, подобные краху Лемана — пришлось спасать под надзором ФРС — но это уже другая история).

Итак, с ценой разобрались. Но из каких компонентов она складывается?

Во-первых, время. Посмотрите еще раз на картинку выше, и представьте, что срок исполнения опциона колл со страйком 100 наступает завтра. Завтра цена может быть или 101, или 99. Вероятность, что цена будет 101 равна 50%, и м.о. прибыли равно 1.00 * 50% = 0.50 рублей. Теперь представим, что срок исполнения наступает через 2 дня. Вот картинка — с вероятностями и м.о. прибыли:



Что получается? Чем дольше времени остается до исполнения опциона (экспирации), тем дороже он стоит. Это логично. Чем больше осталось времени, тем дальше цена может отойти от сегодняшней, и тем большую прибыль может получить покупатель.

Во-вторых, волатильность. Перерисуем картинку, изменив модель. Пусть теперь цена акции меняется каждый день ровно на 2 рубля — вверх или вниз. Получится так:



М.о. прибыли опциона возросло, значит и цена тоже возросла. И это тоже логично! Чем больше волатильность базового актива, тем больше его цена может отойти от первоначальной (за то же время), тем больше прибыли может дать опцион, тем дороже он должен стоить.

Вот 2 главных фактора, влияющие на цену опциона. При этом, если время до экспирации объективно, то будущая волатильность неизвестна. И тут покупатель и продавец опциона начинают гадать, какой она (волатильность) будет до экспирации, и когда их прикидки сходятся — заключают сделку. То есть в торговле опционами используется не историческая волатильность (которая уже в прошлом), а подразумеваемая.

Теперь допустим, что неделю назад мы купили опцион колл со страйком (ценой исполнения) 94 рубля. За эту неделю цена акции выросла до 100 рублей, и до экпирации опциона осталось еще время. Его цена (мат. ожидание прибыли) будет такой:



Пока все просто. Но посчитаем цены (м.о. прибыли) для опционов со страйками от 94 до 105 (вот некоторые из них):


(Тут на нижней картинке ошибка — страйк должен быть не 104, а 103.)

Получится такая табличка и график:

Что тут главное? Цена опциона ведет себя нелинейно при изменении цены базового актива. Если цена акции меняется на рубль, то цена опциона меняется меньше. Также нелинейно цена ведет себя и при изменении времени до экспирации опциона и при изменении волатильности (но с волатильностью сложнее — зависит от типа опциона, и она может влиять и линейно).

Может возникнуть вопрос, а насколько такая примитивная модель применима для оценки опционов? Ведь цены акций меняются не на фиксированные величины, волатильность каждый день разная и т.д.

Посмотрим на биномиальную модель оценивания опционов (только на коллы):

Где S — стоимость акции в момент экспирации и K — страйк опциона. p(S) — плотность распределения случайной величины, которое описывает модель поведения цены базового актива.

В нашей модели изменения цен дискретны, значит меняем интеграл на сумму. Максимальное отклонение определяется количеством дней до исполнения, значит меняем верхний предел на максимальную цену. И вероятности у нас дискретные, значит просто подставляем их в сумму. Получается:

То есть, вот эта наша модель с кружочками — разновидность биномиальной, только очень простая. Реальные цены опционов на рынке так посчитать нельзя, но почувствовать динамику цен и влияющие на цену факторы — вполне.

Ну и, заканчивая разговор, посмотрим на цену опциона, как ее считает биржа:


Здесь синий угол — «истинная (внутренняя) цена» опциона. Сколько он должен стоить в момент исполнения. Если цена акции меньше страйка (в момент экспирации!), то опцион стоит 0. Если больше — то он стоит цена акции минус страйк. А красная кривая — это временная цена опциона, по которой его можно купить до момента экспирации — и вот именно она нелинейно она зависит от времени, цены базового актива, волатильности, процентных ставок.

Заодно я нарисовал нелинейность «в числах (в рублях)». В данном случае, если базовый актив (тут это фьючерс на рубль/доллар) вырастет на 1000 рублей, что цена опциона (при прочих равных!) вырастет на 590 рублей. А если упадет на ту же 1000, то цена опциона упадет уже на 433 рубля.

Вот для сравнения опцион пут (с тем же страйком):


Цена опциона пут растет тогда, когда цена базового актива падает (и наоборот).

Примерно так. Вот этих немногих знаний нам хватит, чтобы начать пытаться улучшать наш структурный продукт «FinEx на стероидах — еврооблигации».

Уже хотел сказать «вот завтра и начнем» :), но времени столько писать не хватает. Так что может — послезавтра, но продолжение точно будет.