Эмпирический пут-колл паритет или как ломается модель Блэка-Шоузла

Благодаря поступающим комментариям к платформе OptionSmile (спасибо, Кирилл Браулов) выяснилась одна интересная вещь с эмпирическим непараметрическим подходом, который лежит в ее основе.  А именно, как соблюдается пут-колл паритет в оценках Fair Value опционов. Напомню, что суть его в том, что разница между ценой пута и кола должна быть равна разнице между страйком и ценой баз.актива. Если это равенство не соблюдается, то возникает арбитраж.

Например, купив пут и продав колл на одном страйке, можно создать короткую позицию по БА. Если не соблюдается пут-колл паритет, то можно теперь захеджироваться, купив базовый актив и получить доходность без риска. В риск-нейтральном мире, в котором работает модель Блэка-Шоулза, вы всегда должны такой комбинацией зарабатывать безрисковую процентную ставку. Поэтому точная формула пут-колл паритета выглядит так:

                              P-C = X*e^-rt-S

   P и С — цены пута и кола, соответственно        
   Х и S — страйк и цена БА        
   e^-rt — дисконтирующий множитель, приводящий страйк к текущему периоду

Поскольку в системе OptionSmile все показатели нормированы на текущую стоимость БА, т.е. S, будем использовать немного иной вариант паритета:

                              P-C = X-F

Где F — это будущая (форвардная) цена базового актива, равная S*e^rt , т.е. мы не страйк дисконтируем, а считаем будущую цену БА на экспирации.
На графике это схематично выглядит так  




Возьмем режим рынка, который был рассмотрен в одной из методических статей, посвященной анализу распределения доходности БА. Это режим перепроданности (RSI(14)<40) в периоды бычьего рынка или боковика (т.е. отбросим рецессии и медвежьи рынки), рассмотрим 2-недельные опционы на SPY. Вот такая фильтрация получилась:




Видно, как сильно в такие периоды работает mean reversion: рынок в среднем отстреливает вверх на 1.52% за 2 недели (это 38.2% годовых). Посмотрим на оценку опционов — путов и колов. Как и ранее, синий график — справедливая стоимость, красный — гипотетические рыночные цены.







Картина вполне предсказуемая: путы недооценены, колы переоценены из-за сильного ожидаемого движения БА вверх. Посмотрим, что же с пут-колл паритетом. Посчитаем его для безрисковой ставки r = 1% годовых (2 недели до экспирации).





Как видим, паритета даже близко нет! Разница между путами и колами (четвертая колонка) сильно не похожа на разницу между страйком и форвардной ценой (пятая колонка). Т.е. вся модель неправильная?

Нет, на самом деле все верно. Просто до этого мы, как и большинство опционных трейдеров, рассуждали с позиции риск-нейтрального подхода, когда математическое ожидание доходности цены было равно безрисковой процентной ставке. Форвардную цену мы считали, умножая текущую цену S на множитель e^-rt, где r — безрисковая ставка (в нашем примере  1% годовых). Конечно, это идеализация, и инвесторы в акции должны получать больше доходность для компенсации повышенного риска (equity risk). Эмпирические данные это подтверждают.

Если мы внимательно посмотрим на разницу между путами и колами в таблице выше, но увидим подозрительную постоянность ее дробной части (0.52% для отрицательной разницы и 0.48 для положительной). Если мы из этой разницы уберем дистанцию между страйком и ценой БА (текущей, не форвардной), то получим 1.52% на всех страйках, что совпадает с ожидаемой доходностью БА в этом режиме — см.самую первую таблицу.

Теперь, думаю, все очевидно. Давайте возьмем форвардную цену как ожидаемую цену БА исходя из нашего эмпирического распределения, а не на базе безрисковой ставки. Вместо rt = 1%*(10/252) = 0.04% (безрисковая ставка на 2 недели) возьмем фактическую доходность 1.52%, а точнее ее логарифм, чтобы привести к непрерывной форме, ln(1.52%) = 1.51%. Вот такой теперь получится паритет:





Как видим, паритет почти идеально выдержан, с точностью до сотых долей процента (из-за округлений). Отсюда логичен вывод: чтобы соблюдался пут-колл паритет, нужно считать форвардную цену БА с помощью процентной ставки, равной мат.ожиданию доходности БА распределения, по которому эти пут и колл были посчитаны. В риск-нейтральном (risk-neutral) мире, в т.ч. в формуле Блэка-Шоулза, эта ставка всегда безрисковая. В реальном мире (real-world) эта ставка выше и отражает так называемое неприятие риска (risk aversion), когда инвестор требует «доплату» за принимаемый риск. В системе OptionSmile в качестве этой ставки принимается фактическая средняя доходность БА за выбранный рыночный режим. В обобщенном виде пут-колл паритет выглядит так:

                              P-C = X-S*e^h

         h — математическое ожидание доходности БА в форме непрерывной ставки. Если доходность обозначить дискретной ставкой, то формула будет немного привычнее:

                              P-C = X-S*(1+d)

         d — дискретное мат.ожидание доходности базового актива

Кстати, из-за этого часто бывают парадоксальные результаты, если применить формулу БШ из риск-нейтрального мира к миру реальному. После получения справедливых цен в системе OptionSmile считается и вмененная волатильность по формуле БШ (разумеется, в встроенной безрисковой ставкой). Вот, что выходит для путов из примера выше:  



 Для страйков в деньгах (денежность > 100) посчитать вмененную волатильность невозможно, т.к. если посмотреть на графики справедливых цен путов выше или в таблицу, то виден парадокс: Fair Value путов меньше их внутренней (intrinsic) стоимости, что для риск-нейтрального мира полная ересь. Получается отрицательная временная стоимость и формула БШ ломается на этом месте.

Однако в реальном мире такое возможно, т.к. в этом конкретном режиме рынка мат.ожидание доходности БА сильно положительное, что очень существенно снижает стоимость хеджирования этого опциона (а это и есть его цена). Конечно, если бы такая была цена на рынке, то нашлось бы много желающих купить такой пут, продать колл и всю конструкцию захеджировать покупкой БА. Доходность без риска была бы равна мат.ожиданию доходности БА, в нашем примере 1.52% (38.2% годовых). Но, разумеется, это не возможно, т.к. при текущей безрисковой ставке близкой к нулю такая доходность была бы сразу ликвидирована (arbitrage out) HFT роботами. А вот если бы сама безрисковая ставка выросла до 38.2%, то опционы на рынке стоили бы стоили приблизительно таких денег, как на синих графиках выше: путы бы сильно подешевели, а колы подорожали. Пока существует диспаритет между этими двумя ставками, будет сохраняться и разница в оценке.  

Возникает еще один резонный вопрос, а зачем тут вообще опционы. Можно же просто покупать БА, когда RSI<40 и получать эту вполне себе хорошую доходность (38.2% годовых). Это, конечно, возможно, но придется долго ждать, пока наберется большое количество сделок, чтобы вероятности проявили себя и средняя доходность приблизилась к ожидаемой. Гораздо надежнее эксплуатировать опционную неэффективность и входить в позицию, учитывая статистическую существенность разницы между справедливой и рыночной ценами. См. методическую статью Доверительные интервалы справедливой стоимости.

Интересно, что развитые фьючерсные рынки по разному соблюдают риск-нейтральный паритет на широких индексах акций. Например, у фьючерсов на американские индексы базис (или roll yeld между фьючерсами с разной экспирацией) равен стоимости удержания позиции (cost of carry), которая соответствует безрисковой процентной ставке минус дивидендная доходность. Если дивиденды выше процентной ставке, фьючерсы в бэквордации (отрицательный carry), если наоборот, то в контанго (положительный carry). Но процентная ставка там почти всегда близка к безрисковой, что дает возможность без больших потерь реплицировать long портфель фьючерсами.

У биржи ICE есть интересный сервис для оценки roll yeld для разных фьючерсов - Pace of Roll, где считается вмененная процентная ставка (implied financing rate) и определяется ее спред к Libor. По разным фьючерсам в зависимости от степени contango и backwardation будет разная вмененная ставка, т.е. различная оценка рынком мат.ожидания доходности актива. В частности, по индексу FTSE 100 последний roll (Mar17-June17) проходил с гигантским спредом к Libor 7.75% из-за того, что FTSE100 считается в GBP. А вот по американскому индексу компаний малой и средней капитализации Russell 2000 спред был близок к нулю, т.е. его ожидаемая доходность была близка ставке Libor (1.2%)

Подробнее на www.optionsmile.ru