Почему богатые в старости раздают свои состояния? Отвечаю с помощью числового примера

Среди миллиардеров сейчас входит в моду соревнование в том, кто больше пожертвует на общеполезные цели. Причем к старости некоторые планируют раздать все или почти все, оставив родным лишь малую часть.

Хотя кому-то такие действия могут показаться сумасбродными, они напрямую вытекают из теории сбережений, которую я недавно излагал. Теория четко определяет, сколько следует человеку сберегать в зависимости от доходности сбережений, нормы его межвременных предпочтений и возраста.

Поскольку некоторые гости остались не удовлетворены изложением одной лишь теории, в этот раз я приведу несколько числовых примеров, из которых будет видно, как теорию можно применить к обстоятельствам конкретного человека. По этим примерам также будет понятна линия поведения богатых людей, включая раздачу богатства на закате жизни.

Коля только начинает жить самостоятельно, отмерив себе срок в шестьдесят лет. Он получает зарплату, которую будем считать неизменной в течение его жизни, и у него уже есть начальные сбережения в размере его месячной зарплаты. (Первое предположение основано на средней продолжительности жизни в благополучных странах, а второе сделано для простоты.)

Он хочет рационально пользоваться деньгами, значит, выдерживать баланс между текущими нуждами и инвестированием в свое будущее. Этот баланс легко нарушить в обе стороны: если слишком много потребляешь сегодня, то упускаешь возможность заработать на инвестициях, с помощью которых можно повысить уровень жизни завтра; если чрезмерно много инвестируешь, богатство в старости не окупит сегодняшних жертв.

При этом, как уже говорилось, сам этот баланс меняется в зависимости от доходности сбережений, межвременных предпочтений и возраста. Доходность влияет на отдачу от сегодняшних жертв, межвременные предпочтения – на ценность этой будущей доходности из сегодняшнего дня, а возраст влияет на то, сколько у человека времени, чтобы пожать плоды посеянного сегодня.

Рациональное использование денег при указанных ограничениях сводится к задаче динамической оптимизации, результат решения которой я привожу ниже. Начну с условий, затем приведу числовые примеры и закончу техническими деталями, которые позволят читателю воспроизвести мои примеры или сделать вычисления применительно к собственным обстоятельствам.

Описание задачи уже было дано. Добавлю лишь, что теперь мы решаем задачу на ограниченном интервале в шестьдесят лет, а если точнее, то в 720 месяцев, поскольку мы оперируем месячными доходами и расходами; месячную доходность положим равной одному проценту, а норму межвременных предпочтений установим на уровне вдвое ниже. Предположение о доходности в 12% годовых – это нечто среднее между теми, кто сидит в ОФЗ, и менее консервативными инвесторами, а предположение, что норма межвременных предпочтений ниже, означает, что у человека есть стимул инвестировать.

Добавим также ограничение, что закончить свою жизнь наш герой должен с нулевыми сбережениями, поскольку взять накопленное в могилу он не сможет, а передачу его по наследству не рассматривает.

При таких условиях оптимальные траектории его потребления и сбережений будут выглядеть как на заглавной картинке. Взрослая жизнь героя начинается в апреле 2021 г. и заканчивается в марте 2081 г. На протяжении этого времени его месячные расходы на потребление растут ускоряющимися темпами. Месячные сбережения в первые десятилетия тоже растут, а в последние двадцать лет сокращаются, в конце концов становясь отрицательными.

Теперь конкретные цифры. В первые месяцы из получаемой зарплаты расходуется лишь чуть больше половины, а остальная часть зарплаты плюс процент от возрастающих сбережений откладываются. За счет процента с каждым месяцем одновременно растут как расходы на потребление, так и откладываемая сумма. Для наглядности приведу первые пятнадцать строк таблицы с месячным потреблением, общими сбережениями на счете, откладываемой суммой и процентным доходом.



В этой истории можно выделить четыре водораздела, отмеченных на заглавной картинке. Первый водораздел наступает через одиннадцать лет, когда, не переставая ежемесячно наращивать откладываемую сумму, Коля начинает тратить всю свою зарплату. Меньше чем через год Коля уже при желании может не работать, поскольку накопленные к этому времени 100 его месячных зарплат позволяют ему получать ту же зарплату в виде процентов.

После августа 2058 г. Коля перестает увеличивать откладываемую каждый месяц сумму, но, поскольку он не перестает откладывать, его общий счет продолжает расти. Наконец, в марте 2070 г. его месячные сбережения впервые становятся отрицательными, а общий счет достигает максимума, составляя ок. 875 его зарплат. В течение оставшихся одиннадцати лет он уже проедает накопленные сбережения, тратя так много, как никогда прежде, придя в последний месяц своей жизни к максимальным за весь период расходам в почти 19 зарплат. (Если вернуться к упомянутым в начале поста миллиардерам, то ничто не мешает нам трактовать эти траты в старости как раздачу состояния нуждающимся.)

Интересно также посмотреть, какой будет оптимальная динамика расходов и сбережений при других доходностях и межвременных предпочтениях. На картинке ниже представлено несколько альтернативных сценариев.



На двух верхних графиках показана динамика при более высоких доходностях сравнительно с межвременными предпочтениями, чем в истории Коли. В этом случае сбережения в первые десятилетия и счет в последние десятилетия еще больше и, соответственно, и более роскошная жизнь в старости. Интересно, что при увеличении месячной доходности на один процентный пункт расходы в конце жизни увеличиваются на три порядка.

На юго-западном графике представлена динамика для случая, когда межвременные предпочтения и доходность находятся на одном уровне. В этом случае нет стимула делать сбережения, поэтому здесь на протяжении всей жизни человек расходует одну и ту же величину, состоящую из зарплаты, небольшой части начальных сбережений и процента на остаток.

Наконец, последний случай – это, когда доходность ниже нормы межвременых предпочтений, в каковом случае приоритет сегодняшних нужд перед завтрашними важнее доходности от вложений и, значит, в первые десятилетия человек не только не откладывает, но и живет в долг. Соответственно, основная часть расходов приходится на первую половину жизни, а во второй половине жизни за них приходится расплачиваться.

Теперь детали. Для функции полезности выбрана простая форма u = ln©, отвечающая требованиям u' > 0, u'' < 0. Тогда решение задачи для потребления и сбережений выглядит как

(cons^-1)*exp(r — rho)*t и
[(rho*cons)^-1]*[exp(-rho*t)-1]*exp(r*t)+s(0)*exp(r*t)+(w/r)*[exp(r*t)-1],

где s(0) – сбережения на начальный момент времени, принятые здесь за единицу, w – зарплата, также принятая за единицу, а cons – константа интегрирования, которая из условий для сбережений в начале и конце периода определяется как

[exp(-rho*T)-1]*exp(r*T)/[rho*{b-s(0)*exp(r*T)-(w/r)*(exp(r*T)-1)}],

где T длина периода, которую я в этом примере установил равной 720.

Из приведенных числовых примеров можно сделать следующие выводы:
1. Чем выше доходность, абсолютно и сравнительно с нормой межвременных предпочтений, тем больше откладывается сегодня и тратится завтра;
2. Если доходность ниже нормы межвременных предпочтений, то сегодня рациональным будет тратить больше, чем получаешь, чтобы постепенно погасить долги в пожилом возрасте;
3. Если доходность лишь компенсирует человеку боль от откладывания удовольствий на завтра, то ему имеет смысл жить от зарплаты до зарплаты.

Хотя параметры модели достаточно абстрактны, каждый при должном самонаблюдении сможет оценить их значения для своего случая, чтобы на основании приведенного здесь решения точно рассчитать оптимальные для себя уровни расходов и сбережений на всю оставшуюся жизнь.

Мой Телеграм-канал