Вопросы по волатильности портфеля...

Коллеги, добрый день!

Постараюсь быть максимально кратким. Я провожу одно количественное исследование и у меня возникло два вопроса в отношении расчета волатильности портфеля и оценки его VaR. Оба вопроса носят математический характер и связаны с тем, что в качестве исходных данных используется логарифмическая доходность согласно распространенной практике таких исследований и предположению, что цены распределены логнормально.

1. Для расчета волатильности портфеля обычно используют следующие формулы:



где   – волатильность портфеля;
 – доля i-го актива;
 – доля j-го актива;
 – дисперсия i-го актива;
 – ковариация i-го актива c j-м активом;
 – транспонированный вектор долей;
 – ковариационная матрица;
 – вектор долей.

Эти формулы корректно работают, если случайная величина (доходность портфеля) равна линейной комбинации:



где  – средняя доходность i-го актива. В случае же использования логарифмических доходностей обычно для расчета волатильности применяют те же формулы, что и выше, хотя математически это не корректно. Разница несущественна в практических целях, но меня сейчас интересует теория. В случае логарифмических доходностей отдельных активов, общая доходность портфеля (также логарифмическая) будет равна не линейной комбинации, а следующему выражению:



Соответственно строго математически дисперсию (как и волатильность) данной величины некорректно считать по вышеприведенным формулам. Есть ли у кого-то идеи как правильно оценить дисперсию этой величины через ее составляющие? Как ее можно разложить в линейную комбинацию по аналогии с обычными доходностями?

2. Оцененная волатильность по корректной формуле из предыдущего вопроса (или просто волатильность одного актива, посчитанная на исторических данных с использование лог. доходностей) также будет выражена через логарифмическую доходность. Опять же по практике никто не переводит ее обратно в эффективную доходность. Хочу узнать мнение профессионалов насколько это корректно? Например, если мы считаем параметрический VaR в рублях и получили оценку волатильности, выраженную в логарифмических доходностях, то по идее же некорректно просто перемножить сумму инвестиций (руб.), эту волатильность и квантиль нормального распределения. Нужно же сначала получить волатильность, выраженную в эффективной доходности (ибо лог. доходность — номинальная): . Корректны ли мои рассуждения на этот счет? Опять же в практических целях это все в пределах погрешности, но меня это все интересует с точки зрения теории.