Блог им. Kot_Begemot

Дельта Хеджирование и Компрессия рисков

Дельта Хеджирование и Компрессия рисков



Каждый учебник предлагает нам простой и эффективный метод извлечения прибыли — репликация опциона при помощи фьючерса. При чем все, что для этого нужно — всего лишь «не думать и торговать по принципу: растёт — покупай, падает — продавай!».  Всё просто, понятно, бесспорно и… совершенно неверно.

Потому что «не думать» — в процессе погони за прибылью, — на самом деле, сложно. И если вам непонятно, зачем вообще нужны эти опционы, если они так легко реплицируются фьючерсами, то просто брать,  и «не думать», уже не получается. Не думать хорошо после того как вы уже хорошо  подумали, и думать второй раз — как минимум, лень. А с первого раза вообще мало чего получается. Особенно — не думать.


Так бы и закончилось моё дельта-хеджирование не начавшись, если бы оно не было столь модным. А то ещё всякое бывает — не задельта-хеджируешь, а потом скажут, что вот, дескать, «Пастернака не читал, но действия его уже осуждает». Нет, надо всё таки разок попробовать… А то в приличном обществе ещё и засмеют почём зря.


Ну и поскольку думать мозгами — это долго, а моделировать — вроде как побыстрее, то пошёл я за советом к бабе яге электронной, тем более она умнее — я-то всего лишь Кот, а она чай высокая технология… Дал ей случайный сигнал с волатильностью 1, дал проданных месячных стрэддлов с премией 10% годовых, фьючерсов для дельта хеджа с комиссиями по 0.1% и говорю — свари-ка мне милая, волшебное зелье дельта-хеджера! 

Та в ступу всё положила, пест в руку взяла, и как давай толочь, растирать! Через три дня и три ночи вынесла зелье… Говорит — если будешь по утру натираться, то все беды тебя стороной обходить будут, ни стрела не возьмёт, ни хворь, ни любовь окаянная.

Дельта Хеджирование и Компрессия рисков

На тарелочке, да с каемочкой, мне картинку такую оставила. Говорит, хорошо будешь мазаться — в половину ли где риски снизятся, а доходность такой же останется, только чуть уйдет, несущественно, если фьючерсы брать не так дорого.     

   
 


★2
42 комментария
А случайный сигнал с волатильностью 1 как моделировался?
avatar
Dmitryy, Гаусс обычный. randn(20 дней, 100 000 проходов) в Матлабе; Потом интегрировался. Там вроде и не должно быть тонкостей, разве, нет?
avatar
Если вы дали волу 1, а ДХ делали по другой, то это не ДХ.
Eugene Logunov, а что не так?  В расчётах — уверен. 
avatar
А это был длинный или короткий стрэддл? Там разница некоторая есть с шагом ДХ, имхо. Длинный лучше пореже, короткий почаще. По какой волатильности ДХ? Как вообще цена считалась? БШ? И да — спасибо за статью и за труд!
avatar
tashik, согласен. Наблюдая за реальными опционами тоже пришёл к такому выводу. БШ, АБМ, волатильность дневная, то есть ровно 1 (у меня на неё просто все функции настроены, чтобы лишние переменные сокращались) это же так, игрушка… научная игрушка, разумеется) 
avatar
Eugene Logunov, да.

Прайсил просто — по БШ (~0.8 сигма, интеграл по прибыли от Гаусса) + премия, чтобы МОЖ было больше нуля. Но это такая  уже штука… стоимость д\х с эффектом сравнивать…
avatar
Kot_Begemot, Ну вы в уме прикинте. У вас вола БА и вола опциона одинаковые. Через каждый шаг БА вы ровняете дельту. Размер шага БА одинаковый. Все в 0 должно схлопнутся. 
Дмитрий Новиков, это я знаю, но не понимаю.  

avatar
Kot_Begemot, Ну тот эксель надо. Давайте по порядку у вас БА 30% вола, на сколько процентов меняется БА за день?
Дмитрий Новиков, хорошо, давайте :

30/16 (магическое число) = 1.875% - 

avatar
Kot_Begemot, Ок. Теперь берем опцион с той же волой. Дельту в 0 на ЦС через БА. Проходит один день опцион дешевеет. БА куда то идет. И так как вы задали постоянную волу, то идет он на 1,875%. Опцион тоже меняется в цене. Теперь берем Эксель, формулу БШ и проверяем. Изменение доходности по БА (сдвигаем цену), изменение доходности по опциону — тетта. Обе величины равны, но с разными знаками. 
Если бы у нас вола опциона была выше, то опцион бы потерял больше. Поэтому мы сравниваем волу опциона с БА.
Дмитрий Новиков, как-то всё не так, тетту нужно выкинуть, оставить только дельту. Дельта, на то и дельта, что равняет колебания цен на фьючерс и опцион — определение у неё такое — из чего можно подозревать, что комбинация фьючерса и опциона/дельту даст ровно 0.

Эксель, матлаб, R, питон и любая другая программа это только подтвердят.
avatar
Kot_Begemot, тесту нельзя выкинуть. Потому что 1,8% БА проходит за один день. И у вас уже опцион не на 100 дней а на 99. Цена БА движется по прямой, а опциона по параболе. Но парабола проседает. Так что в точку через 1.8% они придут вместе.
Дмитрий Новиков, тогда это уже не дельта-хедж ) 

Приращение тетты за любой период перерасчета не важно при расчете дельты, потому что дельта слишком локальная и рассчитывается в пределе малых приращений цены БА, так что приращение тетта -> 0.

Если вы деревья строите с шагом 2%, то да — учет более высоких производных для вас становится важным. Т.е. ДХ строить не по локальной, а по усредненной «дельте».
(вообще говоря, в непрерывном варианте это называется дельта-гамма хеджированием)
avatar
Kot_Begemot, она важна для цены опциона. Я называю это тетой что бы вам было проще. На самом деле это гамма * 0.5*цена^2*вола^2. Это тот самый гамма трейдинг. Ну а гамма это показатель изменения дельты. Так что можете не тету отнимать, а гамму. Только на количество дней в году поделите.
Дмитрий Новиков, коэффициенты дельта, тетта, гамма связаны между собой дифференциальным уравнением БШ. Если вы построили дельта нейтральную позицию, то связанными между собой остаются коэффициенты тетта (производная стоимости инструмента по времени) и гамма (вторая производная стоимости инструмента по цене базового актива) — через безрисковую ставку. Я это к тому, что ДХ — это ДХ. Нейтрализуется только дельта. По определению ДХ.

Если вы говорите об ошибках точности, возникающих в случае конечных приращений, то так и говорите. 
avatar
Kot_Begemot, Безрисковой ставки у вас нет, у вас фьючерс, это не деньги а обязательства.
Давайте сначала. Вы генерите ГБД. Видимо как дифур с непрерывным временем. Потом, дискретно, начинаете измерять его волатильность. Таким образом сигма становится не стационарной. ДХ опциона вы тоже делаете дискретно. Причем, с шагом дельты которая меняется по времени. У вас уже 3 волатильности. Дальше вам надо оценить в деньгах ваш результат, а это умножить разницу волатильностей на гамму*(цена^2)*0.5. Эта величина зависит от траектории спота. Четверая волатильность.
Так что тут надо определиться с какой волатильностью вы работаете.
Дмитрий Новиков, давайте не усложнять и без того сложные задачи. 

1. Я генерирую арифметическое броуновское движение с заданной Sigma.
2. Я задаю волатильность Д/Х через заданное, априорно известное Sigma.
3. Таким образом, никакого многообразия волатильностей у меня не наблюдается.

4. Согласно ряду Тейлора, изменение стоимости портфеля соответствует:

dP = Delta*dS+ 0.5*Gamma*dS^2 +… +… + ... 

никакой дополнительной волатильности и никакой разницы волатильностей здесь не требуется. Разность волатильностей возникает только в случае пренебрежения дисперсией и принятии dP=RV* с последующем учётом тетта-распада. 

Но в нашем случае (численного моделирования) ничего этого не требуется.

------------------------------

Что касается численного получения результатов ДХ, обладающих конечной, ненулевой дисперсией, то это естественно, так как существует конечная точность Д/Х связанная с дискретным интервалом Д/Х и, соответственно, с производными цены высших порядков — гамма и т.д. 

При увеличении частоты Д/Х в 5 раз, конечная дисперсия результатов падает, в моём случае, ещё в ~ 2.25 раза.  При сокращении частоты Д/Х в 5 раз — растёт, постепенно превращаясь в дисперсию результатов без Д/Х (что очевидно).


Учёт высших порядков ( то есть дельта-гамма хеджирование) помимо прочего, без изменения частоты Д/Х позволяет получить более качественные результаты, но до спектральной линии (бездисперсионное распределение) результаты тестов оно не доводит.
avatar
Kot_Begemot, Давайте визуализируем. 
1. Я генерирую арифметическое броуновское движение с заданной Sigma. 
Непрерывно подбрасываем монетку. Ее волатильность 1. У нас броуновский процесс. +1 и -1 (орел и решка). Понятно, что волатильность 1 у нас ни как не меняется. И это просто хеджируется в 0. Достаточно делать ставку на орла и решку одновременно.
Теперь мы начинаем делать ДХ дискретно. Через два броска монетки. У нас 3 состояния +1 0 -1. Мы можем отнормировать по времени, но и так понятно, что в сигме появилась динамика.
И это ответы на 2.3.4. Пункты. 
Как это выглядит в ценовом процессе. (вам хорошо, вы языки знаете, а я только эксель). 10 дней цена меняется по приращению лог 1%. Измеряем волу и получаем 1%. Дельту мы ровняем через 2% (там у нас круглое число дельт и мы берем их с опциона где вола константа). Происходит 10 событий в БА -1+1… вола 1%. А в нашем ДХ вола 0. Мы не разу не прошли 2%.  Происходит 10 событий в БА +1+1+1+1 вола 1%(почти), а в ДХ через 2%, 5 событий. Вола? 
Так появляется зависимость частоты ДХ и результатов. Ну и чем чаще мы будем делать ДХ, тем ближе будем приближаться к воле БА.  
Дмитрий Новиков,

Непрерывно подбрасываем монетку. И это просто хеджируется в 0. Достаточно делать ставку на орла и решку одновременно.


Да, верно. Но не все заданные процессы имеют нулевую дисперсию «волатильности», в смысле результат тождественно равный волатильности. 

Для монетки достаточно продать стреддл. Для Гаусса на 1 шаг — уже нет. 


Теперь мы начинаем делать ДХ дискретно

Здесь вообще нет проблем хеджа. Даже при дискретности.


Так появляется зависимость частоты ДХ и результатов

У меня по времени сделано, но мысль понятна.

Хороший пример, наглядный. Как раз из-за этого 0 и не получается. СКО «волатильности» около 0.6*S0 * t^0.5 (для Гаусса) и у меня это с хорошей точностью соответствует СКО стрэддла.

Но этот пример, с монеткой, заметьте, совершенно не то же самое, что использование дельта-хеджа и формулы БШ.

Теперь нужно попробовать пределы рассчитать.



avatar
Kot_Begemot, в догонку. Есть волатильность опциона. Мы его продали и волу зафиксировали. Дальше сравниваем с волой БА. Будущей. И все тонкости ДХ это как снять волу с БА наиболее точно. Не с опциона. Там мы решение уже приняли. А именно с БА
Eugene Logunov, АБМ и используется. У меня БШ от других процессов и не строится никогда, а внутренними функциями Financial Toolbox я принципиально не пользуюсь так как предпочитаю не совсем тривиальные методы с некоторой настройкой под себя. 
avatar
Так это же все красиво, почти из книжечки пример — процесс с волатильностью 1 и все дела. А вот слабо замоделировать реальный процесс — с джампами, прыжками цены через ночь или выходные на 5%, 10% а то и все 20%, и чтобы фучем мгновенно подравняться не успевал. Вот тут и будут самые-то интересные результаты.
avatar
MadQuant, а я и не рассчитываю, что будет легко. Меня уже на Forts забанили один раз, поэтому готовимся ко всему.
avatar
MadQuant, сломать проданный стреддл много ума не надо. Пара дронов в нужное время в нужном месте — и всё. Или правительство решит из новогоднего запоя не возвращаться.


Вы лучше скажите как его починить? =)
avatar
Eugene Logunov, ну да, тут главное — смысл.
avatar
«Забанили на Фортс» — это как? Чтобы я тоже знал. =)
avatar
ch5oh, отберёте хлеб маркет-мейкеров — биржа вам вам и не такое устроит.

www.moex.com/a3826

В качестве дополнения - 

www.moex.com/a3825
avatar
Kot_Begemot, для опционов вроде как не действует сбор за транзакции?

=) это разве «бан»… дебильное недоразумение очередное. Вам как серьёзному трейдеру с большим оборотом торгов вообще пофиг на сбор за транзакции должно быть.
avatar
ch5oh, у меня не такой большой оборот в опционах, если это вообще можно назвать оборотом — обкатка. Но если не действует, то это очень хорошо, потому что на последних тестах я флудил в стаканы по чёрному и мне приходили гневные звонки. Но у меня и брокер вообще не для опционов) 


    
avatar
Kot_Begemot, опционы невозможно без «флуда» котировать. Они бы ещё увеличили пропускную способность IQS — им бы можно было хотя бы четверть грехов простить.
avatar
ch5oh, я вообще думал… с минимальными требованиями в рынок войти. Но что чувствую, что с опционами так точно не получится — все прям так и норовят засунуть палку в колёса — одни спанами, другие — принудительными закрытиями, третьи ещё чем. Как сговорились (
avatar
Kot_Begemot, так ошибочные транзакции не обязательно делать :) А поборы за «неэффективные» в опционах давно уже отменили.
avatar
bstone, да, вижу. Значит зря перестраховывался... 
avatar
Eugene Logunov, весь вопрос в том, кто теряет заявку. 
avatar
«Высокодоходные репликаторы» — звучит! 
avatar

теги блога Kot_Begemot

....все тэги



UPDONW
Новый дизайн