МАТЕМАТИКА НА МИЛЛИОН ДОЛЛАРОВ. 6. Разрабатываем новый Google. 7. Улучшаем результаты математикой. Как цифры могут сделать вас богатым (или бедным).

Электронная книга http://flibusta.is/b/635435
Глава 1-2 https://smart-lab.ru/blog/733279.php
ГЛАВА 3. Системы и стратегии в азартных играх. ГЛАВА 4 Успешный инвестор. https://smart-lab.ru/blog/733317.php
ГЛАВА 5. Взламываем, обманываем, обыгрываем систему.https://smart-lab.ru/blog/733563.php

ГЛАВА 6. Разрабатываем новый Google.

Марк Цукерберг сказал: Величайший риск — не рисковать вовсе. В стремительно меняющемся мире единственная гарантированно провальная стратегия — это не рисковать.

 получим базовое представление о том, как математическое моделирование трансформировало мир финансов и бизнеса.

До сих пор, сердцем поисковика Google остаётся PageRank, вдохновлённый материалом, преподаваемым на первом курсе университета.

И, кто знает, может, идеи для создания «нового Google» можно почерпнуть из другой, столь же незатейливой математической концепции.

Рассмотрим Математику «Фейсбука».

Новостная лента Фейсбук выводит пользователям наиболее релевантную информацию, но продолжает отслеживать реакцию, чтобы проверить корректность своих выводов.

Время от времени «Фейсбук» подправляет алгоритм и начинает показывать, например, больше постов людей, которых вы недавно «лайкали», и исключать записи пользователей и организаций, которых не «лайкали».

Таким образом, наша реакция создаёт автоматический фильтр.

Конечно, из этого проистекает давно подтверждённая опасность:

алгоритмы могут формировать «пузыри», в которых люди видят только ту информацию, которая им нравится.

Иногда получается напрямую установить, по какой причине вам демонстрировалась та или иная запись.

В «Фейсбуке» теоретически можно нажать кнопку «Почему я это вижу?» и узнать, какая информация из вашего профиля учитывалась при таргетировании конкретного рекламного объявления.

И там будет написано, например, что причина в том, что вы мужчина, немного старше сорока и живёте рядом с Лондоном –

хотя это может лишь частично соответствовать реальному процессу работы алгоритма.

Если система к вам немилосердна

:--) скажем, предлагает взять кредит,

иногда получается вынудить компанию раскрыть их причины для подобного решения.

Однако получить связный ответ будет непросто, т.к. многие алгоритмы и искусственные интеллекты настолько непрозрачны, что даже программисты не понимают все нюансы их функционирования.

нам следует быть осторожными, иначе алгоритмы будущего с нашего согласия запрут всех в пузырях.

Как минимум, постарайтесь осознать, насколько вездесуща и всепроникающа эта система, и время от времени ей противостоять.

Шифрование и банковская система.

С конца 1970-х лучшим решением проблемы шифрования сообщения остаются криптосистемы с открытым ключом, где один ключ (обычно серия цифр), доступный всем участникам, комбинируется с личным закрытым ключом, который позволяет нужному адресату расшифровать сообщение.

асимметричный криптографический алгоритм предполагает наличие двух разных ключей: одного в общем доступе и одного персонального.

Открытый ключ — полупростое число, а закрытый — один из его простых множителей.

Опасность состоит в том, что в будущем может быть открыт менее трудоёмкий способ решения криптографической задачи, и криптосистемы с открытым ключом станет легче взламывать.

Если вы хорошо владеете математическими инструментами и хотите предвосхитить новую волну криптографии, скорее всего вам следует обратиться к изучению эллиптической криптографии, которая в настоящий момент находится на ранних стадиях развития, но уже применяется, например, в американских госструктурах, проекте Tor и биткоине.

Математика, лежащая в основе метода, весьма сложна.

Но, достаточно короткий ключ может обеспечить высокий уровень безопасности.

Рассмотрим Задачу византийских генералов и биткоин.

 электронные валюты становятся неотъемлемой частью мировой экономики.

Встречаются как виртуальные деньги, имеющие хождение только внутри конкретных интернет-сообществ, типа пользователей какой-либо игры или социальной сети, так и полноценные криптовалюты, в основе которых лежат механизмы шифрования, призванные обезопасить транзакции.

биткоин — первая надёжная децентрализованная криптовалюта.

Его создателям удалось достичь подобных результатов отчасти благодаря применению эллиптической криптографии, а также за счёт рассмотрения крайне трудной математической головоломки — задачи византийских генералов.

Условия следующие: у генерала несколько командиров.

Чтобы успешно захватить взятый в осаду замок, генерал должен через гонцов отдать войскам приказ идти в атаку или отступать.

Однако среди командиров и гонцов есть предатели, которые собираются отдать неверный приказ. В таком случае войска генерала скорее всего будут разбиты.

Для решения данной проблемы можно потребовать от каждого командира передать сообщения другим с условием, что никто не начнёт действовать, пока каждый не получит от всех остальных одинаковые приказы.

В результате предатели не смогут исказить информацию или раскроют себя.

(рисунок 28).

Решение этой проблемы стало ядром блокчейна биткоина,

т.е. цепочки записей о всех транзакциях, проследить которую можно до самого появления валюты.

По сути это база, в которой хранится информация о подтверждении действительности размноженных, распределённых и синхронизированных данных, хранящихся на нескольких сайтах.

Когда вы совершаете оплату биткоином, сведения о планируемой транзакции передаются каждому узлу сети.

Как только узел сети завершает расчёт, его результат присовокупляется к транзакции в качестве доказательства выполнения работ (англ. proof of work, PoW) и рассылается по сети для верификации.

Если решение проходит проверку, в блокчейн добавляется новый блок, содержащий запись о вашей транзакции и доказательство выполнения работ, математически связанные с предыдущими блоками цепи.

Пока гиганты банкинга медленно разрабатывают свои версии блокчейна, государства выражают обеспокоенность тем, что подобные транзакции не попадают под их юрисдикцию.

Представляется возможным, что в факте применения биткоина в противозаконных целях могут усмотреть предлог для объявления войны криптовалютам.

Но каким бы ни было будущее криптовалют и биткоина, сложно отрицать гениальность математических концепций, лежащих в основе биткоина и схожих проектов.

Следующая тема: Деривативы для начинающих.

По своей сути, дериватив — финансовый инструмент, стоимость которого зависит от конкретного актива. При этом владение деривативом не предполагает владения самим соответствующим активом.

Чтобы понять азы устройства производных финансовых инструментов, представим ситуацию:

Сэм, хозяин «Счастливой фермы» в сентябре его урожай яблок уже должен быть готов к поставке.

Но из-за изменчивости цен за последние годы фермер хочет удостовериться, что ему хватит на оплату озимой пшеницы и корм скоту.

По итогам переговоров оптовый покупатель заранее соглашается через 6 месяцев купить у Сэма яблоки по 15 £ за ящик вне зависимости от рыночной цены.

Именно так и работает фьючерсный контракт: что бы ни про изошло, фермер сможет оплатить пшеницу.

Это также пример хеджирования в бизнесе: фьючерсный контракт позволил Сэму хеджировать риск волатильности рынка.

Если рыночная цена вырастет до отметки более 15 £, оптовый покупатель получит дополнительную прибыль, а фермер потеряет потенциальный доход.

Однако, если рынок перенасыщен и стоимость упадёт до 5 £, то получается, что покупатель понесёт убытки вместо Сэма.

Деривативы объединяет ключевой принцип:

обмен рисками и их перераспределение между теми, кому требуется себя обезопасить, и теми, кто готов взять на себя повышенные риски ради большей выгоды.

Мировой финансовый кризис, начавшийся в 2007– 2008 гг., попортил репутацию деривативов — в чём-то за дело.

В серии комиксов «Дилберт» метко сравнили перепродажу долговых обязательств со вложением всех денег в больных коров по принципу, что инвестировать всего в одну глупо, но стоит собрать их в стадо — и «риск исчезнет».

Было бы смешно, но именно это и произошло, когда высокорисковые кредиты поделили, реструктурировали и обозначили высоким рейтингом.

«Деривативы вредят вашему здоровью» — однажды Уоррен Баффетт даже метко обозвал производные финансовые инструменты «оружием массового поражения».

Но при этом они действительно могут распределить риски и послужить удачной инвестицией, если вы хорошо осознаёте вероятности и плюсы и минусы сделки.

Модель Блэка-Шоулза была представлена Фишером Блэком и Майроном Шоулзом в 1973 г. как способ установления цены производных инструментов на финансовом рынке.

Именно эта формула вызвала мировой бум торговли опционами последних десятилетий.

изменение цены в каждый отдельный момент рассматривается нами как случайное (но с ограниченной дисперсией):

из среднего значения изменения за определённый период времени можно сделать вывод об усреднённом кратковременном тренде — восходящем или нисходящем, —

в то время как значение стандартного отклонения позволит оценить волатильность процесса.

С учётом этих допущений, изменения в курсе акций в более долгосрочной перспективе имеют тенденцию показывать распределение Гаусса (т.е. нормальное).

График размера выплаты по опциону имеет форму хоккейной клюшки.

(рисунок 29).

Это объясняется тем, что выплата не производится, если стоимость соответствующего актива не поднимется до страйк-цены.

Следовательно, выплата растёт вместе с ценой актива, поскольку его можно продать и немедленно получить прибыль.

Уравнение Блэка-Шоулза основывается на ряде допущений:

например, что

волатильность — постоянная величина, расходы на осуществление транзакций и ограничения на продажи без покрытия отсутствуют, а у нас имеется достоверное значение безрисковой процентной ставки.

В какой-то степени все эти утверждения некорректны, но уравнение тем не менее довольно неплохо показывает себя при оценке опционов в нормальных условиях.

Квантовые фонды и аналитики разработали множество схожих формул для оценки прочих производных инструментов, что вызвало огромный скачок популярности торговли деривативами, ведь уравнения позволили сколько-то объективно оценивать их стоимость.

Некоторые открыто обвиняют уравнение Блэка-Шоулза в мировом финансовом кризисе, поясняя, что формулы, предложенные квантами, подарили трейдерам ложное чувство уверенности.

Нельзя поспорить: кризис действительно наглядно продемонстрировал не только опасности рынка производных инструментов, но и ограниченность возможностей математического анализа.

«Внесёшь ерунду — получишь ерунду».

Поэтому, нужно помнить,  что любая математическая финансовая модель — приблизительная оценка и не более того, поэтому у вас всегда должен быть заготовлен план «Б» на случай, когда моделирование вас подведёт.

(Математика высокочастотного трейдинга).

Сейчас квантовые фонды доминируют в сфере управлении капиталами благодаря алгоритмам типа модели Блэка-Шоулза, высокочастотному трейдингу и прочим применениям их методов.

Кванты также сделали значительный вклад в развитие высокочастотного трейдинга (или HFT от англ. highfrequency trading). Эта область финансов стала возможна лишь с появлением электронных торгов. Компании, реализующие данную стратегию, закрывают сделки в предельно короткие сроки.

В книге «Flash Boys: Высокочастотная революция на Уолл-стрит» автор Майкл Льюис вспоминает, как они бились за самую высокую скорость интернет-соединения в надежде заполучить решающее преимущество над конкурентами всего в несколько миллисекунд.

Ссылка на книгу под видео.

Сейчас некоторые даже применяют искусственный интеллект, способный обучаться на опыте и соответственно адаптировать свою тактику.

 Используемые в высокочастотном трейдинге математические стратегии преимущественно совпадают с теми, что реализуются при краткосрочных спекуляциях:

 хеджирование, арбитраж, извлечение выгоды из мгновенных перемен в ситуации на рынке.

Но сделки проводятся не часами, днями или неделями, а за считаные миллисекунды. Из чего следует, что порой высокочастотные трейдеры, заметив, что кто-то планирует совершить покупку, пытаются сделать это первыми,

что, в свою очередь, порождает опасную петлю обратной связи, подвигающую участников торгов на опрометчивые поступки.

HFT — это прекрасный пример того, как стремительно может меняться мир финансов:

в 1990-е эта стратегия была практически неизвестна, но быстро захватила значительную часть рынка, и первые участники получили огромные доходы.

Но чем больше фондов присоединялось к тренду, тем менее прибыльной становилась подобная деятельность.

Это вполне типично для цифровой экономики:

аналогичные процессы наблюдались в других отраслях, зависящих от математики.

Так что, если вы хорошо владеете математикой, можно решить, будто стать квантовым или высокочастотным трейдером — всё ещё верная дорога к богатству.

Однако следует признать, что самые значительные прибыли получают инноваторы, и начать искать «новый Google», «новый HFT», «новый биткоин» или другую прорывную технологию.

КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ ГЛАВЫ 6:

1. Алгоритмы и кванты управляют миром.

Кто займёт их место через несколько десятилетий?

Вероятно, мы ещё не знаем, но наверняка это так или иначе будет основываться на математике.

2. Отношения между математикой и финансами только усложняются.

3. В будущем некоторые возможности для заработка (и периоды нестабильности в мировой экономике) будут напрямую связаны с этими сложными отношениями.

4. Математика, лежащая в фундаменте прорывных технологий, не всегда уровня докторских диссертаций (но встречается и такая).

ГЛАВА 7. Улучшаем свои результаты при помощи математики.

Соберите достаточно информации.

Довольно часто люди совершают ошибки из-за недостатка информации.

Как следует разобравшись в понятиях статистической значимости и размера выборки, можно научиться принимать лучшие решения на основании необходимого объёма данных.

Как минимум, это позволит оценивать, опирается ли некое инвестиционное или бизнес-решение на надёжное математическое обоснование или на эмоции и чутьё.

Стоит помнить про законы больших и малых чисел (см. главу 3), которые гласят, что люди слишком любят делать поспешные выводы из небольшой выборки.

Также помните, что стандартное отклонение порождает локальные отклонения в данных, которые не имеют под собой никаких конкретных причин.

При проведении научных экспериментов специалисты по статистике обращаются к концепции статистической значимости.

При двух переменных результат имеет статистическую значимость, если его возникновение в условиях нулевой гипотезы (гласящей, что переменные никак не коррелируют) крайне маловероятно.

Следует также помнить избитое утверждение:

корреляция не подразумевает причинно-следственной связи.

Даже если мы в высокой степени уверены в полученных результатах, всё равно необходимо рассмотреть все возможные объяснения.

Главное, что следует учитывать при рассмотрении коррелирующих наборов данных: достаточно ли велика выборка, насколько сильна и постоянна связь, мыслимы ли другие объяснения.

с самого начала думайте в терминах гипотез и статистической значимости.

люди плохо учитывают случайность, т.к. всегда инстинктивно ищут закономерности.

Кроме того, они не умеют имитировать случайное поведение.

Классический пример: мы ошибочно полагаем, что долгая серия выпадения решек при игре в монетку делает орла более вероятным исходом следующего броска.

Если разобраться в концепции случайного распределения, можно избежать многих распространённых ошибок:

например, предположения, что корреляция автоматически означает причинность, даже когда изменчивость показателей не обладает статистической значимостью.

случайность, шанс и удача оказывают воздействие на нашу жизнь многими способами, которые мы не в состоянии понять.

Из-за эффекта знания задним числом и ошибки выжившего мы предполагаем, что люди всегда достигают успеха благодаря своим навыкам, а не случайности.

Талеб противопоставляет состоятельного дантиста, который преуспел бы и в большинстве альтернативных версий реальности, потому что напряжённо учился ради работы в традиционно прибыльной отрасли,

везунчику из более изменчивой сферы типа финансов, где разбогатевший менеджер фонда мог бы разориться в результате даже незначительной перемены в ходе событий.

качество наших решений в какой-то мере следует оценивать по альтернативным сценариям, а не только по фактическому результату.

Например, человек, ошибочно заключивший, что рынок достиг максимума, всё равно мог правильно проанализировать фундаментальные факторы, в то время как тому, кто сделал точный прогноз, могло просто повезти.

Надёжным и верным успехом следует считать успех, наступающий в большей части альтернативных сценариев развития событий.

Краткосрочная информация, на которой мы основываем свои решения, зачастую не более чем статистический шум.

Так что, хотя есть логика в том, чтобы перенять хорошо показавшую себя стратегию, перед этим необходимо убедиться, что в результате мы не подвергнем себя высокому риску убытков, ведь установить, что успех обусловлен именно самой стратегией, а не случайной изменчивостью, возможно лишь после долгого периода повторений.

И только со временем результаты покажут, была ли наша оценка верна, или в первый раз это была просто удача.

порой стоит соглашаться на небольшие потери ради большой прибыли.

Поскольку маловероятные события бывают недооценены –

как в случае с командой бетторов «В лунку с одного удара»,

иногда целесообразно делать ставки на исходы с высокой потенциальной выплатой.

Мы будто бы запрограммированы не понимать случайность, так что хорошее представление о её механизмах получают только тяжким трудом — постоянно обращаясь к различным концепциям статистики, типа стандартного отклонения и закона больших чисел.

помните, что причиной чего-либо всегда может оказаться случайность, а время покажет, было ли явление действительно случайным или произошло вследствие наших решений либо стратегий.

Но в краткосрочной перспективе лучше считать, что оба варианта возможны.

помните об искажении данных и распространённых ошибок визуализации.

Обязательно используйте инструмент визуализации и научитесь отражать информацию точно.

Кроме того, старайтесь подмечать ошибки и умышленные искажения данных в визуализациях ваших коллег

Прислушивайтесь к данным.

Пусть факты могут казаться скучными и многие самые успешные вложения Уоррена Баффетта до зевоты очевидны,

потому что предварительно он внимательно исследует вопрос, изучает цифры и факты и доверяет им.

Часто это верно и для бизнеса:

лучшая стратегия поведения для компании может оказаться крайне банальной — просто продолжать делать всё то, что они делают хорошо.

Знание математики позволит определять на основании изменений в показателях того или иного предприятия, жизнеспособно ли оно в перспективе или потребует глобального пересмотра.

А понимая случайность и риски, можно оценивать, удачно ли компанией выбрано новое направление.

Другой пример человека, который добился невероятного успеха, прислушавшись к фактам, — приведен в книге Майкла Льюиса «Игра на понижение»:

там показано, как в преддверии мирового финансового кризиса несколько финансистов решили прислушаться к информации по ипотечным ценным бумагам и состоянию рынка недвижимости США.

Один из них, Майкл Бьюрри, менеджер хедж-фонда Scion Capital, в 2005 г. изучил рынок субстандартного кредитования.

Он провёл обстоятельный анализ данных об ипотечных кредитах за последние три года и верно заключил, что образовался пузырь, который скоро лопнет.

Тогда Бьюрри убедил банк Goldman Sachs продать ему кредитные дефолтные свопы на ипотечные облигации.

В какой-то момент финансист столкнулся с противодействием со стороны инвесторов, переживавших, что тот совершил чудовищную ошибку.

Но в конце концов рынок субстандартного ипотечного кредитования обрушился, а Бьюрри заработал 100 млн $ прибыли для себя и 700 млн $ — для недоверчивых инвесторов.

Мораль во всём этом следующая:

возможно, вам не удастся отыскать способ заработать 100 млн $, но существуют и более реалистичные методы преуспеть в обычной жизни, главное, следите за данными и доверяйте им.

Что нужно делать.

В том, что касается заработка, из принципа Парето нам следует вынести главное:

неважно, в какой зоне диаграммы распределения богатства вы находитесь и чем занимаетесь — задайтесь вопросом, можете ли вы начать вкладывать больше времени в самые продуктивные активности.

Однако помните, что определить их заранее не всегда будет легко.

Долг и рычаг.

Хедж-фонды обращаются к рычагам, чтобы открывать позиции на гигантские суммы по определённым активам,

от которых они ожидают относительно скромного роста цен, благодаря чему небольшая прибыль обращается в куда более значительную,

при этом фонды рискуют понести серьёзные потери, если прогнозы окажутся неверны.

Этим объясняется, почему средняя продолжительность жизни хедж-фонда всего 5 лет: многие закрываются, когда сделки с крайне большим кредитным плечом идут не по плану, а инвесторы остаются на мели.

Финансовый рычаг также важен для оценки компаний.

Такие показатели, как рентабельность собственного капитала, соотношение заёмного капитала к собственному и рентабельность задействованного капитала, позволяют инвесторам определить, сколько денег та или иная компания взяла в долг и как хорошо она их инвестирует.

Если компанию характеризуют как «имеющую значительную долю заёмных средств» (высоко левериджированную), значит, большая часть её инвестиций осуществлена на заёмные деньги.

Это может считаться красным флагом: компания слишком зависима от займов и, следовательно, чересчур подвержена риску.

Что нужно делать.

не слишком доверяйте хедж-фондам:

на слуху только успешные примеры, но было и много других, прекративших своё существование, когда их игра на бирже с использованием плеча обернулась масштабными потерями –

:--) для инвесторов, но не обязательно для менеджеров фонда.

КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ ГЛАВЫ 7:

1. Математическое мышление поможет вам работать более чётко и добиваться успеха.

2. Старайтесь добыть самую качественную информацию, какую только возможно.

С осторожностью делайте выводы из небольшого набора данных, особенно опасайтесь влияния случайности.

3. Достоверная визуализация — крайне полезный инструмент.

Плохая же больше принесёт вреда, чем пользы, так что внимательно изучайте чужие графики и диаграммы.

4. Из теории игр можно вынести хорошее понимание азов переговорного процесса.

5. Посвящайте максимум времени наиболее продуктивным аспектам своей работы.

6. Будьте осторожны, когда берёте деньги в долг, и обязательно проверьте, каким образом будут рассчитываться платежи и какова общая сумма.

ГЛАВА 8. Доказать невозможное.

В книге Льюиса Кэрролла «Алиса в Зазеркалье» есть замечательный диалог:

Алиса рассмеялась. — Нельзя поверить в невозможное!

Королева заметила.  — Просто у тебя мало опыта,

— В твоем возрасте я уделяла этому полчаса каждый день!

В иные дни я успевала поверить в десяток невозможностей до завтрака!

В голливудском фильме «Умница Уилл Хантинг» Мэтт Деймон играет уборщика из Бостона, который оказывается гениальным математиком и круто меняет свою жизнь, когда его берёт под своё крыло блестящий профессор Робин Уильямс.

в реальной жизни произошла похожая история.

 Юй Цзяньчунь, китайский мигрант и математик-любитель, оказался в центре внимания мирового сообщества, когда открыл альтернативный метод определения чисел Кармайкла.

Ему потребовалось восемь лет, чтобы убедить хоть кого-то принять его слова всерьёз, но в итоге работу признали выдающимся достижением.

способность быстро факторизовать большие числа и определять, являются они простыми или составными, — это довольно важно.

Именно этой задачей увлёкся Юй Цзяньчунь.

После переезда из деревни в город он устроился работать в службу доставки, но в свободное время посещал лекции в университете.

Юй никогда не проходил систематического обучения, а только интенсивно размышлял в свободное время о математических проблемах и разрабатывал собственные методы.

Работа Юя Цзяньчуня демонстрирует принципиально новый подход к определению принадлежности числа к числам Кармайкла.

ей находятся крайне полезные применения.

Один из способов мгновенно заработать миллион долларов — вывести рабочее, верифицированное доказательство гипотезы Била (или привести контрпример, опровергающий её).

К сожалению, это классический пример задачи, которую сравнительно просто объяснить, но невероятно сложно решить.

Денежный приз хранится в трасте Американского математического общества и присуждается Комитетом премии Била.

Сумму несколько раз увеличивали, благодаря чему сейчас она составляет 1 000 000 $.

Будучи простой для понимания, задача привлекает много математиков-любителей.

В книге «Великая теорема Ферма» описывается, как эта задача веками гипнотически воздействовала на умы как математиков-любителей, так и профессионалов, пробуждая в них страсти, способные обернуться интригами, обманом и даже безумием.

И гипотеза Била, будучи более общей и сложной вариацией той же задачи, но ещё и с ценником в миллион долларов, скорее всего вызовет в будущем огромное число новых приступов одержимости.

На доказательство великой теоремы Ферма ушло больше 350 лет, и, возможно, на установление истинности или ложности гипотезы Била потребуется ещё 350.

В 2000 г. был составлен список из семи важнейших математических задач.

Отыскав верифицированное решение любой из них, можно получить 1 000 000 $ (Премию тысячелетия) от института Клэя.

На настоящий момент сделать это удалось лишь с одной — гипотезой Пуанкаре.

Институт Клэя был основан в 1998 г. филантропом Лэндоном Клэем — бизнесменом, сделавшим карьеру в сфере финансов и венчурных инвестиций.

Гипотеза Пуанкаре — единственная из задач тысячелетия, которая была решена.

Эта гипотеза гласит, что трёхмерная сфера идентична трёхмерному многообразию (определённому множеству точек) в конкретных алгебраических условиях.

В 2006 г. её доказал российский математик Григорий Перельман.

Учёному была присуждена Филдсовская премия и полагался 1 млн $ от Института Клэя, однако от обеих наград он отказался, заявив,

что почву для его открытия подготовили другие математики, а значит, согласиться принять премию было бы нечестно.

Даже старинные задачи решаются.

Призы выигрываются.

Сокровища находятся.

Это не происходит каждый день, но никогда не вредно помечтать, что именно у вас получится проложить путь через лабиринт и отыскать спрятанную в его центре разгадку.

КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ ГЛАВЫ 8:

1. Значимые проблемы математики и криптоанализа иногда поддаются решению даже спустя несколько веков.

2. Работа Юя Цзяньчуня о числах Кармайкла показала, что в наши дни даже математик-любитель способен совершить серьёзный прорыв.

3. Если рассуждать трезво, обдумывание сложных гипотез — это, в первую очередь, способ отточить своё мастерство математика, а для некоторых и приятное хобби.

4. Может, где-то сейчас и запрятано сокровище, но большинству из нас лучше бы выбрать другой способ получить миллион.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

способы заработать миллион при помощи математики правда существуют.

выпишите из моего рассказа и книги все способы, которыми математический подход способен реально повлиять на вашу жизнь.

Возможно, вы не планируете гоняться за большими выигрышами или всё равно не нашли в себе терпения, чтобы разобраться в портфельной теории?

Даже если так, то книга всё равно может изменить вашу жизнь к лучшему:

теперь вам будет легче замечать статистические искажения, а прежде чем вступать в переговоры о повышении зарплаты, вы почитаете про теорию игр.

И надеюсь, вы лучше стали понимать, как случайность влияет на вашу повседневную жизнь, и избегаете когнитивных ловушек при принятии инвестиционных решений.

Подумайте о том, чего вы реально способны достичь, и осознайте, что всё в ваших руках.

Миллионеры, которые сами всего добились, разбогатели не за счёт одной-единственной хорошей идеи.

Многие из них достигли успеха, в мелочах поменяв свой подход к бизнесу и жизни в целом, везде пытаясь отыскать пути минимизировать потери и приумножить прибыли.

Не забывайте про математику в бизнесе, инвестициях и спекуляциях, и с большей вероятностью убережёте себя от ошибок, сможете эффективнее удерживать и вкладывать средства и будете продуктивнее работать каждый день.

Числа и деньги неразрывно связаны ещё со времён первых сделок на заре истории, и сегодня как никогда прежде важно осознавать, что математика — фундамент финансового успеха.