Математика жизни и смерти. 7 математических принципов, формирующих нашу жизнь. Кит Йейтс.

Математика жизни и смерти. 7 математических принципов, формирующих нашу жизнь. Кит Йейтс.


(Подпишитесь на мой канал ютуб, а тек же на мои соцсети — ссылки внизу поста).

Издание 2021 года. серия Большая наука.

Электронная книга flibusta.is/b/645021/read

Многие из нас боятся математики и не любят ее. 

Можно сказать даже, ненавидят. А зря.

Я расскажу Вам математические истории, которые наглядно демонстрируют, как математика наполняет нашу жизнь и управляет ею.

Каждая из глав посвящена какому-то одному математическому принципу, например теории вероятности, и демонстрирует, как эта концепция реализуется в повседневной жизни.

Вы узнаете о несправедливых судебных решениях, основанных на математических ошибках; 

о тянущихся последствиях катастрофы в Чернобыле; 

о том, как манипулируют статистикой и предотвращают эпидемии. 

И все это благодаря королеве наук.

главные принципы моего рассказа: доступность подачи материала, отсутствие сложных математических формул, наглядная демонстрация важности математики в нашей жизни.

Обманчиво простой вопрос, на который у автора не было хорошего ответа: 

«Папа, а сколько в нашем саду, улиток?» 

Их могла быть сотня или тысяча. 

Честно говоря, разницы ребенок бы не понял.

Тем не менее его вопрос вызвал интерес. С этим определенно стоило разобраться вместе.

Автор с сынок решили провести эксперимент.

Они пошли собирать брюхоногих. 

Через десять минут у них оказалось 23 улитки.

Кит пометил каждую крестиком и выпустив улиток обратно в сад.

Через неделю они совершили новый заход. 

На этот раз за десять минут добыли 18 улиток и обнаружили у трех из них на раковинах крестик; у оставшихся 15 его не было. Вот и все, что нам требовалось для подсчета.

количество улиток, которых поймали в первый день (23) – это часть общей численности брюхоногого населения сада.

Если мы вычислим, какую долю она составляет, то сможем найти размер всей популяции. 

Поэтому мы используем вторую выборку. 

Число отмеченных особей в ней (3 из 18) должно составлять ту же долю, что и общее число отмеченных от всех особей в саду. 

Упростив это соотношение, мы обнаружим, что пометили каждую шестую особь. 

Далее, умножив число помеченных в первый день особей (23) на 6, мы получим общее число улиток в саду – 138.

(Рис. 1).

 Отношение количества повторно пойманных улиток (ОХ) к общему количеству пойманных во второй день (О) должно быть таким же, как и отношение количества пойманных в первый день (Х) к общему количеству улиток в саду, помеченных и не помеченных – 3:18 и 23:138 соответственно.

Этот простой математический метод, известный как мечение и повторный отлов, был разработан для оценки размеров популяций животных. 

Вы можете использовать его самостоятельно, взяв два независимых образца и сравнив пересечения этих множеств. 

Этот метод настолько эффективен, что его применение позволяет узнать размер любых групп – от количества наркоманов среди населения до числа погибших во время войны в Косово.

с помощью математики описать можно практически все.

Как прикладной математик я считаю математику практическим инструментом осмысления и упорядочивания нашего сложного мира. 

Математическое моделирование может обеспечить нам преимущество в повседневных ситуациях, и для этого не нужно задействовать сотни нудных уравнений или строк компьютерного кода.

Математика по своей фундаментальной сути – шаблон. 

Каждый раз, когда вы смотрите на мир, вы выстраиваете собственную модель наблюдаемых закономерностей.

Построение математических моделей, разработанных для описания нашей замысловатой реальности, – лучший способ понять правила, которые управляют окружающим миром.

самые простые, самые важные модели – это истории и аналогии. 

Нагляднее всего демонстрируют неявное влияние математических принципов разнообразные – от невероятных до обыденных – примеры из жизни.

Давайте вместе исследуем подлинные истории переломных событий, в которых корректное (или некорректное) применение математики сыграло решающую роль. 

Это истории болезней, вызванных дефектными генами; 

истории банкротств, вызванных применением ошибочных алгоритмов; 

истории невинных жертв судебных ошибок и нечаянных жертв сбоев в работе программного обеспечения. 

Мы проследим за историями инвесторов, потерявших состояние, и родителей, потерявших детей, – и все из-за математических недоразумений. 

Если когда-то вы разочаровались в математике и решили, что она не для вас, что она вам не дается, надеюсь мой рассказ избавит от таких комплексов.

Я искренне верю, что математика – для всех и что все могут оценить ее красоту, лежащую в основе сложных явлений, с которыми мы сталкиваемся ежедневно. 

Математика – это лазейки в законе и заплатки, которые их закрывают;

 технология, которая спасает жизни, и ошибки, которые подвергают их риску; 

вспышки смертельных болезней и лечебно-профилактические стратегии. 

Это самый многообещающий шанс найти ответы на фундаментальные вопросы Вселенной и нашего собственного вида. 

Математика ведет нас по бесчисленным путям жизни.

(Глава 1. Мыслить шире) 
Рассмотрим: удивительную силу и отрезвляющие пределы экспоненциального поведения.

Даррен Кэддик – инструктор по вождению небольшого городка в Южном Уэльсе. 
В 2009 году его приятель сделал ему заманчивое предложение. 
Вложив всего лишь 3000 фунтов стерлингов в местный инвестиционный синдикат и убедив сделать то же самое еще двух человек, Даррен всего через пару недель получил бы 23 000 фунтов. 

Он решил попытать счастья и вложил свои сбережения в эту схему. Он потерял все и до сих пор, десять лет спустя, расхлебывает последствия.

Кэддик невольно оказался на дне пирамиды, которая просто не могла «действовать бесконечно». 

Запущенная в 2008 году программа Give and Take («Отдай и получи») перестала привлекать новых инвесторов и рухнула менее чем за год, но за это время свыше 10 000 вкладчиков со всей Великобритании вложили в нее более 21 млн фунтов. 

90 % из них потеряли свои три тысячи.

Этот феномен быстрого роста, неизбежным итогом которого становится крах всей системы из-за того, что она перестает привлекать новых участников (они заканчиваются физически), называется экспоненциальным ростом.

Экспоненциальный рост – это возрастание любой величины пропорционально ее текущим размерам.

Экспоненциальные кривые иногда называют J-образными, так как они почти повторяют крутую кривую буквы J.

На деле почти в каждом реальном сценарии долгосрочный экспоненциальный рост оказывается неустойчивым, а во многих случаях и патологическим, поскольку растущий объект истощает ресурсы донора, лишая его жизнеспособности. 

Так, устойчивый экспоненциальный рост клеток в организме является характерным признаком рака.

(рис. 2 Рис. 2. J-образная кривая экспоненциального роста (слева) и спада (справа)).

Другой пример экспоненциальной кривой – водная горка с эффектом свободного падения: 

в своей верхней части она настолько крута, что посетители этого аттракциона испытывают чувство невесомости. 

Спускаясь по такой горке, мы путешествуем по экспоненциальной кривой спада, а не по кривой роста.

выявим скрытую связь между экспоненциальным поведением и повседневными явлениями: 

распространением эпидемии в популяции или мемов в интернете; 

быстрым ростом эмбриона и слишком медленным ростом денег на наших счетах;

 тем, как мы воспринимаем время, и даже тем, как взрывается ядерная бомба. 

Истории людей, потерявших сбережения в финансовых пирамидах, демонстрируют, как важно уметь мыслить экспоненциально, что, в свою очередь, поможет нам предвосхищать невероятные порой темпы изменений в современном мире.

После оплодотворения яйцеклетки сперматозоидом на первоначальном этапе развития плода получившаяся зигота проходит последовательные раунды «дробления» – деления клеток; 

количество клеток в развивающемся эмбрионе быстро растет. 

Сначала она делится на две. 

Восемь часов спустя эти две делятся на четыре, еще через восемь часов четыре становятся восемью, которые вскоре превращаются в шестнадцать, и так далее – точно так же, как и количество новых вкладчиков на каждом уровне пирамидальной схемы. 

Последующие деления происходят почти синхронно каждые восемь часов. 

Таким образом, общее количество клеток растет пропорционально количеству клеток, составляющих эмбрион в данный момент времени:

 чем больше клеток сейчас, тем больше новых создается при последующем делении. 

В этом случае, поскольку при каждом делении каждая клетка создает ровно одну дочернюю клетку, коэффициент увеличения клеток в эмбрионе равен двум; 

иными словами, с каждым поколением клеток размер эмбриона удваивается.

Во время внутриутробного периода этап экспоненциального роста эмбриона, к счастью, относительно недолог. 

по мере развития эмбриона деление его клеток замедляется. 

В реальности количество клеток в среднем новорожденном составляет относительно скромное число – примерно два триллиона. 

Такой объем достигается меньше чем за 41 этап синхронного деления.

Быстрый – в геометрической прогрессии – рост количества клеток необходим для создания новой жизни.

Возможность разделения ядра (крепко связанных протонов и нейтронов) тяжелого атома на более мелкие составляющие обнаружили немецкие химики в 1938 году. 

Этот процесс назвали ядерным делением по аналогии с бинарным делением, или расщеплением, одной живой клетки на две – совсем как в развивающемся эмбрионе. 

Было обнаружено, что деление происходит либо естественным путем – как радиоактивный распад нестабильных химических изотопов, либо искусственно индуцируется бомбардировкой ядра атома субатомными частицами в процессе, получившем название «ядерная реакция». 

В любом случае расщепление одного ядра на два более мелких, которые называются продуктами деления, сопровождается выделением большого количества энергии в виде электромагнитного излучения, а также кинетической энергии движения продуктов деления. 

для получения цепной реакции Оппенгеймеру необходимо было получить исключительно чистый U-235, то есть обогатить урановую руду, удалив из нее как можно больше урана-238.

Эти соображения породили идею о так называемой критической массе расщепляющегося материала. 

Критическая масса урана – это количество материала, необходимое для осуществления самоподдерживающейся цепной ядерной реакции. 

Угроза проиграть гонку нацистским ядерщикам заставляла Оппенгеймера и его команду поторапливаться. 

Вскоре у них родилась концепция бомбы. 

Предложенная ими модель бомбы пушечного типа предполагала, что взрыв такой бомбы будет инициироваться «выстрелом» одной подкритической массы урана в другую для создания единой сверхкритической массы. 

Выстрел должен был осуществляться с использованием обычной взрывчатки. 

Затем спонтанное деление ядер, испускающих инициирующие нейтроны, вызывало бы цепную реакцию. 

Разделение общей критической массы урана на две подкритические массы гарантировало, что бомба не взорвется раньше времени. 

Получив уран высокой (около 80 %) степени обогащения, разработчики довели необходимую для критичности массу ядерного вещества всего до 20–25 килограммов. 

6 августа 1945 года, 4400-килограммовый «Малыш» вышел из бомболюка и начал 6-мильный спуск в направлении Хиросимы. 

После 45 секунд свободного падения бомба взорвалась менее чем в миле над землей. 

Одна подкритическая масса урана была выпущена в другую, создав сверхкритическую массу, готовую к взрыву. 

Почти мгновенное спонтанное деление атома высвободило нейтроны, по крайней мере один из которых был поглощен атомом урана-235. 

Этот атом, в свою очередь, распался и высвободил больше нейтронов, которые, в свою очередь, были поглощены еще бóльшим количеством атомов. 

Процесс быстро ускорялся, что привело к экспоненциальной цепной реакции и одновременному высвобождению огромного количества энергии.

экспоненциальный рост позволил бомбе в одно мгновение высвободить энергию, эквивалентную 30 миллионам тротиловых шашек. 

Температура бомбы повысилась до нескольких миллионов градусов – жарче, чем на поверхности Солнца. 

Десятую долю секунды спустя ионизирующее излучение достигло земли, нанеся сокрушительный радиационный урон всему живому, что подверглось его воздействию. 

Еще через секунду над городом взлетел огненный шар 300 метров в диаметре и с температурой в тысячи градусов Цельсия. 

Свидетели говорили, что в тот день солнце над Хиросимой взошло дважды. 

Взрывная волна, двигаясь со скоростью звука, сровняла с землей здания по всему городу. 

По оценкам, в результате взрыва бомбы и последовавших за ним пожаров, которые охватили город, погибло около 70 тысяч человек.

Пророческая сентенция Оппенгеймера сбылась. 

Были ли оправданы бомбардировки Хиросимы и Нагасаки, в контексте завершения Второй мировой войны?

Это и по сей день остается предметом споров.

(«Мирный» атом).

Один килограмм урана-235 может высвободить примерно в три миллиона раз больше энергии, чем получается при сжигании такого же количества угля

Экспоненциальный распад, по прямой аналогии с экспоненциальным ростом, описывает изменение количества, которое происходит со скоростью, пропорциональной его текущему значению. 

Экспоненциальный распад описывает такие разные вещи, как вывод медицинских препаратов из организма и скорость оседания пенной шапки пива.

Нестабильные атомы радиоактивных материалов самопроизвольно испускают энергию в виде излучения даже без внешней инициации. 

Этот процесс называется радиоактивным распадом. 

На уровне отдельного атома процесс распада случаен – квантовая теория полагает, что начало распада конкретного атома предсказать невозможно. 

Но когда речь идет о материале, состоящем из огромного количества атомов, снижение радиоактивности – это предсказуемый экспоненциальный распад. 

Явление экспоненциального распада радиоактивных атомов лежит в основе радиометрического (или радиоизотопного) датирования – метода, используемого для определения возраста материалов по уровню их радиоактивности.

Радиометрическое датирование применяется очень широко – с его помощью оценивают возраст Земли и датируют древние артефакты, такие как свитки Мертвого моря.

В 2017 году при помощи радиоуглеродного датирования выяснилось, что самый дорогой виски в мире – подделка.

А в 2018 году обнаружилось, что более трети протестированных «старинных» сортов шотландских виски также оказались подделками. 

Но, пожалуй, наибольший резонанс вызывает использование радиоизотопного датирования для проверки возраста исторических произведений искусства.

Художник Ван Мегерен заявил, что картина, проданная им  Герингу, была не настоящим произведением Вермеера, а фальшивкой, которую нарисовал он сам. 

Он также признался в изготовлении других псевдо-Вермееров и в фабрикации обнаруженных незадолго до того работ Франса Халса и Питера де Хоха.

К началу суда в 1947 году ван Мегерен был уже провозглашен национальным героем, который не только утер нос спесивым искусствоведам, что некогда издевались над ним, но и обманул одного из высших руководителей нацистов, всучив ему никчемную подделку.

Ван Мегерен исключительно скрупулезно подходил к созданию подделок, используя в основном те же материалы, которые использовал бы Вермеер. 

Но он не мог контролировать технологию производства этих материалов. 

Добиваясь максимального правдоподобия, он писал на подлинных холстах 17 века и смешивал свои краски по старинным рецептам, но свинец, содержавшийся в его свинцовых белилах, был извлечен из руды совсем недавно. 

Природный свинец содержит радиоактивный изотоп свинца-210 и его материнский радиоактивный материал (при распаде которого и образуется свинец) радий-226. 

При получении свинца из руды бóльшая часть радия-226 удаляется, в обогащенной руде остаются лишь мизерные его количества, а значит, в ней появится совсем немного новых изотопов свинца-210. 

Сравнивая концентрацию свинца-210 и радия-226 в пробах, можно точно датировать свинцовую краску, используя тот факт, что период полураспада свинца-210 известен, а сам процесс происходит по экспоненте.

В картине «Христос в Эммаусе» было обнаружено гораздо больше свинца-210, чем было бы, если бы его действительно написали на 300 лет раньше. 

Это установило наверняка: подделки ван Мегерена не могли быть написаны Вермеером в 17 веке, поскольку свинец, содержавшийся в красках ван Мегерена, еще не был добыт.

Вирусный маркетинг – это феномен, при котором рекламные цели достигаются с помощью самовоспроизводящегося процесса, схожего с процессом распространения вирусного заболевания.

Вирусный маркетинг – это субдисциплина области, известной как меметика, в которой «мем» – стиль, поведение или, что очень важно, идея – распространяется между людьми через социальную сеть, так же, как и вирус. 

Термин «мем» предложил в 1976 году Ричард Докинс в книге «Эгоистичный ген», чтобы объяснить, как распространяется культурная информация. 

Он определил мемы как единицы культурной информации (или передачи). 

Примером одной из самых успешных и, вероятно, по-настоящему органичных вирусных маркетинговых кампаний стало публичное обливание ледяной водой.

Объединение испытания с благотворительностью, помимо дополнительного давления на «осаленных» участников, давало и плюшки в виде повышения самооценки, привлечения внимания общественности к проблеме и публичной демонстрации собственного альтруизма. 

Этот фактор нарциссизма обеспечил мему повышенную заразность. 

К началу сентября 2014 года ассоциация ALS (ассоциация амиотрофического бокового склероза) сообщила о получении свыше ста миллионов долларов дополнительных взносов от более чем трех миллионов жертвователей. 

Привлеченное во время кампании финансирование позволило исследователям обнаружить третий ген, ответственный за это заболевание, что свидетельствует о мощнейшем воздействии вирусной кампании на общество.

Задавленная иммунитетом безразличия, каждая новая вспышка этого вируса вскоре сходила на нет, так как каждому новому участнику, в среднем, не удавалось передать его по крайней мере еще одному энтузиасту.

Экспоненциально ли будущее?

Некоторые теоретики полагают, что темпы технологического прогресса сами по себе растут по экспоненте.

В 1999 году Курцвейл выдвинул гипотезу о законе ускоряющейся отдачи. 

Он предположил, что эволюция широкого спектра систем – включая нашу собственную биологическую эволюцию – происходит по экспоненте. 

Он даже осмелился приурочить дату наступления «технологической сингулярности»

примерно к 2045 году.

Среди последствий сингулярности Курцвейл называет «слияние биологического и небиологического интеллекта, появление бессмертных людей на программном обеспечении и кибернетических устройствах, а также формирование интеллекта сверхвысокого уровня, способного проницать Вселенную со скоростью света». 

Расхожий пример экспоненциального роста технологий – закон Мура, утверждающий, что количество компонентов в компьютерных микросхемах удваивается каждые два года. 

В период между 1970 и 2016 годами он исполнялся на удивление стабильно. 

Закон Мура воплотился в дальнейшем ускорении развития цифровых технологий, что, в свою очередь, внесло существенный вклад в экономический рост на стыке тысячелетий.

И, технология секвенирования совершенствовалась по экспоненте. 

Чума, в период между 1347 и 1351 годами «черная смерть» или «черный мор» – пандемия бубонной чумы, одна из самых разрушительных пандемий в истории человечества, уничтожила 60 % ее населения.

В результате общая численность человечества сократилась примерно до 370 миллионов человек. 

С тех пор население мира росло постоянно, без спадов. 

К 1800 году количество людей достигло почти миллиарда.

Простейшая математическая модель, позволяющая отразить последствия внутри– или межвидовой конкуренции за ограниченные ресурсы, называется моделью логистического роста.

логистический рост поначалу выглядит экспоненциальным, поскольку население свободно растет пропорционально своим текущим размерам, без ограничений условиями окружающей среды. 

Однако по мере роста населения нехватка ресурсов приближает уровень смертности к уровню рождаемости. 

Чистый прирост населения в итоге сводится к нулю.

(рис. 3 логистический рост)

Сначала кривая логистического роста увеличивается почти по экспоненте, но затем, по мере истощения ресурсов, рост замедляется, а население приближается к предельному размеру «К».

В популяциях бактерий происходит логистический рост. 

Последующие исследования подтвердили, что логистическая модель прекрасно описывает поведение популяции в новой среде на таких разнообразных примерах, как овцы, тюлени и журавли.

Человек же оказался способен постоянно увеличивать пределы своей популяции благодаря множеству факторов, в числе которых – промышленная революция, механизация сельского хозяйства и Зеленая революция.

Зеленой революцией называют Третью сельскохозяйственную революцию – комплекс изменений в сельском хозяйстве развивающихся стран в 1940–1970 годах, который привел к значительному увеличению мировой сельскохозяйственной продукции.

воспринимаемое время, похоже, действительно бежит тем быстрее, чем старше мы становимся, а в нас крепнет убеждение, что времени нам постоянно не хватает. 

В эксперименте, группу молодых (19–24 лет) и пожилых людей (60–80 лет) попросили сосчитать три минуты в уме. 

Чувство времени в группе молодежи оказалось почти идеальным – в среднем подсчет занял три минуты и три секунды реального времени, а вот старшая группа в среднем вела подсчет ошеломляющие три минуты сорок секунд.

Пожилые участники постоянно считали, что времени прошло меньше, чем молодые.

Вообще феномену возрастного ощущения ускорения времени есть несколько конкурирующих объяснений. 

Одна из теорий связана с тем, что по мере старения человека его метаболизм замедляется, соответствуя замедлению сердцебиения и дыхания.

Альтернативная теория предполагает, что наше восприятие хода времени зависит от объема новой информации, которую мы воспринимаем из окружающего мира. 

Чем больше новых впечатлений, тем больше времени требуется мозгу для обработки информации.

 Соответствующий период кажется, по крайней мере в ретроспективе, более продолжительным. 

Этот аргумент можно использовать для объяснения «кинематографического» восприятия событий, разыгрывающихся, словно в замедленной съемке, в моменты, непосредственно предшествующие тем же дорожным авариям. 

Ситуация для жертвы ДТП в этих сценариях незнакома настолько, что объем новой воспринимаемой информации огромен. 

Дело может быть в том, что в такой момент замедляется не само время, а наше ретроспективное воспоминание о событиях, так как наш мозг записывает более подробные воспоминания, основываясь на обрабатываемом потоке данных. 

Эта теория хорошо вяжется с ускорением воспринимаемого времени. 

С возрастом мы все лучше узнаем окружающую нас среду и накапливаем определенный жизненный опыт. 

Для детей все иначе. 

Их миры – это удивительные места, богатые незнакомыми впечатлениями. 

Маленькие дети постоянно перестраивают свои модели окружающего мира, что требует умственных усилий и, кажется, заставляет стрелки часов идти медленнее, чем у погрязших в рутине взрослых. 

Эта теория предполагает, что для того, чтобы продлить время, мы должны наполнять нашу жизнь новыми и разнообразными переживаниями, избегая времязатратной рутины повседневной жизни.

Если длительность периода оценивается пропорционально времени уже прожитой жизни, то экспоненциальная модель воспринимаемого времени имеет смысл. 

В 33 года на год приходится 3 % жизни.

В этот период кажется, что новые дни рождения случаются как-то слишком часто. 

Но от десятилетнего, которому следующий набор подарков приходится ждать в течение 10 % своей жизни, требуется почти безграничное терпение. 

Для четырехлетнего мысль о том, что ему придется ждать четверть жизни, пока он снова станет именинником, почти невыносима.

При такой экспоненциальной модели пропорциональное увеличение возраста четырехлетнего ребенка между его днями рождения эквивалентно периоду ожидания 40-летнего до его следующего круглого юбилея, когда ему стукнет 50. 

С этой точки зрения идея, что по мере старения время в нашем восприятии ускоряется, выглядит вполне логичной.

 В экспоненциальной модели периоды от 5 до 10 лет, от 10 до 20, от 20 до 40 и даже от 40 до 80 лет могут показаться одинаково длинными или короткими. 

в рамках этой модели 40-летний период между 40 и 80 годами, охватывающий большую часть среднего возраста и старости, может промелькнуть так же быстро, как и пять лет между вашими пятым и десятым днями рождения.

От взрыва ядерного реактора до взрывного роста народонаселения, от распространения вируса до распространения вирусной маркетинговой кампании экспоненциальный рост и распад могут играть незаметную, но часто решающую роль в жизни обычных людей.

(Глава 2. Чувствительность, специфичность и альтернативные варианты). Давайте рассмотрим такой вопрос:

почему нужна математика в медицине?

Чувствительность и специфичность – парные статистические показатели эффективности диагностического теста по выявлению больных и здоровых. 

исследуем математику, лежащую в основе генетических тестов. 

На примере теста компании 23andMe.

Это частная биотехнологическая компания в США в области индивидуальной геномики.

По мере развития технологий для диагностики нас все чаще оценивают с медицинской точки зрения. 

Давайте изучим удивительное влияние ложноположительных результатов на наиболее распространенные программы медосмотров и разберемся, как тесты могут быть одновременно высокоточными и в то же время очень неточными. 

Есть два основных варианта связанного с болезнью Альцгеймера гена аполипопротеина (APOE), который может обнаружить тест 23andMe. 

Эти варианты называют Е3 и Е4. 

Вариант Е4 связан с повышенным риском позднего Альцгеймера. 

Количество копий хромосом называют вашим генотипом. 

Две копии Е3 – наиболее распространенный вариант генотипа и базовый показатель, по отношению к которому оценивается вероятность болезни Альцгеймера. 

Чем больше копий Е4, тем выше риск ее развития.

Лучший способ разобраться с прогнозируемым риском болезни Альцгеймера – продольное исследование, для которого отбирается огромное количество лиц, представляющих население в целом, устанавливается их генотип, а затем их регулярно проверяют, чтобы узнать, у кого развивается эта болезнь. 

С помощью этих репрезентативных данных можно сравнить риск получить болезнь Альцгеймера для данного генотипа с риском по популяции в целом – так называемым относительным риском.

Обычно, однако, такое масштабное исследование обходится непомерно дорого.

Более распространенным, но менее надежным является метод анализа серии контролируемых случаев. 

Для такого анализа отбираются несколько человек, уже страдающих болезнью Альцгеймера, а также ряд «контрольных случаев» – людей со сходными жизненными обстоятельствами, но не больных. 

эти испытания позволяют точно рассчитать соотношения рисков, которые не требуют знать общую распространенность заболевания среди населения.

на собачьих бегах или скачках, при коэффициенте 2 к 1 можно ожидать, что фаворит в трех забегах выиграет два раза и проиграет один.

В медицинских сценариях все наоборот. 

Шансы обычно выражаются в виде коэффициента «за» – вероятности того, что событие произойдет, относительно вероятности того, что оно не произойдет, 

а поскольку мы обычно говорим о заболеваниях с уровнем распространения среди популяции ниже 50 %, первым обычно называется меньшее число.

(рис 4. Табл. 1)

Несовершенство математического подхода к оценке риска, представляемой в индивидуальных отчетах о личном геноме, заставляет воспринимать эти отчеты с некоторым скепсисом.

самый дешевый, простой в подсчете и, безусловно, низкотехнологичный персональный диагностический инструмент: 

индекс массы тела (ИМТ). 

ИМТ рассчитывается путем деления своей массы в килограммах на квадрат роста в метрах.

Для учета и диагностики любой с ИМТ ниже 18,5 классифицируется как имеющий «недостаточный вес». 

В диапазон «нормального веса» входит ИМТ от 18,5 до 24,5, 

а «избыточного веса» – от 24,5 до 30. 

«Ожирение» определяется при ИМТ выше 30. 

Ожирение может быть причиной примерно четверти всех смертей.

В Европе ожирение как причина преждевременной смертности уступает только курению.

Сегодня в мире больше людей умирает от избыточного веса, чем от недостатка в весе.

В 1980-х годах Всемирная организация здравоохранения, Национальная служба здравоохранения Великобритании и Национальные институты здравоохранения США официально приняли индекс ИМТ как единственный показатель степени ожирения для всех людей. 

Страховые компании используют ИМТ для определения размера страховых взносов и даже для решения, будут ли они страховать человека вообще.

Основная проблема с ИМТ: он не может отличить мышцы от жира.

Это важно, потому что избыток телесного жира является хорошим предсказателем кардиометаболического риска. 

А вот индекс массы тела – нет. 

Если бы определение ожирения основывалось на высоком процентном содержании телесного жира, то от 15 до 35 % мужчин, которых ИМТ не относит к группе страдающих от ожирения, были бы классифицированы как в пациенты с ожирением.

 Так, «толстые худышки», “скинни фэт” – люди с небольшой мышечной массой, но высоким уровнем телесного жира – имеют, соответственно, нормальный индекс массы тела. 

Но при этом они попадают в «невидимую» для ИМТ категорию людей «нормального веса с ожирением».

ИМТ, определяя ожирение, ошибается в обе стороны. 

до половины людей, которые по индексу массы тела попадают в группу с избыточным весом, и более четверти людей, страдающих, согласно показателю ИМТ, от ожирения, на деле здоровы с точки зрения метаболизма.

А, зачисление здоровых людей в категорию страдающих от избыточного веса или ожирения может пагубно отразиться на их психике.

Очевидно, что индекс массы тела не является точным индикатором состояния здоровья ни на одном из концов шкалы. 

Вместо этого было бы полезно знать процентное содержания жира в организме, которое самым тесным образом связано с кардиометаболическими последствиями для здоровья. 

принцип Архимеда используется при точном подсчете процентного содержания жира в организме. 

Человек сначала взвешивается в нормальных условиях, а затем – полностью погруженным в воду, на стуле, прикрепленном к набору весов. 

Разницу в весе на воздухе и под водой можно использовать для подсчета выталкивающей силы, действующей на человека под водой, что, в свою очередь, позволяет определить объем погруженного в воду тела, учитывая, что плотность воды известна. 

Затем на основе полученного значения общего объема тела с учетом данных о плотности жировых и нежировых тканей человеческого организма определяется процентное содержание жира в организме, что в итоге обеспечивает основу для более точной оценки рисков для здоровья.

математика применяется и в больницах для спасения жизней.

Ложные тревоги – это подкатегория ошибок, известных как ложные срабатывания (а также ложноположительные результаты).

В контексте медицинских тестов ложноположительные результаты приводят к тому, что здоровым людям говорят, что они больны. 

В зале суда ложноположительным результатом является обвинительное заключение, выносимое невиновному за преступление, которое он не совершал. 

(Табл. 2. Четыре возможных исхода бинарного теста)

Возьмем, к примеру, скрининг болезней. 

Скрининг – это массовое тестирование на конкретное заболевание людей, у которых нет симптомов, но принадлежащих к группе высокого риска. 

Так женщины старше 50 лет регулярно проходят обследование молочных желез, так как подвержены повышенному риску развития рака молочной железы. 

И случаи ложноположительных результатов в программах медицинского скрининга сегодня стали предметом бурных дискуссий.

Фактически рак молочной железы диагностируется у каждой восьмой женщины в течение ее жизни.

Например, в Великобритании примерно каждой десятой из этих женщин диагноз ставится с опозданием (на третьей или четвертой стадии). 

Поздний диагноз значительно снижает шансы на выживание в долгосрочной перспективе. 

Из 10 000 женщин старше 50 лет, прошедших тестирование, 36 будут верно определены как положительные, а почти тысяча, 996 – как положительные, несмотря на отсутствие заболевания.

Действительно, в случае развившегося рака, обследование обнаружит недуг девять раз из десяти. Примерно с такой же точностью обследование верно обнаружит отсутствие рака.

Из 1032 женщин, получивших положительный результат, только 36 действительно больны раком груди. 

Иными словами, даже при положительном результате маммографии в подавляющем большинстве случаев рака груди нет. 

Несмотря на то что тест кажется достаточно точным, низкая распространенность заболевания среди населения предопределяет высокую степень его погрешности.

Иными словами, требуется всего семь маммограмм, прежде чем вероятность получить ложноположительный результат превысит вероятность его не получить. 

Поскольку женщины после 50 лет проходят маммографии каждые три года, каждая из них скорее всего получит хотя бы один ложноположительный результат в течение своей жизни.

(Иллюзия достоверности).

Скрининг, в частности, может привести к феномену гипердиагностики. 

Хотя скрининг молочной железы выявляет больше раковых заболеваний, многие из них настолько малы или развиваются так медленно, что никогда не превратятся в реальную угрозу для здоровья женщины; 

останься они незамеченными, они не вызвали бы никаких проблем.

Процесс скрининга чем-то напоминает поиск работы.

Первоначальное заявление о приеме на работу позволяет работодателю эффективно составить шорт-лист кандидатов на собеседование по нескольким ключевым характеристикам. 

Так и скрининги предназначены для широкого, неселективного охвата населения с целью выявить людей, у которых еще не проявились симптомы. 

после выявления при помощи скрининга среди населения потенциальных жертв болезней, можно проводить уже более дорогостоящие, но более точные диагностические обследования для подтверждения или отклонения первоначальных результатов скрининга. 

Вы же не считаете, что приглашение на собеседование с потенциальным работодателем означает автоматическое получение работы. 

Точно так же вы не должны предполагать, что у вас есть болезнь, только на основании положительного результата скрининга. 

Когда распространенность заболевания низка, скрининг даст гораздо больше ложноположительных результатов, чем истинных.

Проблемы, вызванные ложноположительными результатами медицинских скринингов, связаны с некритичным отношением к точности медицинских обследований. 

Это явление часто называют иллюзией достоверности. 

Мы настолько отчаянно нуждаемся в окончательном ответе, особенно в медицинских вопросах, что забываем относиться к полученным результатам с должным скептицизмом.

(Рис. 7-8). 

Нравится нам это или нет, но ложноположительные и ложноотрицательные результаты неизбежны. 

Математика и современные технологии могут помочь решить некоторые из этих проблем, предоставляя нам самые современные методы вроде той же фильтрации сигналов, но другие проблемы мы должны научиться решать сами. 

Нам необходимо помнить, что профилактические скрининги – не диагностические обследования, и к их результатам надо относиться с известной долей сомнения. 

Прежде чем начать паниковать по поводу результатов единственного теста, выясните его чувствительность и специфичность, а также подсчитайте вероятность погрешности.

Оспорьте мнимую достоверность и верните себе право на интерпретацию.

Окончание в следующем видео.