Тестик. Наивный Теорвер.

Коллеги, на столе лежит раскрытая толстая книга. Раскрытые страницы -вверх, так что легко читать. Размер страницы 10 на 10 см.
Ровно в центре, ну пусть 108-й страницы, расположен миниробот, который ходит по модели случайного блуждания, только в 4-х направлениях: вверх, вниз, вправо, влево. Ровно на 1 см. Т.е. в начальный момент он в 5 см от каждого края страницы. Движется дискретно: 1 сек- 1 ход на 1 см в одном из 4-х направлений. На каждом шагу вероятности его движения в любом из 4-х направлений =25%.

Переступание через край страницы-конец игры. Т.е., если робот сделает сразу 5 шагов вверх-он еще в игре, хоть и на краю. Если 6-игра окончилась.

Вот он начал двигаться. С какой вероятностью он хоть раз окажется на 107-й странице? (пересечением страницы считается переход через край) до того, как окончательно свалится.

Большая просьба, особенно к А.Г.))), не писать сразу решение)))

Тестик Теорвер опрос

Kapral

Москва

582

32 803

с 1 октября 2016

65 Комментариев

Scorpio
03 января 2017, 16:49
ходит по модели случайного блуждания, только в 4-х направлениях: вверх, вниз, вправо, влево.

На каждом шагу вероятности его движения в любом из 4-х направлений =25%.

Вот он начал двигаться. С какой вероятностью он хоть раз окажется на 107-й странице?

Если считать, что вверх и вниз ход в никуда, а влево и вправо, это перелистывание страницы, то 25%, при условии, что генератор случайных чисел действительно выдаёт варианты 1 к 4.
+2
AlexVestor
03 января 2017, 16:58
10/108 ответил т.к. другие вприанты не подходят, а считать лень:-)
+1
Antonov
03 января 2017, 17:18
Думаю, что (1/4)6=0,000244140625~0,024%
+1
baron_samedi
03 января 2017, 17:23
в центре священной торы находится маленький бюстик наполеона, которого Чайковский попихивает смычочком, примерно 1 раз за 25 милли секунд, а Будда попеременно раскачивает влево-вправо.
Так вот, что надо определить и рассчитать я забыл, но условие этой задачи не чище предложенной, если Вы попробуете это вообразить.

+2
Сергей Майоров
03 января 2017, 17:27
20%
+1
- Scorpio
  03 января 2017, 17:35
  Сергей Майоров, 5 вариант — будет гулять в пределах страницы?
  +1
Versum
03 января 2017, 17:51
Есть несколько замечаний.
1. Изложение условий несколько коряво. Я например не уверен, открыты 107 и 108 страница или как то иначе? Нахождение на краю 107 страницы считается ее посещением?

2. Могут быть бесконечные блуждания внутри 108 страницы, с вероятностью стремящейся к нулю на бесконечном времени.

Ну а если я понял все правильно (а я не уверен), то из соображений симметрии ответ 1/4-0.
+1
FZF
03 января 2017, 17:57
При таких раскладах, пересечение любой из 4-х границ листа равновероятно. А желательная сторона выхода только одна из 4. соответственно 1/4=25%.
Так как сумма вероятностей равна 1, то изменив задачу, например, меняя желаемую сторону пересечения, мы не должны получать разные результаты вычислений. Верх=низ=право= лево. верх+низ+право+лево=1. При условии, что время игры не ограничено.
+2
Бобровский Дмитрий
03 января 2017, 18:55
Что-то мне внутренний голос говорит, что нужно применить задачу о разорении игрока, только слегка обобщив её на 2D случай. Т.е. рассматриваем произведение сигма-алгебр на 2-х копиях вероятностного пространства классической схемы Бернулли. Дальше же надо переиначить формулировку о «разорении» игрока, утверждая, что необходимо определить вероятность как бы «разорения одного игрока в первой партии» при «неразорении игрока во второй партии» к моменту «разорения игрока в первой партии» (тут говоря на пальцах имеем 2 партии в монетку игроков А1, B1 и A2,B2).
Как-то так. Но сейчас лень считать. Если не забуду и не заломает считать, то дома посчитаю, выложу ответ. Необходимый фундамент можно почитать тут: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B8_%D0%B8%D0%B3%D1%80%D0%BE%D0%BA%D0%B0
+1
Roman Ivanov
03 января 2017, 19:03
Задача на принцип симметрии? Тервера тут почти немаэ.
+2
- Бобровский Дмитрий
  03 января 2017, 19:13
  ivanovr, просто тут наблюдаем более частный случай. Если, допустим, робот у нас кособокий (т.е. вероятности движения не равны), то симметрия Вам тут мало поможет. Плюс что-то мне подсказывает, что вероятность совсем не 1/4 будет (ну, ещё за вычетом вероятности находясь на углу страницы свалиться вниз, а не перейти на 107-ю). Просто решение надо искать общее, думаю, — в этом и есть смысл задач Kapral'а.
  +1
  - Roman Ivanov
    03 января 2017, 19:18
    Бобровский Дмитрий, если бы общее, то в условии задачи был бы не квадрат или стартовая точка была бы не в центре.
    0
    - Бобровский Дмитрий
      03 января 2017, 19:30
      ivanovr, в точку. Да, максимально общее решение было бы найти интересно.
      0
Antonov
03 января 2017, 19:49
Хрен знает, если пытаться решить задачу графически-геометрически, как Нэш в «Играх разума» что-то корябал на стекле, а не алгебраически, то получается, что 11/(11*11+11*3)=11/154~0,071=7,1%
+1
finstrateg
03 января 2017, 20:00
Условия изложены абсолютно непонятно — вроде как открыт разворот книги и робот может гулять с одной страницы на другую, но может ли он перейти на другой разворот (перелистнуть страницу) — не ясно?
Если не может перейти на другой разворот (падает с любого края разворота), то получается абсолютная симметрия — 1/4, если может перейти на 109 страницу (падает только сверху и снизу), то это уже другая задача — наверное надо посчитать условную вероятность сваливания при условии что он пересекал границу разворота )))

в общем это либо 1/4 (если переходить на другой разворот нельзя), либо (если можно переходить на другой разворот) правильного варианта в ответах нет, так как тогда будет больше 1/4, а такого варианта нет )))
0
finstrateg
03 января 2017, 21:06
1/4 — если не может переходить на 109 страницу и
1/4+1/16+1/64+1/256+...=(1/4)/(1-1/4)=1/3 — если может переходить на 109 страницу и далее по страницам книги
+1
croc
03 января 2017, 22:30
1/4 в 6 степени = 1/4096 = 0.0244% — это вероятность того что он за 6 ходов дойдет куда надо.
Но раз мы никак не ограничены в числе ходов, то наверно все-таки 1/4 (т.е. рано или поздно он куда-то дойдет и это будет один из 4-х краев)
+2
Antonov
03 января 2017, 22:38
Или даже 11/165~0,067=6,7%
+1
wrmngr
03 января 2017, 23:13
Более интересна вероятность того, что он никогда не покинет пределы страницы 108
+1
- Борис Гудылин
  03 января 2017, 23:24
  wrmngr, 0.
  +3
  - wrmngr
    03 января 2017, 23:33
    Борис Гудылин, ну вот) осталось единицу поделить на 4, ведь направления равнозначны
    +1
    - Борис Гудылин
      03 января 2017, 23:53
      wrmngr, это разные задачи.
      +1
      - wrmngr
        04 января 2017, 00:34
        Борис Гудылин, можно пояснить?
        А если переформулировать задачу в классическом антураже? Возьмем колбу с квадратным сечением, нальем туда жидкость до половины. По центру расположим ту самую броуновскую частицу. На одной из четырех граней колбы напишем 107. Со временем частица неизбежно столкнется с одной из граней. Какова вероятность, что это будет грань с надписью 107?
        +1
        Тирпиц. Das Boot.
        04 января 2017, 00:43
        wrmngr, будет ли движение частицы оставлять возмущение в жидкости? Так как наличие возмущения будет влиять на дальнейшее движение
        
        0
        wrmngr
        04 января 2017, 10:02
        Лыцарь печального образа., будем считать что броуновская частица не оказывает возмущения на жидкую среду. Хотя это не важно по-моему
        0
Тирпиц. Das Boot.
04 января 2017, 00:22
У нас получается совмещение двух задач. Вероятность того что робот упадет в три стороны против вероятности того что он пойдет в четвертую и перейдет на 107 страницу.
Так как рассстояния равны, и направление хода робота произвольно, то формально вероятность того что мы достигнем 107 страницы — 1/4.
Какова же вероятность что наш робот упадет на 5й ход?
это 5 раз движение с вероятностью 1/4 в одну сторону.
1/4096

но так как 4096 это больше чем час (1 ход в секунду) то у нас есть шанс по закрытию часовой свечи определить новую вероятность, если он еще не упадет к тому моменту

+1
Antonov
04 января 2017, 01:15
Да, задача оказалась непростой, как кажется на первый взгляд. Если робот пойдет прямо вбок на 6 ходов на страницу 107, то вероятность наступления только одного такого события равна (1/4)6~0,00024=0,024%.
Двигаясь только по кратчайшим путям он окажется во всех возможных 11 точках на странице 107 с вероятностью (1/4)11+(1/4)10+(1/4)9+(1/4)8+(1/4)7+(1/4)6+(1/4)7+(1/4)8+(1/4)9+(1/4)10+(1/4)11=0,000 00024+0,000 00095+0,00 00038+0,00 0015+0,00 0061+0,00024+...+...+...+...+...
Плюс к этому надо приплюсовать еще туеву хучу событий, если робот придет в какую-нибудь из 11 точек на странице 107 другими окольными путями.
+1
- Тирпиц. Das Boot.
  04 января 2017, 01:24
  Antonovka, но с такими же вероятностями он окажется на 11 точках любой их трех других сторон…
  +1
  - Antonov
    04 января 2017, 01:33
    Лыцарь печального образа., и что это меняет? В любом случае вероятность 1/4 — это неверный ответ, так как не учтено, что робот будет долго блуждать по самой странице.
    +1
    - Тирпиц. Das Boot.
      04 января 2017, 01:41
      Antonovka, 0_о?
      А у нас ограничение по времени что-ли введено? Какая разница сколько он будет блуждать.
      Грубо говоря, если у нас 4ре таких книги с роботами, то с вероятностью близкой к 100% на 107 страницу перейдет только робот на одной из них, остальные свалятся.
      Значит вероятность перехода на 107 страницу около 1/4
      
      А так пусть хоть ублуждаются.
      +1
    - Тирпиц. Das Boot.
      04 января 2017, 01:43
      Antonovka, вот если бы вопрос был поставлен — какова вероятность что за первый час блужданий он перейдт на 107 страницу, а не свалится — конечно нужно было бы учитывать промежуточные вероятности. Т.к. у нас была бы не конечная система вероятностей, а искусственно ограниченная, и было бы кроме 4х исходов (3 падения и 1 переход на 107 страницу) еще и 5й исход «я еще блуждаю».
      
      Потому и написал выше, что есть вероятность того что через час он еще не свалится, и тогда по закрытию часа можно будет пересчитать вероятности
      +1
MS
04 января 2017, 17:18
1/4.
Можно понять на более простой модели, когда только два направления: вверх или вниз. По ЗБЧ при допустимом бесконечном числе ходов с ростом числа ходов в конкретном испытании вероятность после них оказаться вне малой окрестности исходной точки стремится к нулю.
И одновременно растут вероятности сколь угодно больших промежуточных выбросов в любую сторону.
Поэтому какие конечные планки, одинаково отстоящие от исходного пункта, ни ставь, с вероятностью 1 при бесконечном допустимом числе ходов одна из них будет достигнута. Вероятность достижения любой — 1/2.
В нашей задаче направлений 4 и можно рассматривать её как двумерный случай предыдущей с двумя независимыми перпендикулярными направлениями случайного блуждания.
Для каждой из 4-х равноотстоящих от начала планок вероятность её достижения вне зависимости от удалённости равна 1/2 * 1/2 = 1/4.
+1
Ivor
07 января 2017, 18:33
0.25*0.25*0.25*0.25*0.25*0.25 = 0,000244140625 * 100 = 0,0244%
Это вероятность того, что начавший двигаться робот упадет в любую из 4х сторон сразу за 6 ходов.
Я так понимаю, что если нужно упасть конкретно на 107 стр. то соответственно эту вероятность надо поделить на 4. Получится 0,00061% — это вероятность того, что он уйдет влево на 107 стр. сразу за 6 ходов.
Т.е. из 10 тыс. таких попыток, в среднем он уйдет на 107 стр. сразу (6 ходов подряд на 107ю стр.) примерно чуть больше 6-ти раз. (0,00061*10000 = 6,1)

Если же количество ходов не имеет значения, то просто тупо 25%.
+1
- MS
  07 января 2017, 19:25
  Ivor, на 4 делить не нужно.
  «упадет в любую из 4х сторон сразу за 6 ходов.» должно звучать, как «упадет в одну из 4х сторон (выбранную) сразу за 6 ходов. »
  
  Например, для 107-й страницы существует единственная комбинация из 6-ти ходов: влево-влево-влево-влево-влево-влево. Всего вариантов последовательностей ходов 4^6.
  +1
  - Ivor
    07 января 2017, 19:29
    MS,
    упадет на конкретную сторону за 6 ходов - 0,00061%
    упадет на любую из 4х сторон за 6 ходов - 0,0244%
    упадет на любую сторону — 25%
    упадет — 100%
    
    не понимаю откуда взялись вероятности в 0%.
    
    +1
    - MS
      07 января 2017, 21:12
      Ivor, у Вас путаница. Поэтому нужно быть точным в определениях, чтобы слова означали то же, что и у других.
      1) вероятность «упадет на конкретную сторону за 6 ходов» = 1/(4^6) = 1/4096 = 0,0244%
      2) вероятность «упадет на любую из 4х сторон за 6 ходов» =
      4/(4^6) = 4/4096 = 0,0977%
      3) Утверждение «упадет — 100%». Это верно при бесконечном допустимом числе ходов и не верно при конечном.
      Люди выше вели речь о том, что при любом конечном числе ходов N вероятность остаться внутри любой С-окрестности исходной точки не выше С/N. Это 'закон больших чисел'.
      Т.е. когда N идёт к бесконечности вероятность эта идёт к нулю.
      Коротко говорят, что вероятность остаться в любой конечной области при бесконечном числе ходов есть 0.
      0
flextrader
07 января 2017, 21:00
афтар, я не глядя +нул, надо будет почитать)))
+1