Механизм работы дельта-хеджирования для новичков

Есть мнение, чтобы хорошо что-то освоить, нужно кого-нибудь этому научить. В целях самообразования и, возможно, ради чьей-нибудь пользы, попробуем разобраться, что же такое дельта-хеджирование. Эта статья основана на двух предыдущих, в которых освещались основы языка R и объяснялось, что такое паритет опционов.

Откуда берется дельта?

Давайте представим, что у нас есть следующая позиция:

• П — портфель или портфолио, кому как больше нравится
• V — стоимость опциона
• ΔS — стоимость базового актива

т.е. наш портфель это купленный опцион, не важно какой, и проданный актив в количестве Δ штук. Но такая статическая формула к сожалению в реальном мире не всегда работает, по-этому нам нужно преобразовать её в динамическую. Уравнения, которые описывают динамику процесса называются дифференциальными и пусть они никого не пугают, в финансах их не много и они не такие сложные как в термодинамике. Итак, запишем формулу нашего портфеля в дифференциальном виде:




Здесь важно отметить, что дельта не изменяется. И это логично, т.к. она вычисляется на основе изменений.

Для описания изменения цены опциона применяют ряды Тейлора и Лемму Ито, об этом лучше почитать самостоятельно, там много интересного, но пропуская все подробности, просто вспомним формулу:



Подставляя эту формулу в уравнение нашего портфеля, мы получаем:




Если исходить из того, что рынок случаен, зададим вопрос: какие члены данного уравнения могут отвечать за случайность? Присмотревшись, можно заметить, что это все члены, где есть dS. Т.е. если взять их и приравнять к нулю, то случайность нашего портфеля будет сведена к мнимому:




Сокращая dS и, поменяв члены местами, мы получаем следующее уравнение дельты:





Т.е. если продавать именно столько актива с покупкой опциона, мы практически избавляемся от случайности в нашем портфеле. Она не исключается, но она будет минимальна.


Мэтры конечно могут возразить и указать, что здесь есть еще Гамма, но пока не будем об этом ;)

Дельта для разных типов опционов

И как же нам применить выведенную выше формулу? Для этого нужно решить дифференциальные уравнения и вывести уравнения для опционов Call и Put. Не пугайтесь, решение приводить не буду, оно довольно громоздкое, но в результате получаются следующие формулы ценообразования опционов:

• N(x) — функция нормального распределения
• K — страйк
• d1, d2 — составляющие формулы БШ, мы их уже использовали ранее

Теперь, используя подход выше для вывода дельты, представим, что мы купили Call и продали Δ базового актива, это можно записать формулой:




Подставляем формулу для Call опциона, получаем:





Как и раньше, можно заметить, что случайность этого портфеля определяется двумя членами, где присутствует S, вынесем их и приравняем к нулю:





Сократим S и поменяем члены местами, в итоге получим формулу дельты для Call опциона:




Таким образом, используя две базовые формулы для Call и Put, и формулу портфеля, можно выводить дельту для сколь угодно сложных конструкций, будь то «стрэдл» или «железный кондор», на одном или на нескольких страйках. Формула дельты может быть простой, может быть гигантской, но главное, что стоит помнить: дельта для каждой конструкции всегда своя.

Симуляция хеджирования

Для симуляции хеджирования, используем генерацию случайного поведения базового актива из предыдущей статьи. Суть нашей модели в следующем:

• вычисляем стоимость опциона Call на первом шаге (для этого есть все параметры, волатильность, время, страйк)
• вычисляем дельту опциона Call
• покупаем опцион и шортим дельта БА
• на каждом следующем шаге, вычисляем новую дельту и докупаем или продаем еще БА, в зависимости от разности дельты с предыдущей.

Ссылка на код на языке R, будет представлена ниже. 


На выходе получаются такие графики: 



Мне стало интересно, а что будет если применить эту же стратегию к покупке Put и продаже Call, Put. Добавив немного кода, получаются такие графики (покупка Call, покупка Put, продажа Call, продажа Put):





Код для самостоятельных экспериментов можно взять тут: github.com/dmitryy/finance/blob/master/RScripts/delta-hedge-simulation.R

Выводы

Любопытно, но сделав немного экспериментов, я заметил, что покупка Call и продажа Put почти всегда имеют отрицательный результат, независимо от того вырос БА или упал. И напротив, продажа Call и покупка Put гораздо чаще имеют положительный результат. Возможно у меня где-то ошибка, ведь в обоих случаях результат должен стремиться к нулю. И, конечно, стоит помнить, что здесь не включены комиссии, добавив которые, результат почти всегда будет отрицательным. Это наводит на другую мысль, а где, собственно говоря, тут прибыль?

Update. Добавил выводы о прибыли, отдельной статьей. https://smart-lab.ru/blog/545345.php