Блог им. AVBacherov

Оценка бессрочных облигаций, и как это может помочь при оценке вечного фьючерса на USDRUB

Обратил внимание, что многие не знают, как правильно оценить вечную облигацию. Однако, ее оценка существенно проще, чем оценка обычных облигаций. Давайте разберемся, как можно оценить бессрочную облигацию.

Как мы знаем внутреннюю (приведенную стоимость) облигации можно оценить с помощью следующей формулы потока платежей:

Оценка бессрочных облигаций, и как это может помочь при оценке вечного фьючерса на USDRUB

Где:
CFn – купоны
NOMINAL – сумма, которую получит инвестор при погашении облигации
i – ставка доходности
n – год получения купона
N – последний год
PV – приведенная стоимость облигации

В бессрочной облигации нет погашения номинала – NOMINAL, и количество платежей бесконечно, тогда формула принимает вид:

Оценка бессрочных облигаций, и как это может помочь при оценке вечного фьючерса на USDRUB

Для простоты предположим, что мы имеем дело с бессрочной облигацией с постоянным купоном. Тогда CFn=CF, а формула примет вид:

Оценка бессрочных облигаций, и как это может помочь при оценке вечного фьючерса на USDRUB

Теперь сделаем несколько преобразований:

1. Для начала умножим обе части на (1+i) и получим:

Оценка бессрочных облигаций, и как это может помочь при оценке вечного фьючерса на USDRUB
2. Вычтем из первого выражения второе:
Оценка бессрочных облигаций, и как это может помочь при оценке вечного фьючерса на USDRUB
Оценка бессрочных облигаций, и как это может помочь при оценке вечного фьючерса на USDRUB
Оценка бессрочных облигаций, и как это может помочь при оценке вечного фьючерса на USDRUB

3. Так как:
Оценка бессрочных облигаций, и как это может помочь при оценке вечного фьючерса на USDRUB

Получаем:

Оценка бессрочных облигаций, и как это может помочь при оценке вечного фьючерса на USDRUB

Смотря на эту формулу, получается интересный вывод: i – для бессрочной облигации одновременно является текущей доходностью и «доходностью к погашению» (термин – который используется в облигациях). Иными словами, используя ее мы можем либо найти приведенную стоимость облигации, либо определить то, что называют «доходность к погашению», хотя формально это облигация никогда погашена не будет.

Те, кто знает, как правильно инвестировать в облигации, представляют, что кроме доходности к погашению, хорошо бы посчитать еще три показателя: дюрацию Маколея, модифицированную дюрацию и выпуклость(кривизну).

Здесь я выводы приводить не буду, а просто дам готовые формулы.

Дюрация Маколея будет:
Оценка бессрочных облигаций, и как это может помочь при оценке вечного фьючерса на USDRUB

Модифицированная дюрация:
Оценка бессрочных облигаций, и как это может помочь при оценке вечного фьючерса на USDRUB

Выпуклость (кривизна):
Оценка бессрочных облигаций, и как это может помочь при оценке вечного фьючерса на USDRUB

Давайте разберем пример. Пусть у нас есть бессрочная облигация с «доходностью к погашению» в 8.92%. Необходимо рассчитать, как измениться ее цена если процентные ставки параллельно пойдут вниз на 2 процентных пункта. И через сколько лет поток мы получим эффект иммунизации?

Модифицированная дюрация для такой облигации будет:
Оценка бессрочных облигаций, и как это может помочь при оценке вечного фьючерса на USDRUB

Выпуклость:
Оценка бессрочных облигаций, и как это может помочь при оценке вечного фьючерса на USDRUB


Считаем изменение цены облигации:
Оценка бессрочных облигаций, и как это может помочь при оценке вечного фьючерса на USDRUB

Таким образом цена облигации вырастет на 27.4%.

Эффект иммунизации проявится через 12.2 года:
Оценка бессрочных облигаций, и как это может помочь при оценке вечного фьючерса на USDRUB


Зная принципы расчетов параметров бессрочных облигаций, можно не только эффективно инвестировать в них, управлять дюрацией портфеля, но также рассчитывать, например, теоретическую стоимость фьючерсов.

Недавно московская биржа запустила торговлю вечным фьючерсом на валюту, и одним из вопросов, который стоит перед инвесторами, какая же должна быть теоретическая стоимость фьючерса. Напомню, что теоретическая цена простого контракта рассчитывается по формуле:

Оценка бессрочных облигаций, и как это может помочь при оценке вечного фьючерса на USDRUB

Где:
F – фьючерсная цена
S – спот цена на рынке
i – безрисковая ставка
t – количество дней до исполнения фьючерса
T – база дней в году 360/365

Но контракт USDRUBF не истекает – он все время лонгируется, что делает его бесконечным.

Давайте посмотрим на это с другой стороны.

Так на конец 9 июня 2022 стоимость бессрочного контракта USDRUBF была 64,33, в то время как спот цена доллара на рынке составила 59,25 рублей. Это значит, что цена фьючерса была на 8,57% выше. Используем формулу дюрации Маколея для бесрочных облигаций и для этой ставки:
Оценка бессрочных облигаций, и как это может помочь при оценке вечного фьючерса на USDRUB

Теперь сравним этот результат с теми доходностями, которые мы видели на ОФЗ 9 июня 2022, для чего построим кривую доходности ОФЗ. Уравнение кривой на графике.
Оценка бессрочных облигаций, и как это может помочь при оценке вечного фьючерса на USDRUB

Теперь рассчитаем какова доходность ОФЗ для дюрации 12.66:
Оценка бессрочных облигаций, и как это может помочь при оценке вечного фьючерса на USDRUB

Формально получается, что доходность ОФЗ выше, чем 8.57% заложенная во фьючерсе, а значит можно сказать, что его цена даже мала, хотя в условиях таких расчетов 0.4% можно считать несущественной и признать, что фьючерс оценен справедливо (кстати, чисто математический расчет даст нам дюрацию облигации в 730 лет, которая будет соответствовать 8.57%, конечно это связано с функцией, которую мы использовали для апроксимации). Вот так, можно оценить справедливость стоимости бессрочного фьючерса.

Однако, для валюты есть существенный нюанс. Теоретическая цена валютного фьючерса учитывает две безрисковые ставки:
Оценка бессрочных облигаций, и как это может помочь при оценке вечного фьючерса на USDRUB

Где:
F – фьючерсная цена
S – спот цена на рынке
irur – безрисковая ставка в рублях
iusd – безрисковая ставка в долларах США
t – количество дней до исполнения фьючерса
T – база дней в году 360/365

И в таком варианте ситуациям усложняется.

Буду рад Вашим замечаниям и предложениям.

★4
30 комментариев
Алёша, PV=CF/i – приведенная стоимость облигации??? Напомню, что мы с тобой общаемся на ты. В твоём случае PV -  бессрочная облигация и PV стремится к бесконечности. Это главное противоречие между твоим ошибочным выводом, что PV=CF/i. Здесь CF также стремится к бесконечности, а i – ставка доходности варьируется бесконечно.
Это залёт, Алёша. 
Александр Сережкин, раз PV стремится к бесконечности, то получается, что бессрочная облигация должна стоить миллиарды? Почему же их продают так дёшево? Где-то кроется обман трудящихся.
avatar
DR. LECTER, пусть Александр учит матчасть. Возьмет книжку по финансовой математике и почитает про вечную ренту
DR. LECTER, обмана нет. Но никто кроме Алёши Бачерова формулу для приведенной стоимости облигаций не изуродовал. Его вариант PV=CF/i абсурден, я уже написал почему.
Александр Сережкин, не хотите читать про вечную ренту, подумайте над формулой Гордона для акций 😁
Алексей Бачеров, если нечего ответить по существу, то надо отправить оппонента изучать матчасть. 
Александр Сережкин, о каком разговоре по существу идет речь, если оппонент не понимает, что пишет глупость из-за явного не знания основ математики и финансовой математики? Я Вам даже написал, где можно подробнее ознакомиться и восполнить пробелы в Ваших знаниях. Вы продолжаете упорствовать… Дело Ваше, делаете хуже только себе.

Но кроме невежества, Вы ещё ведёте себя как невежда.
Алексей Бачеров, кто мне говорит о невежестве? Тот кто в своих преобразованиях сделал несколько ошибок! 
Александр Сережкин, я Вас умоляю. В одном месте вместо минуса напечатал плюс! Да уж, кошмарная ошибка! Результат координально меняется :)

Продолжайте упорствовать…
Алексей Бачеров, в начале твоих преобразований тоже ошибка. В итоге кошмарный результат PV=CF/i !
Понтиться закончил?

Александр Сережкин, давайте так, не вижу смысла продолжать прерикания. Считаете, я неправ — без проблем… Я всё написал, и написал где посмотреть… Удачи Вам в инвестициях.
Алексей Бачеров, я так и написал, что ты не прав, не скрываю. Написал без личной неприязни, проинформировал автора об его ошибках. Поэтому проблема остается на твоей совести. До встречи!  
Александр Сережкин, чтобы не быть пустословом. Покажите, где у меня ошибки и сделайте вывод другой формулы, которая по Вашему мнению не будет выглядеть в конечном итоге как PV=CF/i

Александр Сережкин, поправил плюс на минус. Чтобы быть математически корректным до конца. Но как я написал выше, это не влияет на конечный результат.


Жду от Вас математическое доказательство моей неправоты в других преобразованиях. Укажите мне на мое невежество в жесткой логике математики. Если я не прав, а особенно в математике, то всегда признаю свою ошибку.

Жду Вашего доказательства!

Алексей Бачеров, трудно доказать человеку в интернете, то что он не хочет понять. У тебя уже есть понимание, что формально знак надо было менять с самого начала. Не было бы еще ошибки в самом начале, я не стал бы и намекать, что этих ошибок не одна, включая знак. 

Александр Сережкин, в чем проблема написать формулы и тем самым разгромить мое доказательство в пух и прах? И интернет в этом случае и данный форум ничуть не хуже, и даже во много лучше листка с карандашом. Намекать не надо! Просто докажите математически!

Пока же Вы пустословите!

Алексей Бачеров, уверен, что найдете сами.
Александр Сережкин, а я уверен, что там нет ошибки. И поскольку Вы не хотите опровергнуть строгим математическим доказательством мою уверенность, я возвращаюсь к тому, что Вам стоило бы подтянуть свои знания в математике.
Александр Сережкин, 
Почему фьючерс бесконечный то? У него срок 1 день.
Феликс Осколков, я считаю, что этот фьючерс нельзя рассчитывать как однодневный. Его спецификация подразумевает автоматическую пролонгацию каждый день — это просто технический механизм. Возможно, просто в юридическом поле иначе нельзя реализовать вечный фьючерс.
Алексей Бачеров, а какая разница автоматом он роллируется или вручную как на си, ведь расчетная цена по итогам дня равна цене спота, как и на си в момент экспирации. 
Феликс Осколков, если бы вариационная маржа рассчитывалась в нем по цене спот на конец дня, то Вам ничего бы не стоило каждый день забирать контанго. Но такого не происходит, поэтому как раз автоматическая лонгация — это просто механизм реализации вечного фьючерса.

Господа, сорри за оффтоп, но вы здесь обсуждаете фьючерсы, а у меня как раз вышла дилемма с фьючом на Брент.

Не могли бы подсказать?

 

Вопрос по расчету вармаржи по фьючерсу на нефть.

 

Допустим, стоимость фьюча BR-7.22 составляет 120, шаг цены — 0,01, стоимость шага – 5,675 (курс доллара – 56,75). Таким образом, стоимость 1 контракта равна (120/0,01)*5,675=68100 рублей.

 

Пусть цена BR-7.22 выросла до 125, а курс доллара упал до 51. Тогда вармаржа будет отображаться такой: ((125-120)/0,01)*5,675=2837,5 руб. Получается прибыль.

 

НО! Здесь пересчет происходил по старому курсу доллара. По новому курсу стоимость 1 контракта BR-7.22 равна (125/0,01)*5,100 = 63750 рублей. Т.е. за счет укрепления рубля цена контракта снизилась.

 

Таким образом, по данной сделке получаем убыток = 63750 – 68100 = -4350 рублей.

 

Такой вопрос. Правильно ли я понимаю, что в течение торговой сессии в графе «Вармаржа» я буду видеть прибыль в 2837,5 руб, но по итогам клиринга мне начислят убыток в размере -4350 рублей?

avatar
alpha808, по данной сделке вы заработаете 50 долларов, исходите из этого
Феликс Осколков, спасибо за ответ.
avatar
А для чего вообще однодневные облигации нужны?
Сорри за глупые вопросы
Либо не понял сарказма, либо не понял про однодневные облигации 😁
Алексей Бачеров, никакого сарказма нет. Периодически приходит реклама однодневных облигаций ВТБ и мне не очень ясно в чем их преимущество перед «обычными» бондами.
Врач-бондиатОр, а понял. Действительно слышал о таких. Вроде ими пользуются юрики для краткосрочного размещения остатков. Это альтернатива депозитам, но сам никогда не использовал.

теги блога Алексей Бачеров

....все тэги



UPDONW
Новый дизайн