Облигации: мифы и реальность. Часть 3 Глава 4.3

Иммунизация единичного обязательства. Произвольная форма КБД.

Когда форма кривой доходности отлична от плоской, каждый денежный поток Cₖ дисконтируется по спотовой ставке sₖ, отвечающей  периоду его поступления. Портфель A можно иммунизировать,  если допустимы только параллельные сдвиги  спотовой кривой: ∆sₖ(Tₖ) = ∆s = const. Форвардные кривые в этом случае также изменятся на одну и ту же величину  (Redington, Fisher, Weil, Bierwag) Предполагается, что после этого динамика КБД продолжает следовать теории чистых ожиданий, но “отталкиваясь” от новой, смещенной, позиции. По правде говоря, полная защита возможна и в случае,  когда ∆sₖ(Tₖ) будет монотонно неубывающей функцией сроков до погашения (это называется выпуклым сдвигом) Но мы не будем усложнять рассмотрение и ограничимся параллельными  сдвигами. 

Рабочей лошадкой процесса иммунизации будет уже не дюрация Маколея, а просто дюрация, как мера процентного риска, т.е. чувствительность стоимости портфеля к малому параллельному сдвигу КБД, определенная нами в предыдущей главе. 

Для m-периодного начисления процентов она называется  квазимодифицированной  дюрацией:

DQ = (1/P₀)∙Σ (Tₖ/m)∙PV(Cₖ)∙[1 + sₖ/m]⁻¹   (суммирование идет по k)

где приведенные стоимости денежных потоков Cₖ равны 

PV(Cₖ) = Cₖ∙[1 + sₖ/m]⁻ᵏ, 

P₀ = ΣPV(Cₖ)  — стоимость портфеля, Tₖ  — время поступления денежных потоков (включая номинал) 

Для непрерывного начисления процентов используется дюрация Фишера-Вейля          

    DF =  (1/P₀)∙Σ Tₖ∙PV(Cₖ), 

где приведенные стоимости денежных потоков Cₖ  рассчитываются при помощи логарифмических спотовых ставок yₖ = ln(1+sₖ),

PV(Cₖ) = Cₖ∙exp(—yₖ∙Tₖ)

Если сдвиг КБД происходит однократно, а в дальнейшем ее динамика определяется форвардными ставками, для обеспечения иммунизации достаточно приравнять приведенные стоимости и денежные дюрации портфеля A и обязательства L. Денежная дюрация облигации равна произведению ее цены и дюрации. Денежная дюрация портфеля равна сумме денежных дюраций составляющих его активов. Иногда вместо денежной дюрации используют аналогичную величину — цену базисного пункта (price value of a basis point, PVBP, DV01) Она меньше денежной дюрации в 10 000 раз.

Обратимся еще раз к примеру спотовой кривой нормальной формы из анимированного графика в начале статьи. Мы уже отмечали, что целевая доходность — это доходность на заданном горизонте любого по составу портфеля в сценарии неизменных форвардных ставок (согласно теории ожиданий все облигации получают одинаковый периодический доход) Ее легче всего рассчитать для бескупонной облигации:  целевая доходность на горизонте пяти лет равна спотовой ставке s₅, по которой  дисконтируется обязательство L, т.е. 15.62% годовых.

Допустим, мы хотим составить иммунизированный портфель  A из двух бескупонных облигаций B₁ и B₂ номиналом по 100 ден. ед. каждая и  сроками до погашения 1 год и 10 лет. Необходимые количества бумаг n₁ и n₂  можно найти из системы уравнений:

P₁∙n₁ +P₂∙n₂ = PV(L) (равенство PV(..))

P₁∙n₁∙DQ₁ +P₂∙n₂∙DQ₂ = PV(L)∙DQ(L), (равенство денежных дюраций)

где P₁ = 90.93, P₂ = 19.70, DQ₁ = 0.91, DQ₂ = 8.50 — цены и квазимодифицированные дюрации облигаций в портфеле на дату приобретения;  PV(L) = 48.41, DQ(L) = 4.306

Получим:  n₁ = 0.294, n₂ = 1.1

Предположим, что сразу после покупки происходит сдвиг спотовой кривой на 50 б.п., а в дальнейшем ее динамика соответствует теории ожиданий вплоть до срока исполнения обязательства.  Общая стоимость портфеля FV(A) = 100.03  на горизонте инвестирования складывается из будущей стоимости длинной облигации

FV(B₂) = n₂∙100/(1+ s*₅)⁵ =1.1∙100/(1+20.2%)⁵ = 43.82

и накопленной суммы в результате роллирования короткой облигации

FV(B₁) =  P₁∙n₁∙(1+s₁)∙(1+f₁,₂)∙(1+f₂,₃)∙(1+f₃,₄)∙(1+f₄,₅) =

90.93∙0.294∙(1+9.97%)∙(1+14.16%)∙(1+17.08%)∙(1+19.04%)∙(1+20.1%) = 56.2 

Будущие однолетние ставки s₁* равны краткосрочным форвардным  ставкам fₖ,ₖ₊₁, рассчитанным после сдвига КБД. Подробные вычисления приведены в файле Excel. Стоимость портфеля A через 5 лет  покрывает обязательство L = 100 ден. ед. с небольшим запасом, т.к. выпуклость C(A) > C(L).

Понятно, что в реальности КБД не следует теории чистых ожиданий, поэтому состав однажды иммунизированного портфеля необходимо периодически корректировать подобно тому, как это обсуждалось для  плоской кривой доходности. В этом случае поддерживается равенство квазимодифицированных дюраций (или дюраций Фишера-Вейля, если используются логарифмические ставки)

Если бы дело ограничивалось лишь параллельными сдвигами КБД, инвестору осталось бы приобрести портфель A  с наибольшей выпуклостью, т.е. “барбелл”, выбрать частоту ребалансировки и далее следовать динамической стратегии.  На практике возникает так называемый риск иммунизации, связанный с изменениями формы кривой  — поворотами и растяжениями. Различные по составу портфели неодинаково  реагируют на изменение наклона КБД. Мы помним, например, какую опасность для  “барбелла” представляет bear steepening (короткие ставки падают, длинные растут) и такое событие в полной мере отразится на результатах его работы по достижению целевой стоимости. В то же время бескупонная облигация, если ее использовать для покрытия будущего обязательства, от риска изменения формы КБД полностью защищена. Инвестор не может повлиять на динамику кривой доходности, но ему под силу выбрать оптимальную структуру портфеля. 

При непараллельных сдвигах кривой доходности мерой риска иммунизации служит статистика M²   (Fong, Vasicek) 

M² = (1/P₀)∙Σ PV(Cₖ)∙ (Tₖ — H)², где H  — горизонт инвестора

Если горизонт инвестора совпадает, например, с дюрацией Фишера-Вейля DF, мера M²  равна так называемой дисперсии портфеля S.

S = (1/P₀)∙Σ PV(Cₖ)∙ (Tₖ — DF)²

Дисперсия характеризует “разброс” дат поступлений денежных потоков относительно дюрации портфеля.  Дисперсия  — малоизвестная величина и ее нет в брокерских приложениях или на сайтах, посвященным облигациям. Она не очень удобна для практических целей, так как дисперсия портфеля не равна средневзвешенной дисперсий составляющих его активов. Дисперсия бескупонной облигации равна нулю, но портфель из бескупонных облигаций имеет, очевидно, ненулевую дисперсию. По счастью, между дисперсией S, дюрацией и выпуклостью C = (1/P₀)∙Σ PV(Cₖ)∙Tₖ² есть простое соотношение.

Для непрерывного начисления:

C =  S + DF²; PV(Cₖ) = Cₖ∙exp(—yₖ∙Tₖ), yₖ = ln(1+sₖ), DF — дюрация Фишера-Вейля.

При использовании годового начисления процентов и единой доходности к погашению r:

C = [ S+ D∙(D+1)]/(1+r²); PV(Cₖ) = Cₖ∙[1 + r]⁻ᵏ, D — дюрация Маколея.

Для  поиска оптимального иммунизированного  портфеля  необходимо минимизировать статистику M² при условии  DF = H (для простоты взят непрерывный случай) При фиксированной дюрации Фишера-Вейля это означает, что минимальной  должна быть выпуклость C, как это видно из соотношений выше. Такими свойствами будет обладать, например, “буллетный” портфель с возможно более низкой ставкой купона и датой погашения наиболее близкой к H, т.е. в идеале портфель по своим характеристикам должен стремиться к бескупонной облигации. Конечно, можно составить произвольный портфель, обеспечив точные равенства D(A) = D(L) и C(A) = C(L), но он будет включать короткие позиции по облигациям, что недоступно большинству инвесторов.

  Существуют и более сложные меры риска, связанные с так называемыми моментами D(m)  = (1/P₀)∙Σ PV(Cₖ)∙Tₖᵐ, а  оптимальный иммунизированный  портфель находится методами линейного программирования из системы уравнений D(m)  = Hᵐ. Однако для m > 2 этот подход не дает сильного преимущества, опять же в этом случае без  коротких позиций не обойтись.

Когда  в популярной финансовой  литературе  обсуждают иммунизацию единичного обязательства, то зачастую пишут про дюрацию Маколея, а не Фишера-Вейля или квазимодифицированную, поэтому сделаем ряд замечаний:

1. В большинстве ранних  работ по теории иммунизации применялось непрерывное начисление процентов, а дюрацией  Маколея иногда называли дюрацию Фишера-Вейля, как мы ее определили выше,  зависящую от множества спотовых ставок.  Для периодического начисления процентов это название также употреблялось, иногда писали про вторую дюрацию Маколея, чтобы как-то различать от основной, которая является функцией единой ставки  —  YTM.
2. Использование обычной дюрации Маколея (зависящей от доходности к погашению) исказит правильное соотношение активов в иммунизированном портфеле, но вполне допустимо в качестве приближения. При  таком подходе доходность к погашению портфеля нужно рассчитывать как его IRR (внутреннюю ставку доходности), т.е. нельзя брать средневзвешенное значение YTM активов.  Это же касается и дюрации Маколея, она должна вычисляться напрямую, а не как средняя дюраций портфеля (хотя редко кто так делает, ведь среднюю гораздо легче считать, а дюрации отдельных облигаций указаны во всех брокерских приложениях)
3. Проверка на реальных данных показала, что дюрация Фишера-Вейля (или более сложные меры риска) проявляет себя не намного эффективнее дюрации Маколея в процессе динамической иммунизации, т.е. она лучше, но не критично. Возможных причин для этого несколько:  во-первых, на длинном участке, имеющем наибольшее значение для результатов иммунизации,  КБД имеет почти плоскую форму; во-вторых,  с течением времени  непараллельные движения частично уравновешивают друг друга, смягчая влияние поворотов на общий накопленный доход; и самое главное  — при обсуждении метода главных компонент мы выяснили, что параллельные смещения составляют более 80% всех изменений КБД.

Подведем итог обсуждению иммунизации единичного обязательства. Для обеспечения выполнения обязательства L  на горизонте H необходимо построить портфель A, соблюдая условия:

PV(A) = PV(L) (чтобы  иметь небольшой запас капитала, можно взять PV(A)≥ PV(L))

D(A) = D(L) (лучше приравнивать денежные дюрации; но если используется дюрация Маколея и единая ставка YTM, то D(A) = H)

C(A)|[D(A)=D(L)] 🠒 min (т.е. при условии равенства дюраций D(A)=D(L) ищется “буллетный ”портфель с минимальной выпуклостью)

Далее проводится периодическая ребалансировка портфеля A. Поскольку риск иммунизации можно минимизировать, но нельзя свести к нулю, достижение целевой доходности не гарантировано, хотя это и происходит в большинстве случаев.

Условная иммунизация

На проблему иммунизации можно взглянуть и с другой стороны. Предположим, что в апреле 2021 г  у  Елены Николаевны, клиентки Банка “ВТБ”, закончился двухлетний вклад под 7.5% годовых и она решает куда бы пристроить возвращенные  на счет 1 000 000  рублей.  У нее сберегательная модель поведения и  она предпочитает вклады с капитализацией процентов. При этом Елена прекрасно знает про уловки и хитрости банка ВТБ, и понимает, что указанная на сайте доходность  — не настоящая, т.е. эффективная, а простая и публикуется специально, чтобы клиенты выбирали капитализацию, а не перечисление на счёт. Эффективную доходность Елена считает сама с помощью функции Excel  — EFFECT(x%;12).

Елена стала изучать  сайт банка и  обнаружила, что текущие ставки по вкладам   теперь составляют не более 4-4.5%. Например, вклад, издевательски названный “История успеха”,  предлагал всего 4.36% годовых при открытии онлайн. Капитализация могла дать эфф. ставку в  4.45%, что было слабым утешением. Накопленный доход за два года составил бы 1 000 000 ∙(1.0445)² = 1 090 942 руб.

В этом же банке у Елены уже давно был открыт ИИС, но она им пока не пользовалась. Она знает, что раз в год его можно пополнить на сумму 1 млн руб. Быстрый мониторинг ОФЗ в брокерском  приложении показал, что доходности двухлеток находятся на уровне 5.8-6%  Например, 12 апреля 2021 г. ОФЗ 26215  торговалась с доходностью к погашению около 6% (напомним, что все указанные в Quik доходности  — эффективные) Это было больше предлагаемых банком процентов по вкладу, даже с учетом капитализации. Кроме того, оказалось, что длинные облигации дают еще более высокую доходность. Семилетние облигации с YTM в районе 7-7.1% теоретически могли принести доход в 145 000 р. за два года против банковских 91 000 р.

Но Елена Николаевна, конечно,  финансово грамотный инвестор и помнит про опасность приобретения длинных облигаций. Она также понимает, что доходность к погашению, указанная в брокерском приложении, может быть полностью  реализована лишь в случае удержания бумаг до погашения и реинвестирования всех полученных купонов под ставку YTM. С учетом незначительного риска реинвестирования в коротких облигациях она согласна на эфф. доходность не менее  rₘᵢₙ ≈ 5.74%   и соответствующую накопленную стоимость в 1 000 000∙(1.0574)² ≈1 118 000 р. на горизонте 2-х лет, но хотела бы попытаться выручить больше, вкладывая в семилетние бумаги, например ОФЗ 26232. Существует ли относительно безопасный  план на такой случай?

Елена может попробовать стратегию  условной иммунизации.   Ее суть в том, что инвестор, рассчитывающий  на дополнительный доход, приобретает облигации с дюрацией D > H и YTM > rₘᵢₙ. Далее он следит за стоимостью портфеля, и в случае ее падения ниже минимально допустимой величины, немедленно иммунизирует портфель. Эта минимальная величина будет зависеть от целевой стоимости и  уровня ставок  по бумагам с дюрацией, примерно равной горизонту инвестирования на момент проверки. Иными словами, в каждый момент времени стоимость позиции Елены должна быть достаточной, чтобы при ее ликвидации она могла приобрести иммунизированный портфель и получить сумму не меньше 1 118 000 р.   к середине апреля 2023 г:

Начальные данные: 

P(0) = 1 000 000 р., H = 15.04.2023; P(H)⩾ 1 118 000 р.

Условие: 

При t > 0  необходимо выполнение неравенства P(t) ⩾  PV(1 118 000), где P(t)  — стоимость портфеля в момент времени t, а приведенная стоимость PV(..)  рассчитывается либо по спотовой ставке s(H — t), либо через YTM для бумаг с дюрацией примерно равной (H — t)  

Нарушение условия в момент t₀:

Немедленная иммунизация, т.е. продажа портфеля и покупка коротких бумаг с дюрацией (H  — t₀)

Итак, решено: Елена заводит 1 млн р. на ИИС и 14.04.2021 приобретает 1050 штук  ОФЗ 26232 по цене 95.25%, сразу после выплаты купона.  У нее есть две облигации   в качестве кандидатов на “тихую гавань” — ОФЗ 26215 с погашением 16.08.2023 г и ОФЗ 25084  с погашением 04.10.2023. Статистика M² у ОФЗ 26215 равна 0.247 и  она меньше, чем у ОФЗ 25084   — 0.294, поэтому Елена берет ее “на карандаш” как будущую основу для иммунизированного портфеля.

Для определения ставок дисконтирования  при расчете минимальной PV(..)  Елена может использовать либо значения КБД, ежедневно публикуемые на сайте Мосбиржи, либо доходность к погашению ОФЗ 26215, которую можно посмотреть в Quik, на сайте Мосбиржи, или любом брокерском приложении. Например, на дату 30.04.2021 спотовая ставка s = 5.81% для срока до погашения (H — t) = 1.96 года (этот срок считается как YEARFRAC(30.04.2021; 15.04.2023))

Минимально допустимая стоимость портфеля PV(1 118 000) = 1 118 000/(1+5.81%)¹.⁹⁶  = 1 000 851 р.

     Какое-то время цена облигации держится на приемлемом уровне, несмотря на продолжающийся цикл повышения ключевой ставки.  Поэтому, никаких действий предпринимать не нужно.  Опасные моменты возникают в начале июня,  в середине июля,  и самом начале октября, но Елена каждый раз проверяет условие и не находит повода для беспокойства (см. расчёты в приложенном файле) По счастью, доходности растут не только по длинным, но и по коротким облигациям, что обесценивает минимально допустимый капитал. Кроме того, видно, что выбор ставки дисконтирования не столь важен:  стоимости  PV(..)  мало отличаются друг от друга.

Но вот, 21 октября 2021 рынок закрывается  очередной красной свечой и Елена решает больше не рисковать  — она продает все свои ОФЗ утром 22 числа по цене 92.65% (включая  НКД) и получает 1 005 393 р. Эта сумма больше минимального капитала, равного примерно 1 001 500 р. на дату продажи.

Теперь ей нужно составить иммунизированный портфель. На 22.10.2021 оставшийся до 15.04.2023 г срок равен 1.48 лет, дюрация Маколея ОФЗ 26215, D =   1.715 лет; модифицированная дюрация  DM = 1.653 (эти данные доступны на сайте Мосбиржи) Квазимодифицированные и прочие зубодробительные дюрации Елена  рассчитывать не стала, так как на коротком горизонте приближений с использованием YTM вполне достаточно.

На самом деле Елена может поступить двояко  — или на всю вырученную сумму купить 1000 штук ОФЗ 26215 по цене 100.53% (включая НКД), или разделить деньги между ОФЗ 26215 и ОФЗ 24021, чтобы соблюсти равенство приведенных стоимостей и денежных дюраций. Облигации ОФЗ 24021  — аналог краткосрочного депозита и мы можем считать, что их DM = 0. Добавляя эти бумаги в портфель, инвестор пропорционально уменьшает его дюрацию.

Первый вариант не будет иммунизацией портфеля в строгом смысле, но срок погашения ОФЗ 26215 очень близок горизонту инвестирования Елены. При прогнозе, что  цена облигации на 15.04.2023 будет близкой к номиналу, стоимость ее портфеля составит  ≈ 1 122 600 р, см. расчет  в том же файле Excel. Это больше целевой суммы в 1 118 000 р., но разница объясняется “выгодной” продажей ОФЗ 26232 в октябре 2021 г, когда было сэкономлено как раз около 4 000 р.

Очевидно, что результат динамической иммунизации, если Елена Николаевна возьмется ее проводить, будет ничем не хуже. Мы же не станем ей в этом помогать, ведь она справится и сама.

Не нужно думать, что стратегия условной иммунизации полностью защищает инвестора и одновременно дает ему опцион на дополнительную доходность. В ней много своих подводных камней. Условная иммунизация  — аналог постановки заявки   “стоп-лосс” в трейдинге и несет схожие риски.

1. Цены облигаций волатильны в течение дня и не всегда понятно  —  уже настал  момент принять решение  иммунизировать портфель, или стоит обождать,   понадеяться, что рынок успокоится. 
2. Можно не успеть среагировать, цена длинной облигации способна обрушиться на несколько процентов за считанные часы.
3. Не всегда есть нужные и достаточно ликвидные облигации для построения иммунизированного портфеля в критический момент. Впрочем, для ОФЗ эта проблема остро не стоит.

Из опыта Елены Николаевны мы можем извлечь важный урок: условной иммунизацией заниматься нет большого смысла, если в экономике наблюдается устойчивая тенденция повышения ставок. Овчинка выделки не стоит. Лучше купить облигации со сроком погашения близким к горизонту инвестора, либо инвестировать в флоатеры и ждать окончания цикла. Гадать, когда наступит “ценовое дно”, не нужно; читать прогнозы аналитиков и напряженно слушать  пресс-конференции Председателя ЦБ не нужно; вообще ничего делать не нужно:  первое снижение ключевой ставки и будет означать начало разворота, это единственно верный сигнал.

Многопериодная иммунизация портфеля облигаций

Динамическая иммунизация единичного обязательства имеет практический смысл только при большом горизонте инвестирования, т.е. свыше 4-х — 5-ти лет. Частные инвесторы планируют свои вложения, как правило, на срок не более 2-х  — 3-х лет. Поэтому, им вряд ли стоит к прибегать к стратегии иммунизации, тем более что ребалансировка требует постоянных  жертв  в виде уплаты комиссий. 

Однако в жизни бывают и другие ситуации. В предыдущем разделе  мы отмечали, что не все инвесторы занимаются бесконечным накоплением и  реинвестированием, чтобы  наблюдать за магией сложного процента. При необходимости получения  периодических сумм,  когда, например, выходишь “на пенсию в 35”  или платишь ипотеку, хорошо бы задуматься о подходящей структуре портфеля облигаций. Можно тратить только купоны, выбрав длинную ОФЗ ПД,  но  для этого понадобятся крупные сбережения. Во многих случаях  без продажи части капитала не обойтись.

Допустим, инвестору  нужно  произвести серию выплат  и ему  известны все будущие денежные “оттоки”. Для решения  этой задачи он собирается приобрести целевой (dedicated portfolio)портфель, который в конечном счете будет полностью израсходован.

В качестве одного из вариантов он может использовать стратегию  полного соответствия денежных потоков. Она строится следующим образом: 

1. Начинаем с последнего по сроку платежа и находим облигации с наиболее близким (меньшим либо равным) сроком до погашения.  Они берутся в таком количестве, чтобы  их погашаемая стоимость вместе с последней купонной выплатой была равна этому платежу. 
2. Переходим к предпоследнему платежу и поступаем аналогичным образом, плюс  учитываем возможные купонные выплаты по облигациям из п.1., попадающие в период между   предпоследним и третьим от конца платежом.
3. Повторяем действия п. 2 …

Продолжаем рекурсию до первого по счету платежа, нанизывая бусины облигаций на временную нить. 

Данный подход хорош тем, что  позволяет вообще не думать о риске процентных ставок. Но у него есть и серьезные недостатки, самый главный из которых  — возможный дефицит подходящих по срокам облигаций. Поскольку для успеха стратегии необходимо, чтобы средства для очередной выплаты в полном объеме поступили заранее, нам придется часть из них какое-то время держать без движения (либо вкладывать под ставки овернайт) Это повышает общие затраты. Если инвестор готов принять дополнительный кредитный риск, он может приобретать корпоративные облигации.

Рассмотрим в качестве примера случай, когда когда на дворе апрель 2023 г  и нам нужно произвести следующие платежи в будущем: 

01.10.2023  —  200 000 р., 

 01.02.2024  — 300 000 р.  

01.06.2024   — 500 000 р.

 На рынке есть масса подходящих по срокам погашения и относительно надежных облигаций, их достаточно просто отсортировать. Для наших целей подойдут, например, эти:

Для выплаты последних 500 000 р. используем купоны и погашаемую сумму облигаций Сбербанка, их нужно приобрести 500 000/(1000+28.17) = 487 штук (округляем вверх до целой облигации) Для проведения второй выплаты 300 000 р у нас уже есть 487 бумаг Сбербанка, на которые будут получены купоны 28.17∙487 = 13 719 р., поэтому нам останется приобрести (300 000  — 13 719)/(1000 + 43.38) = 275 обл. РЖД. И наконец,  для самого первого платежа мы купим (200 000  — 275∙43.38  — 487∙28.17)/(1000 + 37.3) = 169 облигаций  ГПБ.

Для трех бумаг все подсчеты легко сделать руками,  но в более сложных случаях множественных платежей  задачу подбора облигаций лучше решать методами линейной оптимизации.

Менее затратной, достаточно гибкой, хотя и более рискованной альтернативой будет уже знакомая нам стратегия  иммунизации. Приемы составления иммунизированного портфеля для исполнения единичного обязательства описаны выше.  Так как для каждого отдельного платежа из потока обязательств можно построить свой иммунизированный портфель, то совокупность таких портфелей способна решить общую задачу.  Можно показать,  что данное условие будет не только достаточным, но и необходимым (Shiu) В предположении выпуклых сдвигов КБД портфель считается иммунизированным  в том и только  в том случае, если существует его разбиение на компоненты, каждая из которых иммунизирует отдельное обязательство. Одно из следствий этого критерия: дисперсия денежных потоков портфеля должна быть больше либо равна дисперсии платежей по обязательству.  Примером такого портфеля будет барбелл, который “охватывает” поток платежей по долгу:

Для наглядности рассмотрим финансирование  аннуитета. Покупателю недвижимости необходимо выплачивать ипотеку и для этого он хочет обеспечить поступление на свой счёт одной и той же суммы каждые полгода. Ипотечные платежи, как правило, совершаются ежемесячно, поэтому будем считать, что поступающие средства затем равномерно распределяются по месяцам.  Одну часть будущих выплат составят зарплатные доходы, а  другую инвестор хочет формировать за счёт созданного целевого портфеля.

Допустим, что инвестор выделил на целевой портфель сумму 10  млн руб., а в экономике действуют номинальные процентные  ставки 8% годовых. Выплаты будут осуществляться в течение 15 лет, т. е. 30-ти периодов. Тогда легко рассчитать полугодовой платеж по формуле для аннуитета:  ПЛТ(ставка; кпер; пс; [бс]; [тип]) = ПЛТ(4%; 30; —10000000; 0) =578 301 р. При каких предположениях получена эта цифра? Подразумевается, что ставка 8% останется неизменной в течение всех 15-ти лет. Если инвестор внесет   10 млн руб. на 15-летний  приходно-расходный вклад с фиксированной ставкой 8% и полугодовой выплатой процентов,   будет тратить с него по 578 301 р каждые полгода, то к концу срока вклада он полностью исчерпает средства. 

Проблема в том, что банки не предлагают вклады на такой долгий срок, тем более приходно-расходные. Какие есть альтернативы? Можно приобрести 15-летние облигации. Или  — открывать краткосрочные вклады. Но как мы уже убедились на примере единичного обязательства, риски  изменения процентных ставок приведут к тому, что изначально вложенных  средств может не хватить на все запланированные  платежи. Особенно неприятной будет ситуация, когда поначалу ставки растут, а потом всё время падают.

Если допустимы только параллельные сдвиги плоской КБД, выход из ситуации прост: приобрести барбелл из 15-летней купонной облигации и краткосрочного инструмента  — полугодового вклада. 

Для того чтобы найти первоначальное  соотношение   активов в портфеле A, мы приравниваем  дюрации Маколея D(A) = D(L), где D(L)   — дюрация аннуитета, и полагаем дюрацию вклада равной нулю:

x∙DM(Bond) + (1-x)∙0 = DM(L)

Получим, что доля облигаций в портфеле на момент его построения должна составлять  x = DM(L)/DM(Bond)

В дальнейшем придерживаемся процедуры динамической иммунизации, т.е. поддерживаем равенство дюраций на протяжении всех 15-ти лет, периодически ребалансируя портфель. Все расчеты приведены в файле Excel.

Полученные результаты можно наглядно представить в виде  гистограммы распределения конечного баланса инвестора. Видно, что вне зависимости от траектории процентных ставок этот баланс будет всегда положителен при своевременной корректировке иммунизированного портфеля A.

Конечно же,  в реальности форма  КБД  не только не является плоской, но и легко может изменяться в результате наклонов или искривлений, поэтому  в случае множественных обязательств также возникает риск иммунизации. А значит, “барбелл”  — не всегда  удачная идея. Для минимизации риска иммунизации портфель A лучше строить так, чтобы его  будущие денежные потоки тесно “охватывали” каждый платеж по обязательству: 

Подводя итог обсуждению многопериодной иммунизации, можно дать следующие рекомендации для составления портфеля A:

MV(A)  ≥ PV(L) (MV(A)  — рыночная стоимость портфеля, приведенная стоимость потока обязательств PV(L) рассчитывается по текущим спотовым ставкам)

Денежная дюрация портфеля A ≈ Денежная дюрация потока обязательств.

C(A) ≳ C(L)  (т.е. выпуклость портфеля совсем немного больше выпуклости потока обязательств)

 
У нас остались к рассмотрению небольшие темы, посвященные лестничной стратегии, амортизации, индексным портфелям, линкерам и т.д.  Также планировались еще две части: про облигации с встроенными опционами, и заключительная, про корректное сравнение вкладов и облигаций, ради которой, собственно, и затевался весь цикл. Но я принял решение завершить публикации ввиду сложности и неформатности материала, что проявилось в низком интересе читателей. Эта глава будет последней.