В мешке 8 синих и 4 красных камня. Мальчик достает случайным образом и выкладывает последовательно круг из всех 12 камней.
Каковы шансы, что сложится круг, в котором не будет 2-х (и более) красных камней подряд.

Спецом для трейдеров. Не столько сложная, сколько интересная:

Вы можете бросить кубик до трех раз. После каждого бросания или забираете столько долларов сколько выпало на кубике либо играете дальше.
К примеру: кинули 2 раза, на второй раз выпало 5 и вы решаете остановиться, забираете себе 5$.
Определить оптимальную стратегию игры и ожидаемый выигрыш?

Не удержусь и предложу еще одно решение задачи smart-lab.ru/blog/160720.php. Не удержусь потому, что оно, пожалуй, наиболее наглядное и интуитивно понятное.
Изобразим течение событий с помощью графа. Узлами изобразим состояния. Между ними будут переходы с заданной вероятность. Переходы независимы.
Собственно вот картинка.



Думаю вопросов не вызывает.
Возможные варинты течение событий это пути от «Начало» и вниз до результатов теста. Вероятность пути легко определяется перемножением т.к. переходы независимы.
Например, вероятность «Начало»->«Здорова»->«Тест положительный» будет 0.9999 * 0.05. Все просто и понятно.
И теперь самый сложный момент: где на картинке наша искомая вероятность?
Начнем с того что все пути к «Тест отрицательный» нас вовсе не интересуют. Интересуют пути к «Тест положительный» и их два. А из них особенно интересует тот, который проходит через «Заразилась».
И если не много поморщить мозг, то можно догадаться, что в итоге нас интересует какова доля исходов по пути через «Заразилась» по отношению ко всем возможностям попасть в «Тест положительный».
Как только это осознали, сразу пишем результат 0.0001*0.95 / (0.9999*0.05 + 0.0001*0.95)
Вуаля! И никаких сложных теорем.

Один из вариантов решения задачи smart-lab.ru/blog/160720.php#comment2334448
Использует формулу условной вероятности ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A3%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%B2%D0%B5%D1%80%D0%BE%D1%8F%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C

Рассуждения такие:
События
A — заражена
B — тест положительный
C — тест ошибся. A и C независимы

Формула условной вероятности
P(A|B) = P(A*B)/P(B) — вероятность A при условии, что B произошло,
где  P(A*B) — вероятность, что произойдут оба события одновременно
P(A) = 1/10000
P© = 0.05
P(B) = P(A)*(1-P©) + (1-P(A))*P©
P(A*B) = P(A)*(1-P©)
Итого:
P(A|B) = 1/10000*(1-0.05)/(1/10000*(1-0.05)+(1-1/10000)*0.05) = 0.001897 = 0.19% 

Думаю мало кто из алготрейдеров сомневается, что знание тервера полезно для его деятельности. Но тервер это не простая штука даже в применении к казалось бы простым задачам.
Предлагаю вашему вниманию прелюбопытную задачку. Взята из одной книжки, которую рекламировать не буду, скажу только что решения в книге нет.
Сразу оговорюсь что задача не так проста как кажется на первый взгляд, морщить лоб и кусать ногти будет не достаточно.

Итак:

Женщина приходит на прием к терапевту и просит дать ей направление на анализ на ВИЧ. Терапевт распрашивает ее и делает следующее заключение:
— с учетом вашего образа жизни известно, что ваши шансы заразиться составляют 1/10000, потому вам нет смысла проходить тест.
Она настаивает, получает направление и тест показывает положительный результат.
Нужно вычислить вероятность того, что она действительно заражена если известно, что тест дает 5-процентную ошибку.

( Читать дальше )