Еврооблигации и депозиты

Этот пост для себя скорее, чтобы навести порядок в голове. Как всегда буду рад комментариям.

Стартовая точка, аксиома: деньги--это ресурс (Вроде, очевидно, но в социализме это как правило не так. Отсюда куча проблем с отношением к деньгам и вообще проблемы с деньгами в социалистических укладах). Значит, использование денег стоит денег. Чем больше денег используется--тем больше плата. Значит, плата за использование денег--это процент от используемой суммы. Если мы даем кому-то пользоваться нашими деньгами в размере S, то платой за это должна быть сумма Perc*S, где Perc--процент. Очевидно, чем больше время использования, тем больше должен быть процент, то есть Perc=Perc(t). В итоге имеем, что через t лет нам вернут сумму S1=S*(1+Perc(t)). Но можно подойти к этой формуле и по другому. Сколько стоит будущая выплата в размере S1? Ответ, она стоит величину

S=S1/(1+Perc(t))  (1)

Формула (1) позволяет оценивать нынешнюю стоимость будущих выплат. То есть отвечать на вопросы, сколько сейчас стоит будущая выплата. Это соотношение еще называется формулой дисконтированного денежного потока. Вот это база, фундамент современной финансовой жизни. По этой базе живет человечество, и неплохо живет :) Ну а мы, скромные труженники фенансовых рынков, можем рассчитать любой будущий платеж, хоть депозит, хоть облигацию, хоть контангу фьюча какого-нибудь.

Далее. Как определяется процент Perc? Тут разные подходы могут быть, суть всегда одна. Вводится понятие процента в единицу времени P, так называемой ставки. Это некая эффективная величина, не зависящая от времени, и характеризующая интенсивность выплат. Общепринятыми подходами являются сложный (Perc=(1+P)^N-1, N--число лет) процент и простой (Perc=N*P) процент.

Перейдем теперь к практике. Исходя из формулы (1) депозит--это очень простая вещь. Я покупаю по цене, определяемой формулой (1) будущую выплату. Вот и все. Нынешние ставки по валютным депозитам невелики, так, в випе альфы мне предложили 2.1% годовых. В менее надежных ( :) ) банках ставки может и выше.

Что такое еврооблигация? То, что я вижу в стаканах ММВБ--это обязательство будущих купонных выплат плюс будущее погашение. Хороший сайт для поиска графика выплат--bonds.finam.ru. Возьмем, к примеру, облигацию XS0191754729--это Газпром с погашением в 2034 году. Купоны идут фиксированные, по 43.13 доллара раз в полгода, 28 апреля и 28 октября. Погашение--28 апреля 2034 года, выплачивается номинал в размере 1000 долларов. Нынешняя цена--138%. Суммарный купон за год, отнесенный к номиналу, называется чистой купонной доходностью (обозначим его PK, он равен 43.13*2/1000=0.08625).

Итак, в случае с облигацией мы имеем некий поток будущих платежей. Как оценить, что это за поток? Поток неравномерный и нетривиальный, ибо, в отличие от депозита, здесь есть дополнительная степень свободы в виде рыночной цены. Тут разные могут быть подходы. Для начала, сравним его с депозитом. Для сравнения с депозитом надо иметь некую оценку процентной доходности. Логично сделать так. Просуммируем нынешние стоимости всех будущих выплат, при этом дисконтирование будем учитывать по некой неизвестной ставке P. А затем приравняем сумму к текущей рыночной цене и найдем из получившегося уравнения P. Это очень разумная оценка доходности облигации, называется она доходностью к погашению (yield to maturity--YTM). 

Более или менее в общепринятом виде, с дисконтированием по сложному проценту я произведу это ниже, в приложении. Там не до миллиметра все, ибо мне пока нет нужды разбираться в тонкостях учета НКД. Но суть расчета показана, а также приведен метод решения возникающих сложных нелинейных уравнений. Сейчас же ограничимся простыми линейными оценками. Дело в том, что согласно Биному Ньютона (ура!!!!, вот и Бином Ньютона стрельнул) (1+P)^N=1+P*N при малых N*P. Поэтому при малых ставках дисконтировать можно линейно, да и вообще условно как угодно--ответы всегда получатся похожие.

Итак. Газпром 2034. Пофиг там на эти YTM, рассмотрим вопрос практически :) Ведь классическую YTM придумали классики, а у нас то практика. Нам бабло надо тратить, а тратить его можно по разному :) Лично я бабло люблю прожирать в широком смысле. Исходя из этого и поведем оценку. Купили Газпром 2034 за 1380 долл (еще НКД заплатили--но это ладно :)) Курим до первого купона, получаем 43.13 долл. Что с ними делать? Все прожрать нельзя, ибо на погашении получим лишь тыщу баксов, а потратили то 1380. Надо накопить 380 долл только для того, чтоб закрыть покупку. Как их копить? Сразу?--это девять выплат. Пять лет то есть. То есть пять лет курим, чтоб потом получить свои 8.625% годовых. Вариант уныл. Второй вариант--равномерно разбавить нагрузку на все выплаты, так, чтоб в итоге 380 долл нацедить. Имеем так: тридцать три выплаты, значит надо заначить 380/33=11.51 долл с каждой выплаты, остается 43-11.51=31.62 долл на прожрать. Это значит, что эффективная ставка такого давания в долг равна 31.62/1380=2.29% за полгода или 4.57% годовых. Если сосчитать классическое YTM (смотри ниже или в квик), то будет 5.28% годовых. Не сказать, что прямо близкие величины, но мне такая оценка с учетом моих потребностей и пожеланий нравится гораздо больше.

Оценим дополнительные расходы. Комисс. Это 0.06%, будем считать. Это ладно. А вот НДФЛ--это жесть. Он считается с рублевой разницы. То есть НДФЛ непредсказуем и зависит от динамики курса доллар-рубль. Если предположить, что курс неизменен (самому смешно, гы :) ), то после налога будет 43.13-13%=37.52 долл купона, а доходность будет 2*(37.52-11.51)/1380=3.76% годовых. Но НДФЛ--это серьезно, он вообще может утащить позу в минус при падении рубля.

Далее. Продажа облиги. До 2034 года держать как-то неловко, это Россия, детка. Цена у облигов может быть, вообще говоря, любой. То есть вполне может быть ситуация, когда цена упадет и будешь тусоваться в убытках. В отличие от депозита. Ситуации могут быть разные. Существует так называемая yield curve--зависимость YTM облигаций от времени до погашения. Ну и разные бывают эти кривые. Бывает “нормальная”:

А бывает и “ненормальная”:

Неисповедимы пути рынка :)

Итак, что мы имеем. Депозит под 2% на год, либо еврооблига под максимум 3.76% с неизвестной датой продажи и вообще мутной перспективой этой продажи по неизвестной цене, с возможностью уйти в конкретный минус на падении рубля. Вот такие дела.


                          Приложение. Расчет YTM дисконтированием по сложному проценту

Оценим исходя из данных по XS0191754729 и формулы (1) YTM. Для этого просуммируем нынешние стоимости всех купонных выплат. Время будем измерять в годах (тут можно по разному делать, но разницы особой не будет). Итак, имеем первую выплату через t0 лет (в данном случае до 28 октября будет 141 день или 0.392 года. Неплохой сервис для таких расчетов: http://www.calculator888.ru/skolko-dney-do-1/ ). Нынешняя стоимость такой выплаты есть PK*0.5/(1+P)^t0. После этого на протяжении 17 лет раз в полгода идут выплаты в размере PK/2. Согласно формуле (1) нынешняя стоимость таких выплат есть “сумма по i от нуля до N от PK*0.5/(1+P)^(i+t0)”, где P--искомая доходность, N=33 (последняя выплата--28 апреля 2034 года). 

Такие суммы могут быть легко преобразованы. Действительно, нетрудно видеть, что (1-q)*(1+q+q^2+...+q^N)=1-q^(N+1). Тогда  “сумма по i от нуля до N от A/(1+P)^i” равна A*(1-q^(N+1))/(1-q), где q=1/(1+P).

Далее, есть еще будущее погашение облигации. Там нам выплатят номинал, но через семнадцать лет. Нынешняя стоимость такого платежа есть 1/(1+P)^(N+t0). Полная нынешняя стоимость облигации равна сумме стоимостей купонных выплат и погашения. Если выразить все в единицах q, это будет:

q^t0*{PK*0.5*(1-q^(N+1))/(1-q)+q^N}

Далее. Здесь есть неизвестная величина P, которую мы и хотим вычислить. Ее можно найти из равенства полной стоимости всех выплат текущей рыночной цене облигации. Имеем уравнение:

q^t0*{PK*0.5*(1-q^(N+1))/(1-q)+q^N}=Price.

Насколько я понимаю, здесь есть нюанс. Чтобы рыночная цена не скакала резко в моменты выплат, придуман механизм НКД--накопленного купонного дохода. Эта сумма, выплачиваемая покупателем продавцу, пропорциональная времени от прошлой выплаты. То есть покупатель выплачивает продавцу величину купон*время с прошлой выплаты/время между выплатами. Это обеспечивает плавный переход через время выплаты купона. Чтобы это учесть в наших расчетах, можно НКД, который равен PK*0.5*(0.5-t0)/0.5 прибавить к цене (я не уверен, что это правильно, но ошибка в любом случае будет невелика и в рамках полукачественных расчетов приемлема). Имеем уравнение:

{PK*0.5*(1-q^(N+1))/(1-q)+q^N}-(Price*q^(-t0)+НКД)=0

Это нелинейное уравнение на q, его можно решить численно. Поскольку тут легко ищутся производные по q, то я использовал метод Ньютона, в котором q_next=q_previos-f(x_previos)/df(x_previos), здесь f--левая часть уравнения на q,  df--производная от f по q. 

Вот код VBA для таких расчетов:

Option Explicit
Sub YTM()
Dim n!, P!, PK!, Nom!, Price!, f!, df!, x!, x_next!, i%, imax%, npy!, ACY!, t0!
n = 33 ' number of coupons
PK = 0.08625  ' pure coupon yield
Price = 1.38 ' market price
npy = 2 ' number of coupons per year
t0 = 0.3907    ' time to next coupon
ACY = PK / npy * (1 / npy — t0) / (1 / npy)  ' accumulated coupon yield
x = 0.5 ' this is x starting
imax = 100

For i = 1 To imax  
    f = (PK / npy) * (1 — x ^ (n + 1)) + (1 — x) * x ^ n — (Price + ACY) * (1 — x) / x ^ t0   
    df = -(n + 1) * (PK / npy) * x ^ (n) + n * x ^ (n — 1) — (n + 1) * x ^ n — (Price + ACY) * (-t0 / x ^ (t0 + 1) + (t0 — 1) / x ^ t0)  
    x_next = x — f / df
    If Abs(x_next — x) < 0.00000001 Then GoTo 10   
    x = x_next   
    Next i

10 P = npy * (1 — x) / x
MsgBox («YTM=» & P & ", ACY=" & ACY & ", i=" & i)
End Sub

Для XS0191754729 получается YTM=5.31%, что близко к квиковой величине 5.28% ( Еще раз повторю, я не вникал подробно в методику расчета НКД и YTM, пока хватит и так, методика приближенная, не учитывает, например, неравенство промежутков между купонами). 

Для облигаций Газпром 2019 XS0424860947 с погашением 23.04.2019, номиналом 1000 долл, чистой купонной доходностью 9.25%, купонами по 23м числам апреля и октября, ценой 112.5 имеем YTM=2.7%, что тоже более или менее с квиковой совпадает. Пока сойдет, детально лезть в методику расчета НКД и YTM пока не буду.