Облигации: мифы и реальность. Часть 2. Глава 3. Иммунный ответ.

Мы с тиньковской домохозяйкой продолжаем наше совместное путешествие по фантазийному  миру облигаций. Предположим, что перед ней встала задача определить накопленную стоимость своей облигации с годовыми купонами на некоторый момент в будущем, который она определяет как свой горизонт инвестирования. Необязательно ждать до времени погашения T,  — если бумага длинная, но доходная,  можно какое-то время и подержать. Планируемая накопленная стоимость TV (обзовем ее  target value) может быть определена из таких соображений: мы должны заглянуть в будущее и рассчитать, какой будет цена облигации P_t через t<T лет (мы намерены ее продать), а также какой мы накопим общий доход FV[C_t] от полученных и реинвестированных купонов: TV_t= P_t+ FV[C_t] Считаем, что каждый раз инвестируем купоны в годовые облигации, чтобы к моменту t на руках был нужный кэш. Это необязательно, но сильно упрощает понимание происходящего. 

Оказывается, можно не утруждать себя отдельными вычислениями, а записать результат сразу (получится то же самое): TV_t= P₀(1+r)^t , то есть накопленная стоимость будет просто равна “реинвестированной” под ставку r=YTM на t лет текущей цене облигации, что еще раз доказывает полезность и универсальность эффективной ставки. Мы относимся к купонной облигации точно так же, как к бескупонной, и получаем прямую аналогию с банковским вкладом: вложили 1000 р. на 3 года под 10% с ежегодной капитализацией, а в конце второго года уже накопили 1000·1.1·1.1=1210 рублей. Вообще говоря, планируемая накопленная стоимость нужна, чтобы инвестор понимал, как ему сколотить определенный капитал к определенному моменту, например для выплаты долга или покупки ценного предмета.

А если хочется иметь не одну облигацию, а несколько? Как посчитать доходность портфеля, чтобы затем узнать интересующий нас TV? Можно в интернете поискать рецепт  и узнать, что  “Доходность портфеля облигаций определяется, как сумма произведений доходности (YTM) каждого выпуска на его долю (W) в портфеле”, что, конечно же, неправда.  Эта методика будет верно определять доходность портфеля, только если доходности входящих в него бумаг равны. Во всех остальных случаях доходность YTM портфеля не равна средневзвешенной доходности составляющих его облигаций. 

Чем больше различаются доходности, сроки погашения и вес облигаций, входящих в портфель, тем сильнее будет ошибка измерения доходности с помощью процедуры “средневзвешивания”. Так, истинная YTM портфеля из двух уже полюбившихся нам 10-летних облигаций с одинаковой номинальной стоимостью, ставкой купона 10%, но разными YTM₁ = 7% и  YTM₂ = 15% будет равна 10.33%, а по “средневзвешенной” формуле — 10.06% Расхождение может быть гораздо серьезнее для облигаций с неравными сроками погашения и доходить до 50-100 б.п., что существенно исказит картину на длинном горизонте. В качестве самого простого примера можно взять две бескупонные облигации — годовую и 10-летнюю, номинальными стоимостями 1000 и 5000, и YTM₁ = 8%, YTM₂ = 3% соответственно. Средневзвешенная ставка по такому портфелю получится равной 4%, а на самом деле его YTM равна 3.12%

 Отдельный вопрос, почему в мире плоских процентных ставок сходные по общим характеристикам облигации могут иметь столь разную доходность (не могут), но в данный момент для нас важна методика вычислений, и она должна быть корректной. А если примерной, то важно понимать границы нашего приближения.

Правило 1. Для вычисления YTM портфеля облигаций необходимо складывать их стоимости с одной стороны, будущие денежные потоки с другой, а уже потом находить доходность к погашению. Из-за того, что будущие потоки портфеля в большинстве случаев идут вразнобой, доходность необходимо считать по усовершенствованной правильной методике п. (4) , т.е. так как если бы ее считал нам Quik или сайт Мосбиржи. Для близких по доходности и сроку погашения, равномерно взвешенных в портфеле облигаций, не возбраняется использовать формулу средневзвешенной доходности для примерного расчета YTM портфеля.

В учебной литературе и нашем настольном глянцевом журнале также  можно прочесть, что Дюрация портфеля облигаций — это средневзвешенная дюрация отдельных облигаций. И, как мы уже догадываемся,  это тоже неправда. Дюрация портфеля не равна средневзвешенной дюрации составляющих его облигаций.  Доказывать на примерах мы данное утверждение не будем, каждый может проверить это самостоятельно, или справиться, например, в  данном источнике.  

Однако, если ошибка вычисления YTM может сильно подпортить дальнейшие расчеты справедливых цен сложных портфелей, то погрешность в дюрации не столь критична, так как эффективная дюрация и так используется для примерного определения процентного риска. Поэтому в справочной литературе модифицированную (эффективную) дюрацию портфеля зачастую так прямо и определяют, через средневзвешенное значение эффективных дюраций бумаг, входящих в его состав. Нам просто следует помнить, что это приближенный расчет. У определенной таким образом дюрации портфеля есть одно замечательное свойство: если доходности всех облигаций в портфеле изменяются на одну и ту же малую величину (но только в этом случае), дюрация портфеля  служит мерой его процентного риска в том смысле, что мы описывали в предыдущих главах. Это не так, если доходности движутся разнонаправленно, каждая по своему усмотрению. Учитывая всё сказанное, мы можем перенести понятие планируемой накопленной стоимости и на портфели облигаций:  TV_t= П₀[r](1+r)^t Доходность в данном случае будет  рассчитываться по корректной методике Правила 1.

 А что будет, если доходности вдруг изменятся сразу после покупки портфеля? Дело в том, что у простых купонных облигаций помимо обычного процентного риска есть еще так называемый риск реинвестирования и это большой недостаток в использовании YTM при подсчете планируемого дохода.  Конечная фактическая стоимость портфеля на момент погашения (или по истечении горизонта инвестирования) может быть как выше, так и ниже предполагаемой в момент покупки портфеля.

Рассмотрим в качестве “портфеля” 10-летнюю облигацию с ежегодной выплатой купона по ставке 10%, продающуюся за номинал 1000р. Ее YTM = 10%. Ее планируемая стоимость TV_T при погашении 2594 руб. Предположим, что сразу после покупки облигации рыночные ставки изменились на величину dr и после этого остались такими же вплоть до погашения. Тогда фактическая стоимость (realized value) на момент погашения будет равной RV = П₀(r+dr)(1+r+dr)^t В сам момент скачка доходности немедленно  изменятся и цена облигации, и прогнозируемый денежный поток от реинвестирования купонов. Найдем отдельно П₀(r+dr) и RV как для положительного так и отрицательного изменения ставок dr на 1 п.п.

Yield	Par Value	Price	RV
10%	1000	1 000.00	2 593.74
9%	1000	1 064.18	2 519.29
11%	1000	941.11	2 672.20

Мы обнаружим интересную вещь: при падении ставки цена облигации в моменте увеличилась, но необходимость реинвестирования купонов под более низкий процент уменьшило нашу фактическую стоимость на момент погашения. Мы получили меньше, чем планировали изначально. С повышением ставки все обстоит ровно наоборот — реинвестирование купонов под высокий процент отбивает всю просадку и приносит доп. доход. К такому результату нас привели конкурирующие взаимодействия цен и реинвестированных купонов. 

А значит, где-то по дороге есть место, где накапливаемая стоимость будет совпадать с планируемой при любом варианте развития событий. Это хорошо видно на рис 1.

 

 

 

Сами кривые пересекаются, конечно, в разных точках, так как отклонение доходности на 1 п.п. вверх не равнозначно такому же ее отклонению вниз, и это одно из проявлений свойства выпуклости кривых доходностей (зависимости цен облигаций от YTM). Но участок, где они примерно “сходятся” очень близок к дюрации Маколея для облигации с YTM=10%, которую мы изначально купили (6.54 года). Оценку дюрации Маколея для портфеля мы можем легко найти по обычной формуле через модифицированную дюрацию и эффективную ставку портфеля, предварительно рассчитанных так, как обсуждалось выше. 

 В целом, справедливо следующее утверждение: при однократном малом изменении доходности портфеля его целевая накопленная стоимость будет не меньше планируемой, если горизонт инвестора примерно равен дюрации Маколея, первоначально рассчитанной для этого портфеля. Поэтому, инвестор, желающий защититься от такого изменения ставок выбирает портфель с дюрацией равной его горизонту инвестирования.

В литературе этот феномен принято называть “однопериодной иммунизацией”, хотя я и не вполне согласен с термином. Иммунизация лексически подразумевает некое активное действие, а не приобретение портфеля и дальнейшее ожидание у моря погоды. Полностью иммунизированный портфель должен состоять как из длинных, так и коротких позиций по облигациям, так что его дюрация в любой момент поддерживается равной нулю, а для этого портфель нужно постоянно ребалансировать. Нечто подобное делают банки, чтобы не допускать перекоса в соотношении платных активов и пассивов. Им нужно, чтобы стоимость как активов, так и обязательств поддерживалась в нужной пропорции и случайные изменения процентной ставки не били по капиталу. Для них короткая позиция — это наши вклады, собственные облигации и другие обязательства.  

Короткая позиция инвестора-физлица на самом деле существует, просто она не столь очевидна. Она скрыта за горизонтом инвестирования, т.е. неявно подразумевается, что у инвестора есть обязательство, которое нужно исполнить к этому моменту, иначе зачем ему фиксировать для себя какие-то сроки. Идеальным портфелем в таком случае был бы набор бескупонных облигаций — каждая для своего срока расчетов, — если у инвестора  имеется твердый график. Следует подчеркнуть, что отношение к иммунизации портфеля у обычных  трейдеров в корне отличается от того, что под ней понимается в литературе. Чаще всего трейдеры покупают  облигацию, чтобы какое-то время в ней пересидеть, зафиксировав прибыль по другим своим позициям и зарабатывая НКД, пока не представится возможность более выгодного вложения.