Теорема зонтика, или Искусство правильно смотреть на мир через призму математики.

Теорема зонтика, или Искусство правильно смотреть на мир через призму математики. Микаэль Лонэ. Серия: Красота математики. 

Знаете ли вы, что 34 апреля — очень полезный день? 

Что некоторые реки текут снизу вверх? 

Что Луна вращается по прямой? 

Что, возможно, обложка этой книги красная? 

И что, читая эти строки, вы несетесь со скоростью 300 000 километров в секунду? Эти утверждения могут показаться вам абсурдными, но все они верны!

В своей книге «Теорема зонтика, или Искусство правильно смотреть на мир через призму математики» Микаэль Лонэ приглашает нас в захватывающее путешествие, которое начинается в супермаркете и заканчивается в головокружительных глубинах черных дыр.

Да, и еще один вопрос: при чем тут зонтик? Узнаете из книги!

Наше восприятие мира обманчиво. 

Наука часто ставит под сомнение наши самые сокровенные убеждения. 

Математика дает нам мощный инструмент для понимания механизмов Вселенной. 

Она учит нас мыслить шире и понимать больше, а главное, незримо сопровождает в нашей повседневной жизни. 

Купить книгу: Литрес https://clck.ru/32qPDZ Лабиринт https://clck.ru/32qP9D 

Автор книги — математик Микаэль Лонэ, популяризатор науки, создатель канала Micmaths (более 540 000 подписчиков), автор «Большого романа о математике».

Наука — замечательная почва для сомнений, а математика — один из самых мощных инструментов. 

Заниматься математикой — как заглянуть за кулисы мира. Украдкой понаблюдать за гигантскими винтиками, которые вращают нашу Вселенную. 

ЧАСТЬ I/ ЗАКОН СУПЕРМАРКЕТОВ. ЗАКОН БЕНФОРДА.

Статистика показывает, цены на более чем тысячу товаров, и почти треть из них начинается с 1! 

Чуть больше четверти начинается с 2, и чем больше цифра, тем реже она встречается.

Факт: первые цифры цен в супермаркете распределены неравномерно. 

Преобладают — со значительным отрывом — небольшие цифры.

Откуда этот дисбаланс? 

В супермаркете у математики есть любимчики — цифры 1 и 2.

Около 30% проанализированных чисел начинаются с 1,

 18% — с 2, 

и чем больше цифра, тем реже она встречается;

так, только 5% чисел начинаются с 9.

Возьмите любой набор чисел в любом контексте, проанализируйте первые цифры и увидите: закон Бенфорда работает.

Этот статистический закон совсем не исключительный, он, похоже, совершенно естественный и повсеместный. 

И, как ни парадоксально, равномерного распределения цифр, которое могло бы показаться нам более интуитивно-вероятным, на практике просто не существует.

Понять этот закон — значит понять нечто фундаментальное об устройстве нашего мира.

В 1938 году Фрэнк Бенфорд назвал это распределение «законом аномальных чисел». 

Тем не менее этот закон настолько распространен, что такое название кажется неуместным. Аномальность субъективна и существует только в умах людей, которые ей поражаются. 

Природа, напротив, кажется, находит этот закон универсальным. 

НАШЕ ВРОЖДЕННОЕ ЧУВСТВО ЧИСЕЛ.

Многие животные обладают естественным чувством количества. Хотя бы для того, чтобы оценить объем пищи, который им нужно накопить, или количество хищников, которых им нужно избежать, чтобы выжить. 

Их чувство величины довольно приблизительно и ограниченно по сравнению с человеческим, тем не менее удивительно.

Но, каждый раз животные терялись, когда сталкивались с числами, которые находятся в середине какого-либо отрезка.

Пытаясь выяснить сами истоки нашего понимания чисел, мы неизбежно приходим к одному и тому же выводу: 

наше естественное чувство величин преимущественно мультипликативно.

Мультипликативное мышление не является ни осознанным, ни точным. 

Полученные результаты спонтанны и интуитивны, как и ваша первая интуитивная реакция, когда вы поместили миллион в середину отрезка от тысячи до миллиарда. Они не свидетельствуют о математических знаниях, а просто демонстрируют работу врожденного, по-видимому, механизма, который наделяет нас преимущественно мультипликативной интуицией на числа.

По мере изучения математики мультипликативная интуиция постепенно исчезает.

ПИСЬМЕННОСТЬ БЕЗ НУЛЕЙ И ЗАПЯТЫХ.

Хорошие идеи не умирают. Они просто иногда впадают в спячку на несколько столетий, ожидая своего часа. Готовые снова появиться, когда придет время, в голове любопытного и вдохновенного Homo sapiens. 

Ноль вернется в Индию примерно в 300 году нашей эры, когда будет изобретена десятичная система, которую мы унаследовали.

Вселенная, в которой мы живем, в основном организована мультипликативно, и науке все еще часто приходится переводить мультипликативный мир в аддитивный. Всякий раз, когда ей приходится это делать, она возвращается к этому старому логарифмическому мосту, построенному Непером более четырех веков назад и все так же посещаемому.

Зачастую полезно упорядочивать вещи в логарифмических масштабах.

Хорошим примером этого является шкала магнитуд Рихтера, которая измеряет интенсивность землетрясений. 

Увеличение на единицу по этой шкале на самом деле соответствует десятикратному увеличению амплитуды землетрясения. 

Таким образом, толчки при землетрясении магнитудой 7,0 в десять раз сильнее, чем при землетрясении магнитудой 6,0. 

Самое сильное зарегистрированное землетрясение произошло 22 мая 1960 года в Вальдивии, Чили. 

При магнитуде 9,5 толчки были в миллион раз сильнее, чем при магнитуде 3,5, которую люди едва ощущают

ПОЧЕМУ МИР МУЛЬТИПЛИКАТИВЕН?

Числа в мире распределяются равномерно, но равномерно с мультипликативной точки зрения! 

Таким образом, выбрав какое-нибудь природное явление и собрав данные, мы получим примерно одинаковое количество чисел от 1 до 2, от 2 до 4 и от 4 до 8. 

Все они охватывают интервал от одного числа к числу в два раза большему. Естественно, числа, начинающиеся с 1 или 2, встречаются чаще, чем начинающиеся с 7, 8 или 9. 

Тем не менее остается один последний вопрос. 

Хорошо, мир предпочитает умножение, но почему? Почему реальность во всем предпочитает это распределение.

Опять же, ответ кроется не в природе, а скорее в предвзятости людей, которые за ней наблюдают.

Закон Бенфорда нашел свое конкретное применение.

Предложили использовать его, чтобы отслеживать мошенничества. 

Принцип прост: когда мошенники манипулируют численными данными в своих интересах, они допускают ошибку. 

Числа, которые они используют, не соответствуют обычному распределению первых цифр. 

В частности, выявлено, что сфальсифицированные данные начинаются с 5 или 6 чаще, чем следовало бы. Возможно, потому что мошенники склонны полагать, что средняя цифра кажется менее подозрительной или более нормальной, чем число, начинающееся с 1 или 9. 

Это приводит к тому, что на первых позициях в числах появляется гораздо больше 5 и 6. Частота такого распределения позволяет оценить количество потенциальных мошенников. Этот метод, например, использовался для отслеживания статистических данных в налоговых декларациях или для выявления манипуляций с подсчетом голосов на выборах.

ЧАСТЬ II. ЯБЛОКИ И ЛУНЫ.

Если измерить высоту Эвереста от центра Земли, то она составляет 6382,6 м, а Чимборасо — 6384,4 км. 

Чимборасо на 2 метра выше Эвереста!

Вулкан Чимборасо, расположенный в самом сердце эквадорской Сьерры.

Математика издавна предоставляла нашим предкам настоящий арсенал для познания мира. И одним из наиболее важных инструментов в этом наборе является концепция числа.

Большей части чисел в нашей повседневной жизни вовсе не обязательно быть числами, чтобы играть свою роль. Многие из них — результат чисто субъективного выбора. Номера домов на одной улице, почтовые индексы, номера социального страхования, номера телефонов.

Все эти числа с таким же успехом можно было бы заменить любыми буквами или символами.

Числам не обязательно быть «количеством чего-то», и тем не менее они полностью заслуживают своего статуса математических объектов.

Великая сила математики заключается в том, чтобы уметь говорить об идеальных объектах без возвращения их к конкретному контексту, в котором они возникли. 

Давайте оставим позади утверждения о том, что надо знать, что обозначают числа, чтобы понять их внутренние свойства. Независимо от того, что они означают, и даже неважно, значат ли они хоть что-то, мы сможем их изучить.

О ПОЛЬЗЕ ЗОНТИКОВ.

Как только человек соглашается открыть над своей головой зонтик абстракции и войти в мир математики, он больше ничем не обязан реальному. Не нужно обременять себя излишними ограничениями или стереотипами. 

Хотите 34 апреля? Пожалуйста! 

Вам нужны отрицательные числа? Берите! 

Хотите бесконечности? Вот она*

Зачем лишать себя всех этих идей, если они не вредят организации вашего мышления или даже способствуют ему? 

Вы свободны!

Полезность приводит нас к созданию абстрактных миров, максимально приближенных к реальности, чтобы проведенные там исследования можно было бы легко перевести в знания о нашей Вселенной. 

Элегантность же предлагает нам полностью забыть реальный мир, с головой окунувшись в мир абстракций. Там можно сделать так много прекрасного — и чем бесполезнее это, тем оно прекраснее.

Осознание того, что природа любит работать в соответствии с изящной математикой, ошеломляет и сбивает с толку. 

УСПЕХИ ГРАВИТАЦИИ.

Вектор — это своего рода число с компасом. Если вы сложите число, направленное на запад, с числом, направленным на юг, вы получите число, которое направлено на юго-запад. 

ФОРМА ЗЕМЛИ.

Наша планета совершает оборот вокруг своей оси за двадцать четыре часа, но поскольку точки на экваторе находятся дальше от оси вращения, чем точки на полюсах, они вращаются быстрее, словно стремясь вырваться наружу.

Это явление прекрасно объясняется и рассчитывается с помощью уравнений из «Математических начал» и приводит к странному результату: 

Земля «выпучена» на экваторе и сплющена на полюсах. 

Эта деформация настолько незначительна, что во времена Ньютона не было составлено ни одной географической карты, достаточной точно отображающей этот эффект. Разница между полярным и экваториальным радиусами, предусмотренная теорией, составляет всего 0,4%! Иными словами, экватор находится на двадцать километров дальше от центра Земли, чем полюс.

Поскольку центр тяжести Земли смещен, при определенных условиях можно спуститься вниз, удаляясь от центра Земли. 

Река Миссисипи в Соединенных Штатах обладает этим странным свойством. 

Ее исток, расположенный в парке Айтаска в Миннесоте, ближе на 5 км к центру нашей планеты, чем ее дельта в Мексиканском заливе. 

Американская река, похоже, течет вверх! 

Но это всего лишь иллюзия, и если мы обратимся к уровню моря, то все вернется на круги своя: река Миссисипи берет свое начало на высоте 450 метров над уровнем моря, а заканчивается на высоте 0 метров. 

Вода в реке течет вниз, но, направляясь на юг, она приближается к раздутому экватору и, следовательно, удаляется от центра. 

Схожий парадокс происходит и в случае с Эверестом и Чимборасо. 

Последняя вершина находится дальше от центра Земли, и все же, если бы между ними был построен акведук, вода в нем текла бы от Непала к экватору. Если бы низ находился в центре Земли, это было бы совершенно невозможно.

P.S. Zen https://zen.yandex.ru/id/6228a9bdb2ff024222e4cab2 

Подписывайтесь, оставляйте, пожалуйста, в Дзен комментарии. Это сейчас, наверно, единственная платформа, которая платит авторам за активность аудитории.

Поддержать канал: https://boosty.to/kolesnikov

Telegram https://t.me/kudaidem2

VK https://vk.com/id170715284

Youtube https://www.youtube.com/channel/UCrTyPO-n1ccPnf2mjMsUaJA

Подпишитесь — будем на связи и в курсе происходящего.