Триномиальные модели опционного ценообразования
Триномиальные модели, в сущности, являются простым и элегантным расширением биномиальной модели, позволяют получать оценки, которые более быстрыми темпами сходятся к теоретической стоимости простых опционов европейского и американского стиля, а так же позволяют избавиться от некоторых неудобств (эффекта зиг-зага, или как его еще называют, эффекта пилы) при оценке иных видов экзотических опционов, в частности нок-ин и нок-аут опционов с барьером.
Триномиальные деревья в модели, так же как и в биномиальном методе, являются рекомбинируемыми. То есть, траектории с числом шагов больше одного и одним и тем же числом повышений и понижений цены в итоге будет оказываться в одной и той же вершине дерева. Это очень важное свойство позволяет сократить число вершин дерева, что оказывается очень полезным при реализации вычислений на компьютере.
Кроме того, отметим еще одно свойство Триномиальных деревьев, касающееся числа вершин. Если начиная с исходной цены, то есть с 0-го момента времени в биномиальном дереве присутствует только одна вершина, то на первом шаге, то есть в первый момент времени, вершин будет две, и далее число вершин будет насчитываться 3,… , j+1,… , N+1. N - Число шагов в модели, а j - номер шага. В триномиальной модели чисто вершин для каждого j-го шага составит 0, 3, 5, 7,…, 2*j-1,…, 2*N-1.
Триномиальное дерево.
Обозначим через t длительность периода, соответствующего однму шага:
t=T/N, где
T - время до экспирации опциона,
N - число шагов.
Для каждой вершины последующие изменения цены дадут три возможных значения:
u = sigma * sqrt (2*t) — для роста, S[j+1] = S[j]*exp(u)
d = -sigma * sqrt (2*t) — для роста, S[j+1] = S[j]*exp(d)
m = 1, то есть S[j+1] = S[j]
Где sigma - волатильность (сигма).
С соответствующими вероятностями:
uP = ( ( exp( (r-q)*t/2 ) — exp( -sigma*sqrt(t/2) ) ) / ( exp( sigma*sqrt(t/2) ) — exp( -sigma*sqrt(t/2) ) ) )^2,
dP = ( exp( sigma*sqrt(t/2) ) — ( exp( (r-q)*t/2 ) ) / ( exp( sigma*sqrt(t/2) ) — exp( -sigma*sqrt(t/2) ) ) )^2,
mP = 1 - uP - dP.
Где
r - процентная ставка,
q - «дивидендная» доходность базового актива.
Триномиальное дерево с параметрами Хулла.
Хулл (J.Hull [2 стр 405]) устанавливает следующие параметры триномиальной модели:
u = sigma * sqrt (3*t),
d = -sigma * sqrt (3*t),
m = 1.
И вероятности:
uP = -sqrt( t/(12*sigma*sigma) ) * ( r-q-sigma*sigma/2 ) + 1/6,
dP = sqrt( t/(12*sigma*sigma) ) * ( r-q-sigma*sigma/2 ) + 1/6,
mP = 2/3.
Триномиальное дерево обобщенная запись.
Ritchken и Kamrad предложили следующую модель [3]:
u = l*sigma * sqrt (t),
d = -l*sigma * sqrt (t),
m = 1.
Здесь l - обозначение некоторого параметра «лямбда», характеризующий размах колебаний цены в модели.
Вероятности будут определяться как
uP = 1/(2*l*l) + m*sqrt(t)/(2*l*sigma),
dP = 1/(2*l*l) - m*sqrt(t)/(2*l*sigma),
mP = 1-1/(l*l),
Где m = r - q - sigma*sigma/2
При l=1, модель соответствует биномиальной модели. А при l=2 и при l=3, получаем модели, рассмотренные выше.
Трюк Ritchken и Kamrad — корректировка «лямбды».
В ряде случаев, в частности при оценке барьерных опционов, рассмотренные выше модели сталкиваются в проблемой «пилы» (или «зигзага») — оценки сходятся и отскакивают от теоретической стоимости, как бы, зигзагообразно. Для того чтобы сгладить этот эффект, было предложено корректировать параметр «лямбда» таким образом, чтобы гарантировано иметь вершину триномиального дерева точно на барьерном уровне.
Лямбду при этом можно рассчитать следующим образом:
Зададим первоначальное значение l = 1. Теперь рассчитаем число последовательных движений цены (либо вверх, если барьерный уровень выше чем первоначальное значение спот-цены, либо вниз, в случае, если барьер ниже). В качестве примера рассмотрим случай, когда барьер выше спот цены на момент оценки барьерного опциона (для случая, когда барьер ниже, задача решается аналогично с некоторыми соответствующими изменениями).
S[0]*exp(u*n0) < B, где
B - барьер,
n0 - искомое число последовательных повышений цены - n0 целое.
exp(u*n0) < B/S[0],
u*n0 < ln (B/S[0]),
sigma*sqrt(t)*n0 < ln (B/S[0]), откуда
n0 < ln (B/S[0]) / ( sigma*sqrt(t) ),
и определяем лямбду, исходя из того, что
n0 * l = ln (B/S[0]) / ( sigma*sqrt(t) ), то есть
l = ln (B/S[0]) / ( sigma*sqrt(t)*n0 ).
Иначе, требуется найти максимальное число шагов последовательного изменения цены (либо вверх, либо вниз), при котором на следующем шаге (дальнейшее повышение или снижение цены) очередная вершина дерева перескочит заданный барьер. Далее «лямбда» корректируется таким образом, чтобы уровень цены в этой вершине совпал с барьером.
Замечание: здесь используется строгое неравенство, в том виде, как это представлено в [4].
1. Boyle, P., «Option Valuation Using a Three-Jump Process», International Options Journal 3, pages 7-12 (1986)
2. Hull J. “Options, Futures and Other Derivative Securities”, Fourth Edition, Prentice–Hall, 2000
3. Ritchken,P., “On Pricing Barrier Options.”, The Journal of Derivatives, 3,2 Winter 1995, pp 19-28
4. Shaun Martin Levitan. «Advanced Mathematics of Finance Honours Lattice Methods for Barrier Options», December 10, 2001
Триномиальные деревья в модели, так же как и в биномиальном методе, являются рекомбинируемыми. То есть, траектории с числом шагов больше одного и одним и тем же числом повышений и понижений цены в итоге будет оказываться в одной и той же вершине дерева. Это очень важное свойство позволяет сократить число вершин дерева, что оказывается очень полезным при реализации вычислений на компьютере.
Кроме того, отметим еще одно свойство Триномиальных деревьев, касающееся числа вершин. Если начиная с исходной цены, то есть с 0-го момента времени в биномиальном дереве присутствует только одна вершина, то на первом шаге, то есть в первый момент времени, вершин будет две, и далее число вершин будет насчитываться 3,… , j+1,… , N+1. N - Число шагов в модели, а j - номер шага. В триномиальной модели чисто вершин для каждого j-го шага составит 0, 3, 5, 7,…, 2*j-1,…, 2*N-1.
Триномиальное дерево.
Обозначим через t длительность периода, соответствующего однму шага:
t=T/N, где
T - время до экспирации опциона,
N - число шагов.
Для каждой вершины последующие изменения цены дадут три возможных значения:
u = sigma * sqrt (2*t) — для роста, S[j+1] = S[j]*exp(u)
d = -sigma * sqrt (2*t) — для роста, S[j+1] = S[j]*exp(d)
m = 1, то есть S[j+1] = S[j]
Где sigma - волатильность (сигма).
С соответствующими вероятностями:
uP = ( ( exp( (r-q)*t/2 ) — exp( -sigma*sqrt(t/2) ) ) / ( exp( sigma*sqrt(t/2) ) — exp( -sigma*sqrt(t/2) ) ) )^2,
dP = ( exp( sigma*sqrt(t/2) ) — ( exp( (r-q)*t/2 ) ) / ( exp( sigma*sqrt(t/2) ) — exp( -sigma*sqrt(t/2) ) ) )^2,
mP = 1 - uP - dP.
Где
r - процентная ставка,
q - «дивидендная» доходность базового актива.
Триномиальное дерево с параметрами Хулла.
Хулл (J.Hull [2 стр 405]) устанавливает следующие параметры триномиальной модели:
u = sigma * sqrt (3*t),
d = -sigma * sqrt (3*t),
m = 1.
И вероятности:
uP = -sqrt( t/(12*sigma*sigma) ) * ( r-q-sigma*sigma/2 ) + 1/6,
dP = sqrt( t/(12*sigma*sigma) ) * ( r-q-sigma*sigma/2 ) + 1/6,
mP = 2/3.
Триномиальное дерево обобщенная запись.
Ritchken и Kamrad предложили следующую модель [3]:
u = l*sigma * sqrt (t),
d = -l*sigma * sqrt (t),
m = 1.
Здесь l - обозначение некоторого параметра «лямбда», характеризующий размах колебаний цены в модели.
Вероятности будут определяться как
uP = 1/(2*l*l) + m*sqrt(t)/(2*l*sigma),
dP = 1/(2*l*l) - m*sqrt(t)/(2*l*sigma),
mP = 1-1/(l*l),
Где m = r - q - sigma*sigma/2
При l=1, модель соответствует биномиальной модели. А при l=2 и при l=3, получаем модели, рассмотренные выше.
Трюк Ritchken и Kamrad — корректировка «лямбды».
В ряде случаев, в частности при оценке барьерных опционов, рассмотренные выше модели сталкиваются в проблемой «пилы» (или «зигзага») — оценки сходятся и отскакивают от теоретической стоимости, как бы, зигзагообразно. Для того чтобы сгладить этот эффект, было предложено корректировать параметр «лямбда» таким образом, чтобы гарантировано иметь вершину триномиального дерева точно на барьерном уровне.
Лямбду при этом можно рассчитать следующим образом:
Зададим первоначальное значение l = 1. Теперь рассчитаем число последовательных движений цены (либо вверх, если барьерный уровень выше чем первоначальное значение спот-цены, либо вниз, в случае, если барьер ниже). В качестве примера рассмотрим случай, когда барьер выше спот цены на момент оценки барьерного опциона (для случая, когда барьер ниже, задача решается аналогично с некоторыми соответствующими изменениями).
S[0]*exp(u*n0) < B, где
B - барьер,
n0 - искомое число последовательных повышений цены - n0 целое.
exp(u*n0) < B/S[0],
u*n0 < ln (B/S[0]),
sigma*sqrt(t)*n0 < ln (B/S[0]), откуда
n0 < ln (B/S[0]) / ( sigma*sqrt(t) ),
и определяем лямбду, исходя из того, что
n0 * l = ln (B/S[0]) / ( sigma*sqrt(t) ), то есть
l = ln (B/S[0]) / ( sigma*sqrt(t)*n0 ).
Иначе, требуется найти максимальное число шагов последовательного изменения цены (либо вверх, либо вниз), при котором на следующем шаге (дальнейшее повышение или снижение цены) очередная вершина дерева перескочит заданный барьер. Далее «лямбда» корректируется таким образом, чтобы уровень цены в этой вершине совпал с барьером.
Замечание: здесь используется строгое неравенство, в том виде, как это представлено в [4].
1. Boyle, P., «Option Valuation Using a Three-Jump Process», International Options Journal 3, pages 7-12 (1986)
2. Hull J. “Options, Futures and Other Derivative Securities”, Fourth Edition, Prentice–Hall, 2000
3. Ritchken,P., “On Pricing Barrier Options.”, The Journal of Derivatives, 3,2 Winter 1995, pp 19-28
4. Shaun Martin Levitan. «Advanced Mathematics of Finance Honours Lattice Methods for Barrier Options», December 10, 2001
