12 июля 2019, 00:08
Расставляем точки над IV и HV, считаем на R, для новичков
Решил рискнуть и поднять довольно холиварную тему, и разобраться, какие виды волатильностей бывают и чем они отличаются. Всё ниже-сказанное прежде всего рассчитано на новичков, которые уже имеют представление о волатильности, но теряются в догадках, какую же всё-таки использовать (как и я). Чтобы понять о чем пойдет речь далее, необходимо иметь базовые представления о модели Блэка-Шоулза (БШ).
Для вычисления цены опциона, обычно используют формулу БШ, которая принимает следующие параметры:
OptionPrice = Vbs(S, t, sigma, r, K, T)
Но на рынке, опционы уже торгуются по неким ценам. Одни продают, другие покупают. Если взять цену опциона с рынка и вычислить волатильность, которую подставив в формулу БШ, мы сможем получить рыночную цену опциона — это и будет подразумеваемая волатильность или Implied Volatility.
Решить уравнение БШ и вывести из него sigma — не простая задача. Скорее всего, даже не возможная, по-этому решается оно методом перебора Ньютона-Рафсона.
Ниже представлен код на язык R, который принимает основные параметры из формулы БШ, но вместо волатильности используется цена опциона, а отдает подразумеваемую волатильность. Расчет d1 и d2, неоднократно был представлен в моих постах ранее и будет в коде, ссылка на который в конце статьи.
В двух словах, мы берем максимально возможную волатильность равную 1, подставляем её в формулу БШ, вычисляем цену опциона и постепенно уменьшаем волатильность на небольшой шаг, до тех пор пока цена не совпадет или максимально приблизится к искомой цене опциона.
Используя эту волатильность, мы можем построить такой график (использовались цены закрытия для RIU9):
Да, он какой-то не идеальный, в отличае от того, что рисуют разные сервисы. Не знаю как у них так получается...
Теперь подходим к самому интересному, к исторической волатильности. Эта волатильность вычисляется на основе исторических данных, а именно цене базового актива. Что характерно, для её вычисления ничего не нужно знать кроме цен и времени. Но даже с таким не большим числом входных параметров, вычисление HV может быть довольно трудоемким.
Насколько мне позволяют судить мои знания, нет единого мнения, о том как правильно считать HV. Существует несколько общепринятых моделей с простыми и сложными вычислениями. Приведу список с коротким описанием без формул, чтобы никого не травмировать, тем более они легко гуглятся по названиям:
Так как в нашем распоряжении есть язык R, то для вычисления HV используем готовую библиотеку — TTR. Её код открыт, вычисления при необходимости можно проверить.
Для вычисления HV нам понадобятся данные: цены закрытия, открытия, хаи и лоу. Я подготовил данные за последние 252 дня для фьючерса RIU9:
Используя этот код, мы теперь можем построить график исторической волатильности:
Здесь отображена волатильность рассчитанная по Close-to-Close (черным) и Yang-Zhang (красным).
Используя всё выше-сказанное, попробуем нарисовать на одном графике IV и HV.
HV на графике будет прямой линией (черная — close-to-close, оранжевая — Yang-Zhang).
Теперь используя HV вычислим цену опционов по формуле БШ и отобразим на графике.
Ссылки на код
И какую же волатльность использовать?
Для меня, на данный момент, однозначного ответа нет. Скорее всего, на СЛ это уже обсуждалось сотни раз, но я был бы признателен, если опытные коллеги поделились бы своими соображениями по этому поводу. А именно, почему многие предпочитают наиболее простой Close-to-Close? Какую волатильность используют для ДХ?
Что такое Implied Volatility (IV)?
Для вычисления цены опциона, обычно используют формулу БШ, которая принимает следующие параметры:
OptionPrice = Vbs(S, t, sigma, r, K, T)
Но на рынке, опционы уже торгуются по неким ценам. Одни продают, другие покупают. Если взять цену опциона с рынка и вычислить волатильность, которую подставив в формулу БШ, мы сможем получить рыночную цену опциона — это и будет подразумеваемая волатильность или Implied Volatility.
Вычисляем IV
Решить уравнение БШ и вывести из него sigma — не простая задача. Скорее всего, даже не возможная, по-этому решается оно методом перебора Ньютона-Рафсона.
Ниже представлен код на язык R, который принимает основные параметры из формулы БШ, но вместо волатильности используется цена опциона, а отдает подразумеваемую волатильность. Расчет d1 и d2, неоднократно был представлен в моих постах ранее и будет в коде, ссылка на который в конце статьи.
В двух словах, мы берем максимально возможную волатильность равную 1, подставляем её в формулу БШ, вычисляем цену опциона и постепенно уменьшаем волатильность на небольшой шаг, до тех пор пока цена не совпадет или максимально приблизится к искомой цене опциона.
Используя эту волатильность, мы можем построить такой график (использовались цены закрытия для RIU9):
- красный — call
- зеленый — put
- синий — текущая цена БА
Да, он какой-то не идеальный, в отличае от того, что рисуют разные сервисы. Не знаю как у них так получается...
Что такое Historical Volatility (HV)?
Теперь подходим к самому интересному, к исторической волатильности. Эта волатильность вычисляется на основе исторических данных, а именно цене базового актива. Что характерно, для её вычисления ничего не нужно знать кроме цен и времени. Но даже с таким не большим числом входных параметров, вычисление HV может быть довольно трудоемким.
Насколько мне позволяют судить мои знания, нет единого мнения, о том как правильно считать HV. Существует несколько общепринятых моделей с простыми и сложными вычислениями. Приведу список с коротким описанием без формул, чтобы никого не травмировать, тем более они легко гуглятся по названиям:
- Close-to-Close — вычисляется по формуле дисперсии используя цены закрытия — самая простая и самая неточная модель.
- Parkinson — создана в 1980 году, вместо цен закрытия использует максимальную и минимальную цену БА.
- Garman-Klass — тоже в 1980 году, но уже использует вместе с макисмальными и минимальными ценами БА, цены открытия и закрытия.
- Rogers-Satchell — создана в 1990 году, в этой формуле было учтено, что БА не обладает нулевым МО, но всё еще плохо обрабатываются скачки БА.
- Garman-Klass Yang-Zhang — японский математик Янг-Жанг модифицировал формулу Garman-Klass, чтобы она могла обрабатывать резкие скачки БА.
- Yang-Zhang — в 2000 году была создана формула, которая учитывает и скачки БА и ненулевое МО и дрифт.
Вычисляем HV
Так как в нашем распоряжении есть язык R, то для вычисления HV используем готовую библиотеку — TTR. Её код открыт, вычисления при необходимости можно проверить.
Для вычисления HV нам понадобятся данные: цены закрытия, открытия, хаи и лоу. Я подготовил данные за последние 252 дня для фьючерса RIU9:
Используя этот код, мы теперь можем построить график исторической волатильности:
Здесь отображена волатильность рассчитанная по Close-to-Close (черным) и Yang-Zhang (красным).
HV против IV
Используя всё выше-сказанное, попробуем нарисовать на одном графике IV и HV.
HV на графике будет прямой линией (черная — close-to-close, оранжевая — Yang-Zhang).
Теперь используя HV вычислим цену опционов по формуле БШ и отобразим на графике.
- красный — рыночная цена put
- зеленый — рыночная цена call
- оранжевый — цена put по HV
- синий — цена call по HV
Ссылки на код
- IV: github.com/dmitryy/finance/blob/master/RScripts/iv-calculation.R
- HV: github.com/dmitryy/finance/blob/master/RScripts/hv-calculation.R
- IV + HV charts: github.com/dmitryy/finance/blob/master/RScripts/hv-calculation-prices.R
И какую же волатльность использовать?
Для меня, на данный момент, однозначного ответа нет. Скорее всего, на СЛ это уже обсуждалось сотни раз, но я был бы признателен, если опытные коллеги поделились бы своими соображениями по этому поводу. А именно, почему многие предпочитают наиболее простой Close-to-Close? Какую волатильность используют для ДХ?
Да, при последующих техдефолтах скорее всего котировки этой бумаги уже не будут испытывать серьезных колебаний, как на первом и втором. Для примера посмотрите РКК, там было уже 5 техдефолтов суммарно ...
Vic, Похоже Байден фальстартнул)) Зеля укоряет — ничего нет, а ты разрешаешь, трепло! Всё пожгли при недавнем налете на Одессу.
Кстати, а отчего ни один смартлабовский военкор, не выкладывает простыни с экспертизой одного из самых массированных ракетных ударов ВС РФ по энерго инфраструктуре братского, со слов Путина, украинско...
1:22
И вообще. НЛМК такое красивое двойное дно нарисовал.
вамсат вамирекс, какой смысл смотреть этот тенек внебиржевой? Вы посмотрите какие там копеешные обьемы. Это вообще ни о чем не говорит
Сергей Аноним, Император ясно дал понять, что применение таких ракет по нашим тылам будет рассматриваться как прямое участие стран НАТО в конфликте. Т.ч., если вся история не попытка усилить перего...
Александр Ядрихинский, ничего умнее не смог придумать в ответ!
Ну ты давай, тренируй мозг, может, через годик-другой начнут получаться умные мысли.
Один из лучших сайтов!!!
khornickjaadle, Сечин изначально заявил бредовые цифры в которые никто не поверил, со строительством городов на Севере, безумным количеством рабочих и т.д.
Запасы природного газа в ПХГ Европы составляют 112.2 миллиарда кубометров
Данные запасы включают запасы в ЕС, Великобритании и на Украине. Заполненность хранилищ 78% (при общей вместимости — 143 ми...
На таком арбитраже только терять.
Проблема в том, что даже если рынок ходит по Гауссу (стохастический тренд Блэка-Шоулза), то существует ещё как минимум такая вещь, как корреляция. У меня есть небольшое исследование на тему того, как сильно можно ошибиться с вычислением HV в предположении коррелированного стохастического сигнала— в 10 раз без проблем.
smart-lab.ru/blog/533648.php
Если корреляция высокая и HV сглаживает… реальную волатильность рынка — получите сильно заниженные оценки, если наоборот, цену болтает относительно движения «справедливой» цены — сильно завышенную.
Господа опционщики, прошу Вас, прочтите статью уважаемого Бегемота и комментируйте, если есть что добавить.
SergeyJu, при всем уважении к автору (кстати, в каких отношениях находятся Kot_Begemot и kot_vezdehot ?) в статье нет никаких подробностей, позволяющих её хоть как-то прокомментировать.
В частности, не расписана математическая модель, использованная при генерации синей и зеленой линии. Без неё все это просто набор слов суть которых сводится к тонким намекам на то, что "я крут".
Как вы прекрасно понимаете, каждая модель имеет свои недостатки и свои преимущества. Поэтому выбор всегда остаётся за вами.
Мы ни в коем случае не настаиваем на своих моделях и своих оценках. Иначе это превращается в общение по принципу «я крут», если не того хуже — в «метание бисера». Иными словами, мы реализуем принцип полной свободы, предлагая каждому самостоятельно оценить сказанное, а не попадать в зависимость от нашего влияния вольным или не вольным образом.
Kot_Begemot, без конкретики не возникает интереса к Вашим статьям, кмк. Свободного творчества у меня и так за глаза хватает, как и своих идей по разным аспектам ремесла.
Построены 2 графика. На вид оба могут быть частными случаями обычного лог-нормального броуновского блуждания. И что? В статье не указаны их математические модели. Как я могу что-то сказать по этим кривулькам? Никак. У меня у самого такого добра выше крыши на винте валяется.
С уважением.
ПС В целом, Вы делаете что-то любопытное, но при оформлении настолько обходите стороной детали, что теряется предмет для обсуждения.
Вы правы, это два частных случая одной и той же реализации нормального блуждания (в лог-масштабе), но с разной автокорреляцией +0.7 и — 0.7 и разными HV 0.33 и 3 соответственно. При том что сама реализация имеет HV = 1.
Постараемся учесть ваше пожелание.
С уважением.
Kot_Begemot, вот видите какой интересный может быть разговор оказывается, если покопаться в деталях. Собственно, теперь было бы хорошо понять что за параметр "HV" закладывается в модель. Параметр сигма нормального распределения? Любопытно. То есть модель для приращения логарифмов примерно такая:
r[j] = N(0,HV) + C*r[j-1]
C — коэффициент корреляции, r — приращение логарифмов, N — нормальное распределение.
Правильно я понял?
Опцион вам нужно теперь покупать по HV, которую высчитываете с учётом коэффициента C. Так как отклонение цены на большом промежутке времени будет пропорционально HV внутри этой модели, а совсем не той HV которая будет посчитана из сигмы логарифмических приращений графика.
Kot_Begemot, бытует мнение, что автокорреляция в доходностях отсутствует. Вроде как, есть какие-то автокорреляции в волатильностях (и то есть возражения некие на этот счет). Но что касается "приращения логарифмов", то она на реальном рынке не очень присутствует.
Может быть, опубликуете Ваше исследование на этот счет? На предмет наличия автокорреляций в доходностях?
Я ниже уже отписался, что простая модель AR(1) не даёт значительного результата. Более сложные модели AR(20) — уже много интеснее. Когда-нибудь, быть может, что-то и сделаю с этим, а пока другими вещами занимаюсь, связанными с трендами.
и 2 слова насчет центра топика — очевидности арбитража: не силен тут строго терминологически, но часто ли наблюдаете IV<RV?
имхо, т.о. результат (на скринах выше) скорее подтверждает вполне себе авторитетную теорию о том, что в модели iv=rv+премия, последняя имеет +ое МО
S(t)=a*E(t-1)+(1-a)*E(t), где E(t) ~ N(0,1)
В модели Б-Ш предполагается S(t)=E(t).
Но есть и другие модели. Например, в «обобщённой модели цены», если отбросить все рассуждения автора, цена представляет из себя бесконечный «боковик» + риск тренда.
smart-lab.ru/blog/135564.php
Очень не плохая модель, как нам кажется. В настоящее время мы разрабатываем нечто подобное для оптимизации портфеля акций. Но это уже никакого отношения не имеет ни к волатильности, ни к мат.статистике.
Продолжаю думать, что самое безопасное, торговать Пут-Колл паритет =))
хотел на эту тему написать топик в скором времени, про положение дел на рынке.
Тут есть два подхода.
1) Стоять в стакане по обе ноги и котировать, но так, чтобы вторая нога всегда исполнилась
2) Реагировать на поставленную кем то заявку, не стоя в стакане.
Второй пункт сложен тем, что прямые конкуренты — это маркетосы. Сначала они съедят заявку, потом можно доедать крохи.
Сейчас положение дел такое, что скоростные маркетосы ушли. Это прям видно. А действующие не справляются.
Отвечая на ваш вопрос. Паритетом, можно попробовать отбивать процентов на 60 стоимость инфраструктуры, если ты офигенно крутой чувак и работаешь по второму варианту в текущем положении дел на бирже.
По первому математика чуть по другому строится. И там можно пробовать отбиться полностью.
Андрей К, напишите, мне будет крайне интересно. Понастальгирую: на заре своего опционного дестства пытался торговать колл-пут паритет. Устал, но особых денег не нашел.
В этой связи неимоверно интересно услышать Ваш взгляд на п1: «стоять так, чтобы вторая заявка всегда исполнилась». Умение добиться (почти) гарантированного исполнения второй заявки — это половина Грааля, кмк.
Поэтому читаю посты из раздела опционов с завистью. Это насколько нужно черепить во всем этом.
Еще думаю, как сильно всем не повезет, когда рыночек еще сожмется, и быстрые ребята начнут «спускаться» до ваших алго, вас же обчитавшись.
Что это происходит, я вижу по другим стаканам.
Теперь самое время сгенерить миллион-другой случайных траекторий с фиксированной волой, построить по ним распределение вероятностей (где окажется цена БА на экспу), по этому распределению вычислить справедливые цены опционов, по этим ценам вычислить IV на каждом страйке и построить улыбку. Увидите, что улыбка горизонтальная прямая.
Дальше придется искать, как усложнить исходный случайный процесс (с фикс. волой), чтобы он давал похожую на рыночную улыбку. Когда этого добьетесь, возможно придете к выводу, что не одна только вола сидит в опционных ценах.
И привидевшийся арбитраж — вдруг растает как мираж :)
Под усложнением я имел ввиду и переменную волу, и другие штуки, позволяющие получить улыбку, похожую на рынок.
Можете, если не секрет, поделиться своим видением — что еще, кроме волы сидит в улыбке?
На мой взгляд улыбка возникает только благодаря разной волатильности при росте/ падении.
Сомневаюсь, что только. Пробовал такой процесс (с корреляцией волы с БА) и улыбка все равно получалась прямой. С наклоном (в зависимости — какая корреляция), но прямой. Чтобы изогнуть ветви, надо было добавлять либо случайные тренды, либо гэпы с взлетом волы после них. Вот пара постов на эту тему:
Откуда возникает улыбка волатильности?
Модель Хестона и гэпы
Что касается улыбки, то она у вас может быть не получается потому, что толстые хвосты были не достаточно толстыми. Улыбка отражает ожидания, страхи событий, которые были в истории, но которые реализуются довольно редко. А вы берёте какой-то небольшой исторический ряд и пытаетесь по частному судить об общем. Для чистоты эксперимента нужно взять всю историю или, если бы вы взяли стохастический ряд, как в общем-то это и заложено в БШ, и затем добавили бы изменчивость волатильности с антикорреляцией к БА, тот получили бы искомую форму улыбки. Кстати, насколько я помню Дмитрий Новиков в своих последних статьях про волатильность именно так и поступил и утверждал, что получил улыбку, похожую на реальную.
А вообще с моей практической точки зрения я не понимаю этих страстей по поводу «правильной улыбки». Для меня это все равно, что пытаться прогнозировать рынок по волнам Элиота, никто не возразит, что рынок двигается волнами и теория Элиота это хорошо описывает, но только постфактум, а с улыбкой волатильности, как вы сами утверждаете, даже постфактум это не получается.
Хвосты чего? Если распределения логарифмов приращений, то там с толщиной было все в порядке. Хвосты были гораздо толще, чем у нормального (предполагаемого в БШ). Но вот незадача — если из этого распределения случайным образом вытягивать приращения и использовать их в случайном процессе, то финальное распределение (прогнозирующее, где окажется цена БА на экспу) получалось уже без толстых хвостов. Вот если вытягивать приращения не случайным образом, а по некоторому закону — вот тогда уже получались толстые хвосты.
Если не спорить с рынком и все время быть с ним согласным, то любая опционная позиция при открытии будет иметь нулевое матожидание PnL. Тогда остается только котированием рыночной улыбки заниматься и получать положительное МО только за счет спредов.
Если же разрешить себе спорить с рынком, то от «правильной улыбки» никуда не уйти, имхо. Или, считаете, рынок всегда прав?
Что касается всегда ли прав рынок, то я бы сказал так — да всегда, но только каждый раз сейчас в моменте, а что будет завтра не знает никто и рынок в том числе, поэтому спорить с ним можно и нужно. )
Судя по его исследованиям, модель БШ недооценивает опционы.