Блог им. ataden

Эмпирический пут-колл паритет или как ломается модель Блэка-Шоузла

Благодаря поступающим комментариям к платформе OptionSmile (спасибо, Кирилл Браулов) выяснилась одна интересная вещь с эмпирическим непараметрическим подходом, который лежит в ее основе.  А именно, как соблюдается пут-колл паритет в оценках Fair Value опционов. Напомню, что суть его в том, что разница между ценой пута и кола должна быть равна разнице между страйком и ценой баз.актива. Если это равенство не соблюдается, то возникает арбитраж.

Например, купив пут и продав колл на одном страйке, можно создать короткую позицию по БА. Если не соблюдается пут-колл паритет, то можно теперь захеджироваться, купив базовый актив и получить доходность без риска. В риск-нейтральном мире, в котором работает модель Блэка-Шоулза, вы всегда должны такой комбинацией зарабатывать безрисковую процентную ставку. Поэтому точная формула пут-колл паритета выглядит так:

                              P-C = X*e-rt-S

   P и С — цены пута и кола, соответственно        
   Х
и S — страйк и цена БА        
   e-rt
— дисконтирующий множитель, приводящий страйк к текущему периоду

Поскольку в системе OptionSmile все показатели нормированы на текущую стоимость БА, т.е. S, будем использовать немного иной вариант паритета:

                              P-C = X-F

Где F — это будущая (форвардная) цена базового актива, равная S*ert , т.е. мы не страйк дисконтируем, а считаем будущую цену БА на экспирации.
На графике это схематично выглядит так  
Эмпирический пут-колл паритет или как ломается модель Блэка-Шоузла



Возьмем режим рынка, который был рассмотрен в одной из методических статей, посвященной анализу распределения доходности БА. Это режим перепроданности (RSI(14)<40) в периоды бычьего рынка или боковика (т.е. отбросим рецессии и медвежьи рынки), рассмотрим 2-недельные опционы на SPY. Вот такая фильтрация получилась:
Эмпирический пут-колл паритет или как ломается модель Блэка-Шоузла



Видно, как сильно в такие периоды работает mean reversion: рынок в среднем отстреливает вверх на 1.52% за 2 недели (это 38.2% годовых). Посмотрим на оценку опционов — путов и колов. Как и ранее, синий график — справедливая стоимость, красный — гипотетические рыночные цены.

Эмпирический пут-колл паритет или как ломается модель Блэка-Шоузла
Эмпирический пут-колл паритет или как ломается модель Блэка-Шоузла




Картина вполне предсказуемая: путы недооценены, колы переоценены из-за сильного ожидаемого движения БА вверх. Посмотрим, что же с пут-колл паритетом. Посчитаем его для безрисковой ставки r = 1% годовых (2 недели до экспирации).

Эмпирический пут-колл паритет или как ломается модель Блэка-Шоузла



Как видим, паритета даже близко нет! Разница между путами и колами (четвертая колонка) сильно не похожа на разницу между страйком и форвардной ценой (пятая колонка). Т.е. вся модель неправильная?

Нет, на самом деле все верно. Просто до этого мы, как и большинство опционных трейдеров, рассуждали с позиции риск-нейтрального подхода, когда математическое ожидание доходности цены было равно безрисковой процентной ставке. Форвардную цену мы считали, умножая текущую цену S на множитель e-rt, где r — безрисковая ставка (в нашем примере  1% годовых). Конечно, это идеализация, и инвесторы в акции должны получать больше доходность для компенсации повышенного риска (equity risk). Эмпирические данные это подтверждают.

Если мы внимательно посмотрим на разницу между путами и колами в таблице выше, но увидим подозрительную постоянность ее дробной части (0.52% для отрицательной разницы и 0.48 для положительной). Если мы из этой разницы уберем дистанцию между страйком и ценой БА (текущей, не форвардной), то получим 1.52% на всех страйках, что совпадает с ожидаемой доходностью БА в этом режиме — см.самую первую таблицу.

Теперь, думаю, все очевидно. Давайте возьмем форвардную цену как ожидаемую цену БА исходя из нашего эмпирического распределения, а не на базе безрисковой ставки. Вместо rt = 1%*(10/252) = 0.04% (безрисковая ставка на 2 недели) возьмем фактическую доходность 1.52%, а точнее ее логарифм, чтобы привести к непрерывной форме, ln(1.52%) = 1.51%. Вот такой теперь получится паритет:

Эмпирический пут-колл паритет или как ломается модель Блэка-Шоузла



Как видим, паритет почти идеально выдержан, с точностью до сотых долей процента (из-за округлений). Отсюда логичен вывод: чтобы соблюдался пут-колл паритет, нужно считать форвардную цену БА с помощью процентной ставки, равной мат.ожиданию доходности БА распределения, по которому эти пут и колл были посчитаны. В риск-нейтральном (risk-neutral) мире, в т.ч. в формуле Блэка-Шоулза, эта ставка всегда безрисковая. В реальном мире (real-world) эта ставка выше и отражает так называемое неприятие риска (risk aversion), когда инвестор требует «доплату» за принимаемый риск. В системе OptionSmile в качестве этой ставки принимается фактическая средняя доходность БА за выбранный рыночный режим. В обобщенном виде пут-колл паритет выглядит так:

                              P-C = X-S*eh

         h — математическое ожидание доходности БА в форме непрерывной ставки. Если доходность обозначить дискретной ставкой, то формула будет немного привычнее:

                              P-C = X-S*(1+d)

         d — дискретное мат.ожидание доходности базового актива

Кстати, из-за этого часто бывают парадоксальные результаты, если применить формулу БШ из риск-нейтрального мира к миру реальному. После получения справедливых цен в системе OptionSmile считается и вмененная волатильность по формуле БШ (разумеется, в встроенной безрисковой ставкой). Вот, что выходит для путов из примера выше:  
Эмпирический пут-колл паритет или как ломается модель Блэка-Шоузла


 Для страйков в деньгах (денежность > 100) посчитать вмененную волатильность невозможно, т.к. если посмотреть на графики справедливых цен путов выше или в таблицу, то виден парадокс: Fair Value путов меньше их внутренней (intrinsic) стоимости, что для риск-нейтрального мира полная ересь. Получается отрицательная временная стоимость и формула БШ ломается на этом месте.

Однако в реальном мире такое возможно, т.к. в этом конкретном режиме рынка мат.ожидание доходности БА сильно положительное, что очень существенно снижает стоимость хеджирования этого опциона (а это и есть его цена). Конечно, если бы такая была цена на рынке, то нашлось бы много желающих купить такой пут, продать колл и всю конструкцию захеджировать покупкой БА. Доходность без риска была бы равна мат.ожиданию доходности БА, в нашем примере 1.52% (38.2% годовых). Но, разумеется, это не возможно, т.к. при текущей безрисковой ставке близкой к нулю такая доходность была бы сразу ликвидирована (arbitrage out) HFT роботами. А вот если бы сама безрисковая ставка выросла до 38.2%, то опционы на рынке стоили бы стоили приблизительно таких денег, как на синих графиках выше: путы бы сильно подешевели, а колы подорожали. Пока существует диспаритет между этими двумя ставками, будет сохраняться и разница в оценке.  

Возникает еще один резонный вопрос, а зачем тут вообще опционы. Можно же просто покупать БА, когда RSI<40 и получать эту вполне себе хорошую доходность (38.2% годовых). Это, конечно, возможно, но придется долго ждать, пока наберется большое количество сделок, чтобы вероятности проявили себя и средняя доходность приблизилась к ожидаемой. Гораздо надежнее эксплуатировать опционную неэффективность и входить в позицию, учитывая статистическую существенность разницы между справедливой и рыночной ценами. См. методическую статью Доверительные интервалы справедливой стоимости.

Интересно, что развитые фьючерсные рынки по разному соблюдают риск-нейтральный паритет на широких индексах акций. Например, у фьючерсов на американские индексы базис (или roll yeld между фьючерсами с разной экспирацией) равен стоимости удержания позиции (cost of carry), которая соответствует безрисковой процентной ставке минус дивидендная доходность. Если дивиденды выше процентной ставке, фьючерсы в бэквордации (отрицательный carry), если наоборот, то в контанго (положительный carry). Но процентная ставка там почти всегда близка к безрисковой, что дает возможность без больших потерь реплицировать long портфель фьючерсами.

У биржи ICE есть интересный сервис для оценки roll yeld для разных фьючерсов - Pace of Roll, где считается вмененная процентная ставка (implied financing rate) и определяется ее спред к Libor. По разным фьючерсам в зависимости от степени contango и backwardation будет разная вмененная ставка, т.е. различная оценка рынком мат.ожидания доходности актива. В частности, по индексу FTSE 100 последний roll (Mar17-June17) проходил с гигантским спредом к Libor 7.75% из-за того, что FTSE100 считается в GBP. А вот по американскому индексу компаний малой и средней капитализации Russell 2000 спред был близок к нулю, т.е. его ожидаемая доходность была близка ставке Libor (1.2%)

Подробнее на www.optionsmile.ru
★22
28 комментариев
toster, если есть пут-колл паритет, то IV путов и колов по рыночным котировкам должен совпадать, иначе арбитраж, роботы быстро поправят. Тут отрицательная корреляция БА и VIX вообще ни при чем. 
Почитайте внимательнее, пост совсем о другом.
avatar
Паритет у вас не получается, потому что, при расчёте паритета нужно учитывать не только безрисковую ставку, но и дивидендную доходность. 1,52% очень на неё похоже, а то что это совпало с вашим эмпирическим распределением, то это скорее совпадение, хотя между ними тоже есть связь. 
avatar
noHurry, не-не, все не так. Дивиденды уже учтены в ожидаемой доходности БА. Там цены скорректированные на дивиденды и сплиты, поэтому в 1.52% уже сидит дивидендная доходность.

А 1.52% вообще не похоже на дивиденды, т.к. это доходность за 2 недели. Получается 38.2% годовых

А паритет-то как раз получается. В этом вся соль. Просто мера должна быть не риск-нейтральная
avatar
ataden, 
Дивиденды уже учтены в ожидаемой доходности БА. Там цены скорректированные на дивиденды и сплиты
Ну если это дивиденды в будущем, хотя больше похоже на в прошлом. Я имею ввиду будущую дивидендную доходность.
avatar
noHurry, по SPY она стабильна очень. На коротком диапазоне вообще не влияет.
Хотя, конечно, рыночные котировки надо очищать, если до экспирации попадают ex-dividend dates.
avatar
Все логично. Паритет должен сдвигаться на математическое ожидание приращения будущей цены. Если рынок считает его отличным от «безрисковой ставки», то должно появляться смещение паритета.
avatar
А. Г., Александр, добрый день. Спасибо, что заглянули. Приходите к нам в группу на FB. Там есть несогласные с такой точкой зрения… i need help

Пришлю приглашение сейчас.
avatar
А. Г., но тогда возникает арбитражная ситуация с возможностью заработать больше безрисковой ставки, чего не может быть. 
avatar
noHurry, Я об этом написал в посте: 

«Конечно, если бы такая была цена на рынке, то нашлось бы много желающих купить такой пут, продать колл и всю конструкцию захеджировать покупкой БА. Доходность без риска была бы равна мат.ожиданию доходности БА, в нашем примере 1.52% (38.2% годовых). Но, разумеется, это не возможно, т.к. при текущей безрисковой ставке близкой к нулю такая доходность была бы сразу ликвидирована (arbitrage out) HFT роботами. А вот если бы сама безрисковая ставка выросла до 38.2%, то опционы на рынке стоили бы стоили приблизительно таких денег, как на синих графиках выше: путы бы сильно подешевели, а колы подорожали

Т.е. тут речь идет не о фактических котировках на рынке, а оценке опционов на базе эмпирической (не риск-нейтральной) меры
avatar
ataden, я просмотрел, то что вы рассматриваете какие то экстремальные состояния рынка, я тоже видел такие аномалии, но только в виде исторических котировок и ни разу в реале, наверное потому что их не было :). Следующий раз хочу посмотреть по внимательней. Только, тогда я не понял о чем вообще этот пост? На истории можно увидеть и не такое, вот я сейчас купил следующую партию котировок и пытаюсь отфильтровать подобные вещи. 
avatar
noHurry, вам стоит глянуть с самого начала, что такое FairValue и для чего использовать. Если есть 8 минут, то вот вводное видео.
Если есть больше, то более подробно на www.optionsmile.ru

В реале, конечно таких котировок нет (синий график). Это оценочная справедливая стоимость

avatar
ataden, а причём здесь FairValue? Паритет не зависит от волатильности. Он просто всегда должен быть, вне зависимости от того как оценён рынок его участниками. 
avatar
noHurry, это арбитражная ситуация только на экспирацию и кроме того, кто сказал, что «безрисковая ставка» — это не среднее будущего приращения цены БА?
avatar
А. Г., 
это арбитражная ситуация только на экспирацию
Арбитраж считается всегда на экспирацию, и почему бы не держать позицию до экспирации при нулевой марже?
кто сказал, что «безрисковая ставка» — это не среднее будущего приращения цены БА?
это может быть, но только если они равны — тогда не арбитраж, а если нет — то арбитраж.
avatar
Все равно непонятно «при чем тут опционы». БА тоже можно набирать с учетом «статистической существенности...», а не сразу и мешком
Стас Бржозовский, разумеется. Те же технические индикаторы из линейных активов родом. Перепроданность по RSI оттуда же. Просто здесь это еще и подтверждается эмпирически.

А опционы хороши тем, что рынок ошибается не только дирекционно, но и во втором измерении — с оценкой будущей волатильности. Когда RSI<40 рынок перепуган и затаривается путами по безумным ценам. Behavioral Finance!
avatar
Стас Бржозовский, появляется различие в управлении колл-пут?
Олег _TkilA_/, не знаю как точно сформулировать. В этой ситуации «нейтральные по текущему рынку» позиции просто перестают быть нейтральными с точки зрения Дениса и нужно лепить что то напрвленное по отношению к текущему рынку. Можно чистым ба, можно направленным спрэдом или «полуфьючом» каким нибудь
Стас Бржозовский, ну это получается Вы опираясь на коллективный разум садитесь на хвост, а есть уверенность, что он всегда прав? Через управление вроде как уравновешивает.
Олег _TkilA_/, я никуда не сажусь. Топик обсуждается
Стас Бржозовский, по топику нечего сказать я ТА не знаю (kill TA), а выводы нравяться. Вы единственный кто мне отвечает, включите игнор.
Да и вроде по теме перекос в опционах — немного направленно в базисе.
Как я уже сказал, тут не только направление важно, но и оценка рынка будущей волатильности (точнее локальной волатильности на страйке). В примере тут http://smart-lab.ru/blog/396689.php/ Я привел пример перекупленности (RSI>60), когда рынок в среднем идет вверх, но не далеко, и колы можно продавать, хотя это дельта-отрицательно.  
avatar
мутная тема…
Бабёр-Енот, не, а чё с пивом прокатит
avatar

Когда в тексте начинают проскакивать слова "риск-нейтральная мера, мартингал или риск-нейтральная вероятность", у меня возникает стойкое ощущение участия в игре с наперстками...

Мы и так можем варьировать ситуацию игрой с ненаблюдаемым параметром IV и зачастую на практике не можем отличить влияние веги от влияния теты.
А если ещё добавить ненаблюдаемый параметр "ставка доходности", то запутать себя становится ещё на порядок легче.

avatar
ch5oh, вам тогда к Коровину… края продавать
avatar
Пост о том, как посчитать ценность американских опционов по формуле европейских опционов?
MyKey, вообще не об этом
avatar

теги блога ataden

....все тэги



UPDONW
Новый дизайн