Михаил, понимаю. Я использую другую систему, жесткая нижняя граница потерь портфеля, ограниченная пут опционами. Вероятности/коррелляции использую, но это скорей для независимого роста, где ошибка или промах не так критичны.

Alex Craft, на рынке вообще все предсказания крайне приблизительные и точно обнаружить бумаги, которые вырастут сложно, но приблизительно можно. Моя система активно наращивала позицию в подобных бумагах, и такое не в первый раз происходит, поэтому удается проходить спады чуть более мягко, но избежать полностью естественно не удается

Михаил, Про 1 я условно имел ввиду, стабильная макдональдс или спекулятивная компания упадут по разному, ну и чуть в странах может быть отличия. Но все равно падение будет связанным, портфель сильно провалится.

Бумаги что не упали в кризис — незнаю — ведь их нельзя обнаружить заранее, наблюдая их поведением в обычный период.

Иначе можно было бы легко решить задачу — собрать портфель скажем США, РФ, Бразилии, Китая, Германии, Австралии, Канады в равных пропорциях. И получить 7 независимых компонентов в портфеле, но они же падают вместе, хоть может и не с корреляцией 1.

Про корреляцию 1 вы сильно преувеличиваете. Не видел реально больше 60% в среднем по рынку на российском рынке, а если добавить иностранные, то и того меньше. Плюс всегда есть бумаги которые имеют сильно отличную корреляцию. Даже в 22 году были бумаги, которые обновили максимумы на фоне известных событий

ulukay, Золотой Грааль, не нравится? :)

Alex Craft, я если честно не понимаю, что такое не учитывать ковариацию. Если ковариация равна 0, то вы неявно подразумеваете огромную возможность снижения рисков за счет диверсификации. В общем я не очень понимаю, что вы и как собираетесь делать, но с удовольствием понаблюдаю за процессом

Михаил, да, критерий келли (или логарифмы) даст минус бесконечность по любому варианту где есть вероятность нуля. Собственно он так и должен работать, вероятность нуля, даже небольшая, означает что в такой игре в пределе гарантированно будет дефолт, Келли запрещает такие игры. 

Но (насколько я понимаю) Келли не имеет смысла использовать для ценообразования отдельного опциона. Это своего рода агрегатная мера, которая имеет смысл только в оценкте комплексного инструмента или портфеля или стратегии.

Например комбинация «Акция + 0.8 Пут» против «Акция + 0.6 Пут» против «Деньги + 1.2 кол» — нам нужно понять — что из этих вариантов лучше? Келли даст ответ.

Или комбинация «x*Акция1 + y*Акция2 +… + z кеш» — Келли определит x, y, z.

И т.д. на вход даем реальные вероятности, на выходе получаем оптимальное для нас с точки зрения риска решение.

Это тяжелая для оптимизации задача, но нам не нужно идеальное решение, боль менее хорошего случайного локального максимума вполне достаточно.

Корелляции… я наверно не буду их считать в классическом смысле.

Для защиты корелляции бессмысленны (случайные акции в момент кризиса получат корелляцию 1 и упадут все вместе), защита будет основана на пут опционах для акций, на ограничении позиций.

Для прибыли посчитать корелляции имеет смысл чтобы «сжать время» и ускорить наступление редких случайных событий поставив на разные «игровые автоматы», но мне кажется достаточно это сделать очень приближенно, просто случайно перебрав несколько вариантов (по разным секторам и т.п.), и выбрав боль менее не связанные.

Alex Craft, про логорифмы — валидный вариант предпочтений, но тут нужно учитывать, что в этом простом примере акция в некотором смысле опцион — не может упасть больше чем на 10%, а поэтому опционы со страйком меньше 90% не репрезентаивны. Для более полноценного анализа лучше рассмотреть биномиальную модель на несколько периодов и посмотреть, что будет там. Скорее всего получится следующее — так как реальная акция может упасть на любую величину с некой вероятностью, то у вас любой опцион будет иметь минус бесконечную цену (будет кейс нулевой выплаты с не нулевой вероятностью). То есть фактически вы будете выбирать акцию, то есть ваша задумка с анализом опционов не сильно нужна — всегда нужно покупать акцию, ну или нужно как-то тюнить критерий выбора

Про вашу рассказ-аналогию про игровые автоматы — это известная задача у которой есть известное решение в этой простой постановке, например семплирование Томсона. Изучив его можно понять, что ваш подход не очень рабочий, потому что в правильном решении необходимо учитывать несовершенство статистических оценок характеристик автоматов, что вы совсем не делаете. И поверьте, эта проблема по существенней проблемы толстых хвостов, особенно когда речь заходит о портфеле инструментов (а вы где-то писали про миллион опционов) — у вас будет миллион не точных оценок доходностей, а чтобы это анализировать совместно миллион в квадрате неточных оценок клеток в ковариационной матрице, которая как известно из теории случайных матриц будет выражденной, а в результате любая оптимизация будет выдавать дичь на выходе

Михаил, примерную цену опциона с учетом рисков можно посчитать как exp(E[log returns]) в последнем зеленом столбце таблицы. Задача получается аналогичной Санкт-петербургский парадокс. Цены кстати получаются близкими к риск нейтральным. Конечно покупать на 100% портфеля нельзя даже при таких ценах.



Симуляция реального портфеля я думаю даст немного другие цифры, но концептуально получится что то похожее.

Если сравнить с риск нейтральностью, получается сначала считаются средне ожидаемые вероятности и цены, а затем они, в процессе симуяции оптимального портфеля конвертируются (явно либо неявно) в финальные цены с учетом предпочтений риска/прибыли конкретного инвестора и портфеля.

Риск нейтральный подход вероятно делает что то подобное, только наоборот.

Михаил, благодарю за хороший пример, мне кажется я понял что вы имеете ввиду, и считаете ошибкой.

Я пересчитал, а) добавив колонку E[Log Return] — замете что по опционам 90 и выше ожидаемая прибыль получилась минус бесконечность. и б) небольшая поправка, у вас вы дисконтировали риск нейтральные цены, но не среднюю ожидаемую цену, я ее также дисконтировал, это не влияет на результат, просто чуть поменьше ожидаемая цена акции стала. 

Результат и ссылка на табличку (зеленым выбрана оптимальная с точки зрения критерия келли ставка. )

вложить на всю котлету в один из этих опционов

Нет, я наверно неточно обьяснил что я делаю. Попробую описать это примером с казино. Чтобы получить деньги, нам нужно решить две задачи

а) Идентификация  — мы приходим в казино где много разных игровых автоматов, но мы не знаем вероятности этих автоматов. Какие то в среднем сливают деньги, какие то «в среднем» дают прибыль. Нам нужно понаблюдать некоторое время и для каждого автомата составить карту его вероятностей (в акциях это историч цены и финотчетность). И здесь (мне по крайней мере) удобно работать с реальными вероятностями.

б) Стратегия игры — оценив каждый автомат, мы можем разработать серию ставок, и их размеры. Игровые автоматы один дает прибыль раз в год, другой сливает в 99% но в 1% дает х200 рост и т.п. Нам нужно из всего этого дикого хаоса построить серию ставок дающих относительно стабильный доход. (И через моделирование различных сценариев и оптимизацию по напр. критерию Келли (log returns)).

Т.е. сначала считаются реальные вероятности, это как карта местности, нужна для понимания насколько вообще тот или иной автомат прибылен, мы сразу же выкинем кучу автоматов которые сливают деньги.

Затем включается вторая часть и для небольшого числа найденных прибыльных автоматов считает оптимальную серию ставок (каждая небольшая) чтобы в сумме эти ставки не сливали деньги и приносили прибыль.

Возвращаясь назад к таблице — в таблице посчитаны E[Log Return] для полной ставки, в реальности E[Log Return] будет считаться для портфеля из {ставка (1/N) + наличные}. Точнее, сложнее — максимум по всевозможным вариантам портфеля из {набора акций + различных защит акций пут опционами + небольшая часть средств на разлинчые спекуляционные ставки типа OTM call опционов + наличные}.

Михаил, ну в общем я проделал эту работу, если я конечно правильно вас понял. Оказывается оптимальным любой опцион со страйком между 90 и 130. Они приносят доходность 40% на единицу вложенных средств в ваших терминах. А теперь вопрос — действительно ли вы хотите вложить на всю котлету в один из этих опционов — в половине случаев вы все сольете

Alex Craft, рассмотрите простой какой-то кейс, я бы даже предложил дискретный. И посмотрите, что бы вы сделали в нем. Может вы сами поймете проблемы в вашем подходе, а может их и нет. Как вариант:
— безрисковая облигация с доходность 5%
— акция с доходность -10% в половине случаев и 30%, соответсвенно матожидание 10% и std 20%

Легко посчитать, что с точки зрения классических финансов риск нейтральная вероятность плохого исхода для акции 62,5%, а хорошего 37,5%. Зная это легко оценить любой дериватив на акцию — достаточно посчитать матожидание выплат под риск нейтральной мерой и поделить на ставку облигации

Возмите опционы с шагом в 10% от 10% до 130% и попробуйте с оптимизировать портфель из опционов, акции и облигации вашим способом

Михаил, это цена опциона как среднее ожидание от его прибыли. Если мы видим что кто то продает опцион дешевле, то купив его мы окажемся в плюсе «в среднем», и наоборот. 

Второй шаг — сделать так чтобы «в среднем» заработало. Расчитать размер ставок кторый нельзя превышать (продаж/покупок опционов) и убрать «тажелые негативные хвосты» (например продавая спреды). И тогда, продав скажем 20-100 опционов/спредов можно было выйти в плюс.

Михаил, расчет по формуле, поскольку она завязана на распределение прибыли, ей требуется начальная сумма, я взял 1рубль как старт, и соотв. относительная прибыль получается как «120/1».


Результат будет 120

П.С. Я забыл обратный безрисковый дисконт сделать, соотв. рассчитанный «премиум» будет 120/1.05 (если принять безрисковый доход за этот срок как 5%).

Alex Craft, то есть резюмируя, вы считает какой-то вам интересный показатель, который ценой не является, чем он так интересен я тоже не очень понимаю, но да у Вас формула по проще, чем у нобелевских лауреатов. Нобелевские лауреаты решали другую, но мне если честно более понятную задачу, поиска цены опциона, да при некоторых не совсем реалистичных допущения. Как показывает практика она в первом приближении неплохо работает, но естественно есть простор для усовершенствований

Влад, насколько я понимаю — платит во многих случаях государство, пенсионные фонды и т.п. Из гос бюджета. Либо платит неявно спасая обанкротившиеся банки.

Т.е. за банкет платят те кто в рынке вообще не участвует. 

Но у этой игры есть и другая сторона:

Если у банков есть убыток, значит у «кого то» есть прибыток. В этой игре нужно 2 игрока. Банкам выгодно продавать недооцененные опционы. Но им нужен партнер, кто то кто купит их недооцененный опцион. И сможет систематически выдерживать небольшие но постоянные убытки, принося банкам систематические но небольшие прибытки, а менеджерам банков бонусы. И как компенсация в редких случаях может получить плюс, который перекроет все долгие минусы.

Михаил, я считаю цену опциона как задачу оптимизации. 

Даны распределения вероятностей цен акций в момент экспирации опционов и безлимитный кредит без маржин кола. Нужно продать миллион самых разных опционов, и после их экспирации получить нулевую прибыль, т.е. так и остатся с нулем на счету.

Для такого случая премиум для опциона (кола) будет среднее ожидание, математически эта формула выглядит как:


К-страйк, S_t — цена акции в момент экспирации опциона C(K) премиум для опциона со страйком К

Безрисковый рейт не учитывается в этой формуле, потому что он уже учтен в распределении вероятностей цен акции (либо можно его убрать из распределения цен акции и учесть в самой формуле, результат будет тот же, без разницы как сделать).

Михаил, под «ценой опциона» я имел ввиду «премиум», который платится при покупке европейского опциона. В «формуле» значения относительные: текущая цена акции принята за 1, «moneyness» — относительное значение «страйка» равен «страйк/текущая цена акции». Соотв когда нужны абсолютные значения можно пересчитать назад, это не требуется можно абсолютными считать, но с относительными проще.

Если принять выплаты по безрисковым бондам 5%, и риск по вашей бумаге такой же (безрисковый), то 120/1.05 = 114Р