Нахер такие зарплаты, если меньше 300, выгодней кайфовать в деревне.

Михаил, понимаю. Я использую другую систему, жесткая нижняя граница потерь портфеля, ограниченная пут опционами. Вероятности/коррелляции использую, но это скорей для независимого роста, где ошибка или промах не так критичны.

Михаил, Про 1 я условно имел ввиду, стабильная макдональдс или спекулятивная компания упадут по разному, ну и чуть в странах может быть отличия. Но все равно падение будет связанным, портфель сильно провалится.

Бумаги что не упали в кризис — незнаю — ведь их нельзя обнаружить заранее, наблюдая их поведением в обычный период.

Иначе можно было бы легко решить задачу — собрать портфель скажем США, РФ, Бразилии, Китая, Германии, Австралии, Канады в равных пропорциях. И получить 7 независимых компонентов в портфеле, но они же падают вместе, хоть может и не с корреляцией 1.

ulukay, Золотой Грааль, не нравится? :)

Михаил, да, критерий келли (или логарифмы) даст минус бесконечность по любому варианту где есть вероятность нуля. Собственно он так и должен работать, вероятность нуля, даже небольшая, означает что в такой игре в пределе гарантированно будет дефолт, Келли запрещает такие игры. 

Но (насколько я понимаю) Келли не имеет смысла использовать для ценообразования отдельного опциона. Это своего рода агрегатная мера, которая имеет смысл только в оценкте комплексного инструмента или портфеля или стратегии.

Например комбинация «Акция + 0.8 Пут» против «Акция + 0.6 Пут» против «Деньги + 1.2 кол» — нам нужно понять — что из этих вариантов лучше? Келли даст ответ.

Или комбинация «x*Акция1 + y*Акция2 +… + z кеш» — Келли определит x, y, z.

И т.д. на вход даем реальные вероятности, на выходе получаем оптимальное для нас с точки зрения риска решение.

Это тяжелая для оптимизации задача, но нам не нужно идеальное решение, боль менее хорошего случайного локального максимума вполне достаточно.

Корелляции… я наверно не буду их считать в классическом смысле.

Для защиты корелляции бессмысленны (случайные акции в момент кризиса получат корелляцию 1 и упадут все вместе), защита будет основана на пут опционах для акций, на ограничении позиций.

Для прибыли посчитать корелляции имеет смысл чтобы «сжать время» и ускорить наступление редких случайных событий поставив на разные «игровые автоматы», но мне кажется достаточно это сделать очень приближенно, просто случайно перебрав несколько вариантов (по разным секторам и т.п.), и выбрав боль менее не связанные.

Михаил, примерную цену опциона с учетом рисков можно посчитать как exp(E[log returns]) в последнем зеленом столбце таблицы. Задача получается аналогичной Санкт-петербургский парадокс. Цены кстати получаются близкими к риск нейтральным. Конечно покупать на 100% портфеля нельзя даже при таких ценах.



Симуляция реального портфеля я думаю даст немного другие цифры, но концептуально получится что то похожее.

Если сравнить с риск нейтральностью, получается сначала считаются средне ожидаемые вероятности и цены, а затем они, в процессе симуяции оптимального портфеля конвертируются (явно либо неявно) в финальные цены с учетом предпочтений риска/прибыли конкретного инвестора и портфеля.

Риск нейтральный подход вероятно делает что то подобное, только наоборот.

Михаил, благодарю за хороший пример, мне кажется я понял что вы имеете ввиду, и считаете ошибкой.

Я пересчитал, а) добавив колонку E[Log Return] — замете что по опционам 90 и выше ожидаемая прибыль получилась минус бесконечность. и б) небольшая поправка, у вас вы дисконтировали риск нейтральные цены, но не среднюю ожидаемую цену, я ее также дисконтировал, это не влияет на результат, просто чуть поменьше ожидаемая цена акции стала. 

Результат и ссылка на табличку (зеленым выбрана оптимальная с точки зрения критерия келли ставка. )

вложить на всю котлету в один из этих опционов

Нет, я наверно неточно обьяснил что я делаю. Попробую описать это примером с казино. Чтобы получить деньги, нам нужно решить две задачи

а) Идентификация  — мы приходим в казино где много разных игровых автоматов, но мы не знаем вероятности этих автоматов. Какие то в среднем сливают деньги, какие то «в среднем» дают прибыль. Нам нужно понаблюдать некоторое время и для каждого автомата составить карту его вероятностей (в акциях это историч цены и финотчетность). И здесь (мне по крайней мере) удобно работать с реальными вероятностями.

б) Стратегия игры — оценив каждый автомат, мы можем разработать серию ставок, и их размеры. Игровые автоматы один дает прибыль раз в год, другой сливает в 99% но в 1% дает х200 рост и т.п. Нам нужно из всего этого дикого хаоса построить серию ставок дающих относительно стабильный доход. (И через моделирование различных сценариев и оптимизацию по напр. критерию Келли (log returns)).

Т.е. сначала считаются реальные вероятности, это как карта местности, нужна для понимания насколько вообще тот или иной автомат прибылен, мы сразу же выкинем кучу автоматов которые сливают деньги.

Затем включается вторая часть и для небольшого числа найденных прибыльных автоматов считает оптимальную серию ставок (каждая небольшая) чтобы в сумме эти ставки не сливали деньги и приносили прибыль.

Возвращаясь назад к таблице — в таблице посчитаны E[Log Return] для полной ставки, в реальности E[Log Return] будет считаться для портфеля из {ставка (1/N) + наличные}. Точнее, сложнее — максимум по всевозможным вариантам портфеля из {набора акций + различных защит акций пут опционами + небольшая часть средств на разлинчые спекуляционные ставки типа OTM call опционов + наличные}.

Михаил, это цена опциона как среднее ожидание от его прибыли. Если мы видим что кто то продает опцион дешевле, то купив его мы окажемся в плюсе «в среднем», и наоборот. 

Второй шаг — сделать так чтобы «в среднем» заработало. Расчитать размер ставок кторый нельзя превышать (продаж/покупок опционов) и убрать «тажелые негативные хвосты» (например продавая спреды). И тогда, продав скажем 20-100 опционов/спредов можно было выйти в плюс.

Михаил, расчет по формуле, поскольку она завязана на распределение прибыли, ей требуется начальная сумма, я взял 1рубль как старт, и соотв. относительная прибыль получается как «120/1».


Результат будет 120

П.С. Я забыл обратный безрисковый дисконт сделать, соотв. рассчитанный «премиум» будет 120/1.05 (если принять безрисковый доход за этот срок как 5%).

Влад, насколько я понимаю — платит во многих случаях государство, пенсионные фонды и т.п. Из гос бюджета. Либо платит неявно спасая обанкротившиеся банки.

Т.е. за банкет платят те кто в рынке вообще не участвует. 

Но у этой игры есть и другая сторона:

Если у банков есть убыток, значит у «кого то» есть прибыток. В этой игре нужно 2 игрока. Банкам выгодно продавать недооцененные опционы. Но им нужен партнер, кто то кто купит их недооцененный опцион. И сможет систематически выдерживать небольшие но постоянные убытки, принося банкам систематические но небольшие прибытки, а менеджерам банков бонусы. И как компенсация в редких случаях может получить плюс, который перекроет все долгие минусы.

Михаил, я считаю цену опциона как задачу оптимизации. 

Даны распределения вероятностей цен акций в момент экспирации опционов и безлимитный кредит без маржин кола. Нужно продать миллион самых разных опционов, и после их экспирации получить нулевую прибыль, т.е. так и остатся с нулем на счету.

Для такого случая премиум для опциона (кола) будет среднее ожидание, математически эта формула выглядит как:


К-страйк, S_t — цена акции в момент экспирации опциона C(K) премиум для опциона со страйком К

Безрисковый рейт не учитывается в этой формуле, потому что он уже учтен в распределении вероятностей цен акции (либо можно его убрать из распределения цен акции и учесть в самой формуле, результат будет тот же, без разницы как сделать).

Михаил, под «ценой опциона» я имел ввиду «премиум», который платится при покупке европейского опциона. В «формуле» значения относительные: текущая цена акции принята за 1, «moneyness» — относительное значение «страйка» равен «страйк/текущая цена акции». Соотв когда нужны абсолютные значения можно пересчитать назад, это не требуется можно абсолютными считать, но с относительными проще.

Если принять выплаты по безрисковым бондам 5%, и риск по вашей бумаге такой же (безрисковый), то 120/1.05 = 114Р

Михаил,  Интересный ответ с другого форума,

Риск Нейтральность использовать нет смысла, она используется для другой задачи — «Я маркет мейкер, и хочу продать опцион. По какой цене его продать и что делать потом», (""«I am a market maker and have to sell an option. At what price and what do I do afterwards?»"").

Т.е. по видимому Риск Нейтральность используется для двух весьма спецефичных задач — «расчет премиума опциона используя текущие ожидания рынка, и затем „постоянная подстройка динамического хеджирования для проданного опциона который также основывается на постоянно меняющихся ожиданиях рынка“.

У меня сложилось похожее впечатление, что это очень специализированный инструмент и конкретно для моих задач он не применим. У меня другие задачи „расчет премиума опциона независимо от ожиданий рынка“ и „расчет статического хеджа для акции или проданного опциона независимо от рынка основываясь на исторических ценах и моделировании наихудшего сценария“

Михаил, про чувствительность логарифмов к ошибкам не знал, спасибо, посмотрю. 

Что уровень риска Келли завышает — да я слышал, и думал про оптимизацию не среднего, а одного из нижних квантилей.

Михаил, и посчитать альтернативные вариант — каждую акцию защитить пут опционом, и посчитать распределение вероятностей для инструмента (акция + пут — текущий рыночный премиум пута). И если среднее ожидание для логарифмов прибыли этого распределения выше чем у просто акции, выбрать этот вариант.

Михаил, «А как вы решать будет? Нужно какое-то решающей правило, которое свернет распределение (функцию) в конкретное решение (обычно число, которое чем больше, тем лучше решение)»

Например: Есть 500 акций. Нужно собрать портфель из 20 акций. 

Для выбора акций — можно выбрать акции имеющие максимум среднего ожидания (среднее ожидание от распределения логарифмов прибыли, критерий келли). Либо, можно сделать защищенный портфель и выбрать акции с максимумом скажем 0.1 квантили.

 Ну и, походу распределение цен, даже для годового интервала, это таки парето (прямая линия в хвосте).

И, сильно недооцененные «хвосты» в волатильной AMD, в наблюдаемом фрагменте реальности, мы не видим всего пространства возможностей