Собственно, понятие коинтеграции и лежало, в основе статистического арбитража, который только начал появлятся в конце 80-х и позволил первопроходцам из JP Morgan, нарубить не мало денег, пока…, но об этом в конце статьи. Поэтому в этот раз мы поговорим, про коинтеграцию, что это такое, зачем и почему. Но начнем из далека и рассмотрим такие статистически понятия как порядок интеграции процесса, и фиктивной (spurios) регрессии, которые и лежат в основе. 

Рассмотрим для начала простейший процесс, гауссовский шум:


 Теперь построим его кумулятивную сумму, то есть возьмем значения и последовательно их сложим, таким образом получим что Y_i = sum k = 0..i X_k, где X_k — это исходный гаусовский шум, Y_i — результирующий процесс. То есть в данном случаи взяли шум и его проинтегрировали, таким образом получив случайное блуждание. Так же мы можем повторить данный процесс еще раз, но на этот раз взяв в качестве исходных значений, полученное нами на предыдущем шаги случайное блуждание. Таким образом получим (сверху — интеграл шума, случайное блуждание, снизу — повторная сумма но на этот раз взятая по случайному блужданию):

( Читать дальше )

Обещанное продолжение. Предыдущий пост из серии: http://smart-lab.ru/blog/43277.php 

В чем собственно смысл понятия авторегрессивности/автокорреляции/персистентности. Расмотрим простейший процесс в котором последующие приращения зависят от предыдущего. Обозначим приращение в момент времени t — X_t, в момент времени t + 1 — X_t+1. Соответственно мы хотим, чтобы приращение в момент времени t+1, каким то образом зависело от предыдущего t. Если выразить такую зависимость качественно, то у нас есть два варианта.

1) первый вариант, мы предполагаем что положительное приращение X_t должно увеличивать вероятность положительного приращения в следующий момент времени X_t+1, аналогично для  отрицательного. Проще говоря Х_t и X_t+1 положительно скоррелированны. Такая модель является «трендовой, персистентной», то есть покупая/продавая то что растет/падает мы смещаем вероятность выигрыша в свою сторону.

2)  второй вариант, мы предполагаем что положительные приращения X_t должны увеличивать вероятность отрицательных в момент времени X_t+1, а отрицательные приращения — положительных. То есть X_t и X_t+1 отрицательно скоррелированны. Такая моделья является «контр трендовой, анти-персистентной», то есть продавая то что выросло и покупаю то что упало, мы получаем статистическое преимущество. 

( Читать дальше )

Есть манименеджмент теоретический, а есть реальный.
Optimal F в принципе интересная вещь(для системных трейдеров.Остальным прежде чем интересоваться тем или иным ММ сначала надо стать трейдерами), но где сейчас Вильямсы? Что первоисточник, что второй его модернизировавший?
Про первого не слышно, а у второго 4% годовых.Как говорится, при всем уважении...

Реально же, если перейти от теории к практике, приходишь к тому что ММ зависит от целей(проще говоря зачем торгуем), побочных доходов, текущей жизненной ситуации, размера капитала, итд.
Просто в качестве примера.
Типичная ситуация: 10 мио-все что есть под риск, при этом есть доход со стороны, но терять инвестиционные деньги как-бы не хочется ни капли.

Программа на три года.
Раскидываем 7 000 000 под 12-13% годовых с рекапитализацией процентов. Банк и еще один и 

( Читать дальше )

Тема «реальности» будущего положения текущей кривой доходности, затронутая здесь, имхо, может быть переформулирована в задачу прогнозирования изменения улыбки волатильности при движении цены БА.Сейчас использую три подхода для оценки ее положения:
 1. AsIs (так как пишут в книжках):

• IV ATM меняется по улыбке при движении цены БА
• форма улыбки и ее положение неизменны
• улыбка неподвижна

2. Fix (горизонтальное смещение улыбки при постоянстве ее формы):

• IV ATM = const при движении цены БА
• форма улыбки постоянна
• улыбка для каждой цены БА перемещается по горизонтали

3. Screw (горизонтальное и вертикальное смещение улыбки при постоянстве ее формы):

• IV ATM меняется по улыбке при движении цены БА
• форма улыбки постоянна
• улыбка для каждой цены БА перемещается по текущей улыбке

На основе этих прогнозов считаются доходности и риски позы с учетом вероятностей движения цены и колебаний IV.
В будущем при прогнозе положения улыбки хотелось бы учесть еще ряд статистических зависимостей. 
 
Какие на Ваш взгляд есть погрешности и выгоды в использовании описанных методов прогноза ?
Как Вы прогнозируете или хотели бы прогнозировать положение улыбки волатильности ?

Попросили объяснить что такое персистентность без специальных терминов и как она связана с трендовостью рынка. Совсем, без терминов вряд ли получится, но если их минимизировать, достаточно понятия — плотности вероятности. 

Что такое плотность вероятности? Это функция интеграл интервала которой, дает нам вероятность попадания в этот интервал. Или в простейшем случаи, если мы рассматриваем ее эмпирическую оценку в виде гистограммы распределения это будет просто частота попадания в набор фиксированных интервалов. 
Для примера рассмотрим гистограмму нормального распределения.

 

Собственно что мы видим — разбиение на набор фиксированных интервалов, затем подсчет попадания каждого значения в тот или иной интервал, который дает частоту. Если мы хотим посчитать частоту попадания в бОльший интервал например от 0 до 2, то нам необходимо сложить(проинтегрировать) частоту попадания во все маленькие интервалы внутри этого отрезка [0, 2]. Таким образом плотность вероятности дает возможность, зная интервал, получить вероятность попадания в него. Или если рассматривать на более «интуитивном» уровне — показывает какие значения выпадают более часто, а какие менее. В приведенном примере, наиболее часто выпадают значения вокруг нуля распределения и затем оно постепенно спадает. 

( Читать дальше )

Если немного «перепеть» классика, то тренд характеризуется, тем что каждый лоу выше/ниже предыдущего при аптренде/доунтренде. Попытаемся проверить насколько эти представления актуальны. Для этого возьмем дневки Ри, за 2010-2011 год и посчитаем разницу между лоу текущего дня и предыдущего, то есть LowDelta = Low[Day] — Low[Day — 1]. Нас будет интересовать насколько значения этого ряда, автоскоррелированы, то есть при аптренде если верить теории Доу, положительные значения LowDelta должны следовать за положительными, а отрицательные за отрицательными. Соответственно получим числовой ряд этих LowDelta выглядящий следующим образом:


На первый взгляд — просто шум, но мы немного углубимся в его анализ. ) Нас будет интересовать насколько значения этого ряда, автоскоррелированы, то есть при аптренде если верить теории Доу, положительные значения LowDelta должны следовать за положительными, а отрицательные за отрицательными. Чтобы как-то выразить эти соотношения математически, введем второй фактор — значение LowDelta, за предыдущий день обозначим его LagLowDelta = Lag(LowDelta, 1) = Low[Day — 1] — Low[Day — 2]. Теперь нарисуем, пары значений (LowDelta по X, LagLowDelta по Y):

( Читать дальше )

Данные фьючерс РТС за 10-11 год(всего 477 точек), время в минутах(начиная с 10:00) дневного хая и лоя. 

(взаимная плотность, по x — время лоя, по y — время хая)


Собственно, что мы видим, есть два типа дней, у одних наиболее вероятный хай в районе 11 часов, а лой в 500 минут от 10:00 (то есть 18:20), второй наиболее вероятный лой в районе 11 часов, а хай в ~470 минут от 10:00 (то есть 17:50-18:00). Соответственно, попытки войти со среднесрочным горизонтом и коротким стопом в другие промежутки времени, резко увеличивает вероятсноть, что вы поймаете стоп.

UPDATE: то же самое но с разбивкой по дням недели.
Понедельник, Вторник

Среда, Четверг

Пятница

В предыдущей серии, мы пересчитали значении индекса, а так же нашли его корреляцию с приращениями индекса RTS, таким образом построив простейшую модель (Корреляция: 38.8%, СКО ошибки: 0.235), на этот раз мы попробуем значительно ее улучшить.
 
Для каждого из используемых факторов: Индекс РТС, индекс ММВБ, акции Сбербанк, акции Газпром, индекс Bovespa, индекс S&P, фьючер на нефть марки BRENT, фьючерс на золото и фьючерс на пару рубль/доллар, посчитаем: приращения логарифма (logdelta = log(Close) — log(Open)). По которым построим линейную регрессию этих приращений и значений индекса оптимизма. То есть формулу вида: индекс оптимизма = A0 + A1*РТС logdelta + A2*ММВБ logdelta + A3*S&P logdelta +…. В результате получим, что два статистически значимых фактора, приращения индекса РТС и индекса ММВБ, и здесь нас ждет первая неожиданность: значимыми оказываются не сами приращения, а их разница (то есть, приращение индекса РТС — приращение индекса ММВБ).
Таким образом выделим новый фактор: РТС logdelta — ММВБ logdelta, и попробуем построить на его основе модель (аналогичную той что была в первой части). Получим:
индекс оптимизма = 15.77*(РТС logdelta — ММВБ logdelta) + 0.095
(черным значения индекса, красным предсказания модели)


 


( Читать дальше )

Насколько предсказуемо поведение индекса оптимизма? Какие внешние факторы на него влияют, а на сколько это «вещь в себе»? Попытаемся ответить на эти вопросы в ходе исследования.

Прежде всего, обратимся к тому как он собственно расчитывается, на данный момент используется довольно простая формула Количество Быков/Количество Медведей. При этом возникают следующие проблемы: распределение индекса совсем не симметрично, резкое изменение соотношения приводит к серьезным «выбросам» (тяжелые хвосты распределения). 

<cut>

Поэтому первым делом приведем его к более приемлемому со статистической точки зрения виду.  Для этого пересчитаем индекс следующим образом: Процент Быков — Процент Медведей или (X — Y)/(X+Y). Сравним распределение индекса построенного по оригинальной(cлева) и предложенной формуле(справа):
 

( Читать дальше )