Обдумывая как рассчитать цены опционов я несколько раз встречал упоминание Implied Volatility (IV).

Это некая абстракция, отражающая веру участников рынка о будущих изменениях цен акции.

И мне было непонятно, какая мне польза от суммарного мнения других участнмков рынка об акции (ее будущих ценах). Мне их мнение не интересно, и соотв. не интересны и некие абстрактные производные от этого мнения в виде IV.

Мне мнение других игроков интересно только в одном случае — при сравнении текущей, рыночной цены опциона, с ценой рассчитаной мной. Если она выше, можно продать, ниже — купить, одинаковая — ничего не делать.

И соотв, я не понимал зачем кому то может понадобиться эта самая IV. Но, эта штука оказывается полезна. Но не для оценки опционов. А для поиска арбитражей, перекосов и аномалий в рынке, когда строится сложный инструмент с целью захватить этот перекос и получить профит.

И также мне было непонятно, зачем нужно цены считать для куча экзотических инструментов. Есть же опционы американских/европейских и их стратегии мало что ли, зачем еще какая то экзотика нужна? Походу именно для этого вся экзотика и нужна, для составления сложных и необычных инструментов, использующих перекосы в ценообразовании связанных инструментов.

( Читать дальше )

Продолжаю исследовать цены. В первой части исследования (15мб, грузится не сразу, параметры интерактивны можно щелкать, потом видео сниму если будет время) я сознательно исключил нестационарность.

Сейчас стараюсь ее нормализовать. Есть подход использовать движущееся среднее стандартное отклонение, но, мне нравится видеть что происходит, и подход с движущимся окном гораздо нагляднее (оба подхода примерно одно и то же).

а) берется дневные цены б) для каждого дня считается разница логарифмов цен за год (изменение цены за год) в) берем окно 360 дней г) движем его с шагом 30 дней д) для каждого окна считаем параметры нормализации и нормализуем изменения цен в этом окне е) для нормализованного окна на каждом шагу строим распределение цен и показываем его на графике.

Параметры нормализации считаются 2мя способами а) считаем среднее по медиане, и считаем абсолютное отклонение опять же по медиане, и затем нормализуем, вычитаем центр и делим на отклонение б) считаем STD от 97 квантиля, и вычитаем центр и делим на сигму.

( Читать дальше )

Итак, моя гипотеза о том что имеет смысл изучить распределение цен конкретной компании за длительный период, скажем 30 лет, чтобы улучшить прогноз цен на следущий год — опровергнута.

Как видно из графиков ниже, это нормализованные по среднему и сигме, распределения построенные на 10 летнем интервале, движущемся с окном 5 лет. Полный хаос. 10 лет это мало, и хотя за 30 лет будет «в среднем» «чуть лучше», но все равно недостаточно чтобы иметь какой то смысл.

Т.е. уникальные детали на графике распределений цен конкретной компании — это случайные артефакты, шум, нерепрезентативный сэмпл, повторять их бессмсысленно, в будущем они не повторяются.

«Реальное» распределение, нам недоступно, но судя по всему это что то с достаточно простой формой, возможно Гиперболическое или простой гауссовский микс из 2-3х компонент.

Микрософт 360дней


Микрософт 180 дней



( Читать дальше )

Я нашел то что искал. Распределение а) способное с достаточной точностью аппроксимировать Эмпирическое Распределение цен на диапазонах 180, 360, 720 дней б) имеющее достаточно простую форму в) с возможностью маштабировать.

Ассиметричный Гауссовской Микс из 3х компонент, отдельно для Положительных и Отрицательных изменений, с Фиксированными Нулевыми Средними. Это 8 параметров, но два из них определяются оч точно и требуют мизера данных, поэтому их можно не учитывать, остается 6 параметров, 6 сигм. Это много, но фиттинг будет на десятках лет так что данных достаточно.

Финальная подстройка — сжать/растянуть полученную модель на текущую волатильность, будет по 1-2 параметрам.

На графиках, зеленый положит изменения цен, красный отрицательные. Яркие цвета — эмпирическое, зеленый красный полутон Гауссовский Микс, бирюзовый/розовый полутона — Обобщенное Гиперболическое (добавил чисто для сравнения, оно приближает хуже и непредсказуемо, причем самую важную часть — хвост).




( Читать дальше )

Апроксимация Распределения Вероятностей цен MSFT за 360, 180 и 30 дней.

Явно видно что Нормальный Микс из 3х компонент намного лучше повторяет форму распределения чем Обобщенная Гиперболическая Модель.

Проблемы:

— Непонятно как менять его волатильность? В нормальном мы меняем сигму — и распределение меняется, а здесь 3 компоненты, у каждого своя сигма и среднее. Если есть идеи как маштабировать полученный нормальный микс было бы интересно услышать.
— Лучшее совпадение не значит что это лучше, это может быть оверфиттинг.

Маштабирование:

Нужно для настройки модели на текущую волатильность. Скажем мы на истории за десятки лет определили общую форму Нормального Микса для MSFT как меняются акции за 1 мес. Но, нам ведь интересно затем настроить (маштабировать) эту общую форму на текущую волатильность MSFT, отмаштабировав общую форму, на текущую волатильность MSFT за последний месяц. Непонятно как это сделать.

Зачем это нужно:

Знать будущее распределение цен (у нас правда не будущее, а прошлое, которое мы за неимением лучшего используем как будущее) — может быть полезно для моделирования различных сценариев и подбора гиперпараметров, расчета цен опционов, формирования оптимального по тому или иному критерию портфеля, симуляция стресс теста, расчет цен опционов, и т.п.

( Читать дальше )

Апроксимация изменений цен Гауссовским Миксом, отдельно для положительных и отрицательных изменений.

Благодарность Михаилу, что поправил алгоритм фиттинга модели для Гауссовского Микса.

Микрософт, 360 дней, зеленая положительные изменения, красная — отрицательные. Слабозеленая/слабокрасная гауссовский микс. Почти невидимая зеленая/красная — обычное гауусовское распредление.

Для каждого случая два графика, графики одинаковы и показывают P(X > x) (комплементарная CDF), но в разных масштабах, логарифмическом и линейном, на одном лучше видна голова на другом хвост.



Микрософт 180 дней



( Читать дальше )

Прежде чем запускать калибровку на реальных данных цен, сделал простейший тест — а можно ли его вообще использовать, насколько хорошо он работает?

Калибровка — определение неизвестных параметров для известного распределения, двумя методами — Maximum Likelihood и Bayesian.

а) задал простейшую модель, с известными параметрами, б) сгенерировал с нее огромный сэмпл 10000 точек, в) затем фиттинг на полученном сэмпле и г) сравнение полученных резуьтатов с исходными параметрами.

Тестовая модель, Гауссовский Микс:

weights = [0.5, 0.5], means = [0, 0], sigmas = [1, 2]

Результат, точнее его отсутствие, картина ниже (питоновский код):

Параметры определяются совершенно неверно. Причем случай идеальный, простейшая модель, огромный сэмпл.

Также попробовал другой подход, байесовский метод, и он также дает совершенно неверный результат.

П.С.

Гиперболическое Распределение

Результат пока непонятный (питоновский код) визуально график получaется достаточно похожим, но полученные параметры модели не совпадают с исходными. 

( Читать дальше )

Продолжаю сравнивать распределения изменения цены, логарифмы, отцентрированые пo среднему, для 360 и 30 дней, отдельно графики положительных изменений (зеленые) и отрицательных (красные). Сравнение с нормальным (полупрозрачные зеленые и красные линии), как видно — не совпадает, и ассиметрия также заметна.

Микрософт, 360 дней


Микрософт, 30 дней



( Читать дальше )

Я допустил неточность в прошлом посте, где сравнивал логарифмы от изменения цен на QQ графике.
Ошибки: я выбрал интервал квантилей (шаг) слишком большим 0.05, и исключил экстремумы мин/мах, что сгладило график и не позволило увидеть нелинейность во всей полноте.
Ниже графики с шагом 0.01, и мин/мах добавлены.

Гораздо лучше видны а) ненормальный характер распределения, б) максимальные отклонения на интервалах 360д и 180д почти одинаковы, (неожиданно, интервал увеличился вдвое, а амплитуда изменений осталась почти такой же) в) при уменьшении интервала изменений, от 360д до 180 и до 1д, видно как меняется характер распределения, и оно меняется от средне тяжелых хвостов, и становится все более и более экстремальным с тяжелыми хвостами. г) неадекватность линейной шкалы (квантили), для например дискретизации лучше использовать прогрессивную шкалу. И это при том что изменения уже «нормированы» логарифмом. д) известная работа Мандельброта, и его (верное, оно хорошо видно на другом лог-лог графике) заключение о распределении Парето насколько я понимаю относится к дневным изменениям. Но распределение для больших интервалов, например полгода, год, хотя и с тяжелыми хвостами, но уже не такое экстремальное, уже не Парето.

( Читать дальше )

Ведь движения цены вверх и вниз могут иметь разную природу, и реальное распределение может не быть симметричным. Ниже сравнение распределения для положительных и отрицательных движений цены (логарифмов изменений цены, log(p[i]/p[i-360]) для интервалов 360 и 180 дней), и сравнил их на QQ графике. Для одинаковых положительных и отрицательных движений цены — должна быть прямая линия.

Они явно отличаются, отчасти это и понятно, в среднем акции немного двигаются вверх:





На графике ниже изменения отцентрированы (из логарифмов изменений вычтена их медиана, показана черной горизонтальной линией), чуть лучше, но все равно есть отличия:



( Читать дальше )