Распределение получено эмпирически, как некая кривая, дающая на исторических данных наименьшую ошибку предсказанной цены.

Например так выглядит прогноз цен (PDF логарифмов прибыли,) на год вперед для акции AMD. В обычном и лог маштабе. Серый цвет нормальное для сравнения.



И, тот же график, PDF, без логарифма, обычная прибыль. В обычном и лог маштабе. Серый цвет лог-нормальное для сравнения.



( Читать дальше )

В простом случае, за ожидаемую прибыль по акции можно принять безрисковую ставку. Но это не точный прогноз, его можно улучшить если добавить цену за риск. Есть много известных моделей, которые имеют форму (в лог пространстве):

E[LR(t_now,t_future)] =
  (t_future — t_now) *
  (LR_risk_free(t_now) + K1 + K2*LVolatility(t_future))

LR — log return, множители K1 и K2 у этих моделей могут быть разными, и они могут использовать разные меры волатильности mean_squared_dev ее корень, mean_abs_dev и т.п… Ну и получать эту самую волатильность можно по разному, из исторических данных, симуляций, обратив цены опционов и т.п.

Я попробовал разные варианты, регрессия на исторических данных, и не нашел ничего лучшего чем дает эта формула для интервалов ожидаемой прибыли через 6мес, 1год, 2года.

По оси Х волатильность, можно видеть что с ростом волатильности, риск премиум (красная линия) действительно увеличивается.


Открытый вопрос — я делал регрессию в лог пространстве, и результат регрессии может немного отличаться.

( Читать дальше )

Это не иллюзия, они действительно падают. Если рассмотрим наиболее вероятную цену акции через несколько месяцев после покупки — моду распределения вероятностей цены акции — на интервалах меньше 2х лет мода будет меньше текущей цены акции (хотя среднее ожидание цены выше).

Причина в ассиметричности распределения, оно логнормальное (или похожее), мода и среднее у него не совпадают, мода меньше. И на интервалах инвестирования до 2х лет, мода получается меньше текущей цены. В дальнейшем, на горизонте 3года и более, среднее растет значительно и вытягивает моду выше текущей цены.

Что с этим делать (мысли вслух):

а) Долгосрочное инвестирование, проблема решается, но есть огромный минус — большой шанс заморозить средства без возможности их вывода на N лет (либо вывести с потерями).

б) Найти N по настоящему независимых акций. На эту тему много говорил Рей Далио, это Золотой Грааль, идеальное решение. Логнормальное распределение превращается в нормальное, мода становится средним, да еще и волатильность сильно уменьшается. К сожалению, поскольку все акции во всех странах зависимы и в кризис все получают корреляцию 1 и падают одномоментно, этот подход так и остался Золотым Граалем, и публично по крайней мере, его находка неизвестна (оптимальный портфель макровица в этом плане бесполезен).

( Читать дальше )

Неплохие результаты, согласующиеся с реальными данными.

Черный график — реалное распределение годовых доходностей за неск. десятков лет, синий — симуляция годовых доходностей из дневных (из бегущего окна длинной в 1 год берутся дневные цены, и по ним делается несколько симуляций чтоб получить возможные годовые).

Результат совпадает с интуитивным ожиданием, форма получается похожей, что разброс больше тоже ожидаемо, реальный график это лишь одна реализация и недооценивает все пространство возможностей.

Микрософт:


Макдональдс:

( Читать дальше )

Продолжаю медитировать над графиками…

Годовая прибыль АМД и Невмонта




( Читать дальше )

Продолжаю исследовать цены. В первой части исследования (15мб, грузится не сразу, параметры интерактивны можно щелкать, потом видео сниму если будет время) я сознательно исключил нестационарность.

Сейчас стараюсь ее нормализовать. Есть подход использовать движущееся среднее стандартное отклонение, но, мне нравится видеть что происходит, и подход с движущимся окном гораздо нагляднее (оба подхода примерно одно и то же).

а) берется дневные цены б) для каждого дня считается разница логарифмов цен за год (изменение цены за год) в) берем окно 360 дней г) движем его с шагом 30 дней д) для каждого окна считаем параметры нормализации и нормализуем изменения цен в этом окне е) для нормализованного окна на каждом шагу строим распределение цен и показываем его на графике.

Параметры нормализации считаются 2мя способами а) считаем среднее по медиане, и считаем абсолютное отклонение опять же по медиане, и затем нормализуем, вычитаем центр и делим на отклонение б) считаем STD от 97 квантиля, и вычитаем центр и делим на сигму.

( Читать дальше )

Апроксимация Распределения Вероятностей цен MSFT за 360, 180 и 30 дней.

Явно видно что Нормальный Микс из 3х компонент намного лучше повторяет форму распределения чем Обобщенная Гиперболическая Модель.

Проблемы:

— Непонятно как менять его волатильность? В нормальном мы меняем сигму — и распределение меняется, а здесь 3 компоненты, у каждого своя сигма и среднее. Если есть идеи как маштабировать полученный нормальный микс было бы интересно услышать.
— Лучшее совпадение не значит что это лучше, это может быть оверфиттинг.

Маштабирование:

Нужно для настройки модели на текущую волатильность. Скажем мы на истории за десятки лет определили общую форму Нормального Микса для MSFT как меняются акции за 1 мес. Но, нам ведь интересно затем настроить (маштабировать) эту общую форму на текущую волатильность MSFT, отмаштабировав общую форму, на текущую волатильность MSFT за последний месяц. Непонятно как это сделать.

Зачем это нужно:

Знать будущее распределение цен (у нас правда не будущее, а прошлое, которое мы за неимением лучшего используем как будущее) — может быть полезно для моделирования различных сценариев и подбора гиперпараметров, расчета цен опционов, формирования оптимального по тому или иному критерию портфеля, симуляция стресс теста, расчет цен опционов, и т.п.

( Читать дальше )

Продолжаю сравнивать распределения изменения цены, логарифмы, отцентрированые пo среднему, для 360 и 30 дней, отдельно графики положительных изменений (зеленые) и отрицательных (красные). Сравнение с нормальным (полупрозрачные зеленые и красные линии), как видно — не совпадает, и ассиметрия также заметна.

Микрософт, 360 дней


Микрософт, 30 дней



( Читать дальше )

Распределение вероятностей цен акций подчиняется не Нормальному Распредлению, а закону Парето (Power law, Степенное Распределени).

Этот момент (событие маленой вероятности, но несущее огромные последствия) порождает как много проблем, можно в момент остаться без всего, так и приятных сюрпризов, в момент можно х10 сделать. И сильно усложняет расчеты, поскольку почти ничего из классической статистики не применимо.

Один из подходов — сделать твои проблемы и риски — проблемами и рисками других. Естественно не за бесплатно. В данном случае — это покупка пут опциона, на 0.85-0.4 цены, длительностью полгода/год. Прийдется расстаться с 0.5-4% годовых. 

Взамен — получаем кастрированную акцию, спокойную, предсказуемую и простую в расчетах, подчинающуюся нормальной статистике и нормальному распределению.

Что, очень важно, отрезается только негативный хвост, шанс на положительный рост, сохраняется. Но его,  не обязательно учитывать в расчетах, пусть это будет неожиданны приятным сюрпризом.

Я использую свои систему генерации отчетов, где например графики цен нормированы, и текущая цена акции всегда равна 1.0. Это же гораздо проще и интуитивнее чем видеть текущую цену как 500р или 10р? Гораздо удобнее когда цена на все акции всегда одна и равна 1.0

(иногда наоборот, цена акции в некий момент берется за единицу, и тогда текущая цена меняется, например чтоб посмотреть изменения стоимости акций с момента их попадания в портфель, но в любом случае цена всегда нормирована, и равна 1.0 либо в начале периода, либо в конце). 

И изменение акций, «выросла за месяц на 100р» — это же сложно и непонятно, гораздо удобней «за месяц *1.2 или /1.2», или «с момента добавления в портфель изменилась *1.2 или /1.2»

И, то же для опционов. Например цена акции А 500р, страйк прайс опциона 700р, премия опциона 20р, экспирация март 2025. И цена акции Б 270р, страйк прайс опциона 340р, премия опциона 7р, экспирация тоже март 2025. Это же все нечитаемая чушь, как их сравнивать, у нас же нет калькулятора в голове чтобы мгновенно нормализовывал это все к единому стандартуи.

( Читать дальше )