Первоначальные условия были такими:
1.Таймфрейм 1 час.
2.Продажа опциона если его волатильность выше справедливой на Х процентов.
3.Справедливая волатильность равна волатильности из биржевой формулы расчета улыбки.
4.Страйк опциона Пут для продажи Центральный страйк минус 10000пунктов
5.Страйк опциона Колл для продажи Центральный страйк плюс 10000пунктов   
6.Центральный страйк равен цене фьючерса за 30 дней до экспирации(округл) и не меняется до экспирации. Т.е. определен диапазон для работы.
7.Опционы месячные.
8.Закрытие позиции если цена опциона стала справедливой. (волатильность опциона равна или ниже волатильности биржевой)  
9.Если фьючерс уходит ниже или выше выбранных страйков опционов для продажи белее чем на 2500 пунктов, то продавать их не надо, даже если они и переоценены.
10. Если позиция открыта (опцион продан), то если фьючерс уходит ниже или выше выбранных страйков опционов белее чем на 2500 пунктов, то позиция закрывается.

( Читать дальше )

В моем понимании арбитражная сделка это не безрисковая сделка, а сделка с переоцененным или недооцененным активом с последующим хеджированием и расчетом на то, что дисбаланс в скором времени будет устранен рынком.
В данном случае я буду рассматривать продажу месячных опционов Put и Call на фьючерс на индекс РТС, с хеджированием по рыночной дельте портфеля фьючерсом на индекс РТС.
Данные «под рукой» у меня с 20110531 по 20130329, т.е. почти 2 года.
Для расчетов я взял 100 контрактов Put. (Примечание: если взять, например, 2 Put и хеджировать по дельте, то результат будет хуже в разы, надеюсь, все понимают почему).
Часовые данные, взятые из архива биржи РТС. Расчеты по теоретическим ценам.
Для начала пример продажи опциона Put на центральном страйке. С предположением, что опционы всегда переоценены, а значит можно заработать на их продаже.




В целом, стратегия «продажа опциона на центральном страйке», приносит доход. Однако в период роста волы, да и просто высокой волатильности, могут быть значительные просадки.


( Читать дальше )

Продолжаю тему, поднятую в статье «Толстые хвосты и эмпирические распределения». Напоминаю, в материале рассматривался вопрос, как влияют толстые хвосты распределения цены базового актива на появление улыбки волатильности. В представленной модели фьючерс РТС каждый день прыгает на величину, случайно выбранную из ряда его ежедневных приращений в прошлом. Ранее были показаны результаты модели для 100 шагов движения цены. К ним мы еще вернемся, а пока рассмотрим, что происходит при небольшом количестве шагов модели. В этом случае, Центральная Предельная Теорема только начинает работать, и толстые хвосты разворачиваются во всей своей павлиньей красе.




Выше представлена модельная улыбка за 10 дней и две реальных кривых волатильности опционов с аналогичным сроком жизни. Как и раньше, в модели введена поправка на тренд. По оси Х номер страйка от центрального, графики совмещены по горизонтали. 


( Читать дальше )

Решил написать пост об источниках рыночных данных по опционам, торгующимся на западных площадках. Моя запись не несет никакой рекламы, я лишь отражаю результаты моего небольшого исследования рынка поставщиков исторических данных по опционам.



Отмечу, что мне нужны были именно исторические данные (дневные или внутридневные). Данные за  последний торговый день по всем сериям можно скачать бесплатно, например, с Yahoo. Я же, повторюсь, искал уже накопленные (исторические) данные. Бесплатно я их не нашел, цены и спецификацию по основным поставщикам данных привожу ниже.

Livevol
Маркет дату Livevol можно назвать эталоном исторических рыночных данных. И вот почему:
Granular: 1-minute option and stock intervals with open, high, low, close, volume, bid, ask, calculations.
Calculations: Implied Volatility, Greek, and IV Index Calculations for every interval.
Time & Sales: Every stock and option trade from January 2004 to now.
Accessible: Stored in text files with comma separated values, fields set up for immediate bulk load into standard databases.
Complete: In addition to the trade and quote data, Livevol offers earnings, dividend, symbol change, and yield curve supporting data.
Стоит такая маркет дата недешево:
Тип данных: Trades, Underlying symbols: 1/все, Срок: 1 месяц, Цена: $20/$3000
Тип данных: Trades, Underlying symbols: 1/все, Срок: 1 год, Цена: $240/$20 000
Тип данных: 1 min, Underlying symbols: 1/все, Срок: 1 месяц, Цена: $10/$2000
Тип данных: 1 min, Underlying symbols: 1/все, Срок: 1 год, Цена: $120/$12 000
Тип данных: 15 min, Underlying symbols: 1/все, Срок: 1 месяц, Цена: $10/$1000
Тип данных: 15 min, Underlying symbols: 1/все, Срок: 1 год, Цена: $120/$5 000
Тип данных: 1 day, Underlying symbols: 1/все, Срок: 1 месяц, Цена: $5/$300
Тип данных: 1 day, Underlying symbols: 1/все, Срок: 1 год, Цена: $60/$1 000
Сумма одного заказа не менее $500.

Market Data Express

( Читать дальше )

Финансовые рынки обладают известным свойством – толстые хвосты в распределении приращений актива. Обычно, для демонстрации эффекта сравнивают два графика дневной доходности – для исторического распределения цен и нормального. На рисунке ниже четко заметны выбросы в распределении доходности индекса вдалеке от центра. 
 


Часто можно услышать, как толстые хвосты назначают главной причиной возникновения улыбки волатильности. На недавно прошедшей НОК одним из наиболее интересных выступлений была презентация Виталия Курбаковского о причинах появления улыбки волатильности. Уважаемый мэтр строил улыбку на основе эмпирического распределения.
Проверим сами, как влияют толстые хвосты на форму улыбки. Построим модель движения фьючерса РТС на основе данных о ежедневной доходности close to close основной сессии. Возьмем ряд ежедневных приращений склеенного фьючерса с января 2010г. по февраль 2013г. Конечное значение цены близко к начальному, но, чтобы совсем исключить тренд, последнее значение цены фьючерса примем равным первому, а именно 157090 п. Период модели – 100 дней. Каждый день актив прыгает на величину, случайно выбранную из ряда прошлых значений. В конце траектории посчитаем стоимость опционов. Повторим опыт миллион раз. Усредним результаты каждого опыта и получим ожидаемую стоимость опционов в финальной точке. Она совпадает со справедливой стоимостью опционов в  начальной точке,  ведь ставка равна нулю. Результат моделирования в терминах волатильности представлен ниже



( Читать дальше )

Математики и кто торгует производными от индекса VIX присоединяйтесь.



Арбитраж между фьючерсом на VIX ближайшим и опционами на SPX или на SPY. База у фьючерса — индекс VIX. Индекс считается по большому множеству страйков, исключая те цены которых = 0, итого получается около 300. Все страйки в равных пропорциях. Получается «не падающая вега» на всём протяжении страйков. Идея в том чтобы арбитражить фьючерсы на VIX против корзинки опционов SPX или SPY. Понятно что полную корзинку не соберёшь. Индекс VIX получается даже не на волатильность, а на форму улыбки волатильности, так как очень много страйков. Поэтому внутри модели оцениваем форму улыбку SPX и хеджируем риски от её изменения. Используем 2-3 страйка и хеджируем ими все изменения формы улыбки. В итоге забираем спред. Сейчас покупаетелей викса много, отсюда и идея — заработать на встречном интересе.

Как идея?

На прошедшей 18 мая конференции НОК-6 я сделал доклад, часть которого была посвящена способам вычисления дельты. Ссылка на презентацию есть в моем предыдущем посте: http://quant-lab.com/events/poc-6.html



Сейчас я хочу рассказать о методе расчета дельты (я его назвал Beta Adjusted). Повторюсь, что в своем докладе я рассмотрел два метода для вычисления дельты опциона — Sticky Strike и Sticky Moneyness. Третий метод Beta Adjusted — это модифицированный мной Sticky Moneyness. Но обо всем по порядку.

Hedge setup

Для оценки точности вычисления дельты тем или иным способом я использовал анализ ошибок хеджирования. Хеджировались следующие портфели: короткий пут, короткий колл, короткий стрэнгл, риск-реверсал (дельты опционов, составляющих портфели, были по модулю равны 0.5, 0.25, 0.1 и 0.05). Портфель открывается по теоретическим ценам на конец рассматриваемого торгового дня. Далее вычисляется дельта одним из указанных способов, и в портфель добавляется позиция по базовому активу, нейтрализующая дельту, по расчетной цене на момент закрытия торгов. На следующий торговый день позиция закрывается также по теоретическим ценам. Ошибка хеджирования определяется как финансовый результат, к которому приводят данные операции, за вычетом однодневной теты портфеля (если тета отрицательная, то фактически ее модуль добавляется к результату). Были рассчитаны ошибки хеджирования за период с 2010-03-01 по 2013-04-30 для опционов, до экспирации которых оставалось от 30 до 5 календарных дней включительно.

( Читать дальше )

Финансовые временные ряды помимо толстых хвостов в распределении доходностей часто демонстрирует так называемый эффект левериджа: когда волатильность возрастает со снижением рынка и, наоборот, снижается, когда рынок растет.
Влияет ли данный эффект на стоимость опционов? Попробуем разобраться.
Для этого, для начала, посчитаем коэффициент корреляции Пирсона для рядов однодневных доходностей и волатильности «на центральном страйке». Будем использовать рыночные данные для фьючерса на индекс РТС и его опционов (3/2010 — 5/2013). Причем будем рассматривать только опционы, до экспирации которых осталось от 45 до 5 календарных дней. Доходности будем получать по формуле: ret[t] = log(S[t]/S[t-1]). Волатильность «на центральном страйке» будем определять как IV0[t] = f(par[t], x=0),  где par[t] — вектор параметров функции f, описывающей рыночную улыбку на конец торгового дня t; x = log(K/S) — «денежность» опциона со страйком K при цене базового актива S.
Т.о. перед нами два ряда ежедневных логарифмических доходностей: ret[t] = log(S[t]/S[t-1]) и rvol[t] = log(IV0[t]/IV0[t-1]).


( Читать дальше )

Дисклаймер:  Это большой занудный пост с очень простым и довольно очевидным выводом. Поставил тег «опционы»  - не очень в тему, но всё же.


Простейшая задача (которую кстати, нужно решать чуть-ли не ежедневно) — оценить где и с какой вероятностью будет цена актива через заданное время при сохранении на рынке текущей динамики. Задачка посложнее — какова справедливая цена опциона для текущей динамики?



Решать эти задачи, да и другие, связанные с динамикой рынка очень удобно если известно распределение приращений цен. Но точное распределение приращений разумеется неизвестно — надо использовать какую-то модель.

Какие у нас вообще есть варианты:
* Эмпирическое распределение — для конкретного актива мы вычисляем что было на истории и используем это как модель для будущего.
* Нормальное (Гаусса) распределение (или лог-нормальное).
* Другие непрерывные распределения: Коши, Лапласса, Гамма (на картинке — это оно), Вейбула (в нём аж 3 параметра) и т.д.


( Читать дальше )

Рассмотрим реальную ситуацию. Есть счет на ХХ млн. руб. и мы собираемся им управлять системно. Объем в торгуемых контрактах рассчитываем по формуле:

N=Целое (ХХ млн. руб./номинал фьючерса в рублях).

Берем в качестве необходимого ГО 11 тыс. руб. на контракт и получаем, что суммы ~0.3* ХХ млн. руб. нам хватит под ГО для торговли N контрактами «за глаза»,  даже с учетом просадок счета. Кладем эту сумму на ФОРТС, а на 0,7* ХХ млн. руб. покупаем супернадежную и ликвидную облигацию под 7% годовых со сроком погашения не больше 2-х лет.

Что получаем в результате торговли в этом году на счете? А вот что

январь 2.8%
февраль 0.1%
март 1.8%
апрель 3.2%

Ну по меркам заявляемых здесь доходностей скромно, очень скромно.

А возьмем и подсчитаем результаты на фьючерсе относительно  0.3* ХХ млн. руб… Что получим? А вот что

 январь 7.2%
февраль -0.7%

( Читать дальше )